资源简介

13.1.2　线段的垂直平分线的性质
第1课时　线段垂直平分线的性质和判定
课时目标
1.理解线段垂直平分线的性质和判定,掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化,培养学生表达能力和推理意识.
2.掌握证明线段垂直平分线的性质和判定的方法,培养学生类比能力和归纳能力.
3.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
4.使学生在数学活动中体会到获得成功的体验,建立学习的自信心,培养应用意识.
学习重点
理解并掌握线段的垂直平分线的性质与判定和线段的垂直平分线的画法.
学习难点
线段的垂直平分线的性质与判定的运用.
课时活动设计
复习回顾
提问:线段的垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
设计意图:让学生通过复习线段的垂直平分线的定义,回顾本质——过中点、垂直这两个条件.并在此基础上引出今天所学课题:线段垂直平分线的性质定理.符合学生的认知规律和知识的形成过程,可以培养学生认识事物的思维方法.
探究新知
探究1　垂直平分线的性质
问题:如图,直线l是线段AB的垂直平分线,在直线l上任取一点P,试猜想点P到点A与点B的距离之间的数量关系.再换个位置取点,猜想还成立吗 请用手中的工具验证.
请用自己的话说出猜想,并验证你的猜想是否正确.
学生用手中的工具进行验证,师生共同讨论.
猜想:“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.”
即如果点P在线段垂直平分线上,那么点P到这条线段两个端点A,B的距离相等.
已知:如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.
求证:PA=PB.
证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB.
又∵AC=CB,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB.
归纳总结:
线段的垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
符号语言:∵CA=CB,l⊥AB,∴PA=PB.
设计意图:通过研究点的特点进而研究垂直平分线的性质,培养学生的集合观念和轨迹意识.设置这样的开放性问题,让学生用手中的工具进行验证,给学生提供思考空间,师生共同完成已知求证,降低学生证明命题的难度,最终应用三角形全等的方法证明线段的垂直平分线的性质定理,培养学生分析问题、解决问题的能力.
典例精讲
例　如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.AB,AC,CE的长度有什么关系 AB+BD与DE有什么关系
解:∵AD⊥BC,BD=DC,
∴AD是BC的垂直平分线,∴AB=AC.
∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.
∴AB=AC=CE.
∵AB=CE,BD=DC,
∴AB+BD=CD+CE,即AB+BD=DE.
设计意图:通过例题,帮助学生进一步加深对线段垂直平分线定义和性质定理的认识,培养学生的推理能力和应用意识.
探究新知
探究2　线段垂直平分线的判定
问题:反过来,如果点P到线段两端点A、B的距离相等,那么点P在线段AB的垂直平分线上.这个命题是否成立
如何证明我们的猜想是正确的呢 学生先独立思考,再小组交流.
师生共同讨论后总结如下:
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
证明(方法1作垂直,证中点):过点P作线段AB的垂线PC,
垂足为C.则∠PCA=∠PCB=90°.
在Rt△PCA和Rt△PCB中,
∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).
∴AC=BC.
又∵PC⊥AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.
(方法2:取中点,证垂直;方法3:利用角平分线证明.可以课下完成)
追问:你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗 能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点
解:能.线段AB两端点的距离相等的点有无数个.
总结:在线段AB的垂直平分线l上的点与A,B的距离都相等;反过来,与A,B的距离相等的点都在垂直平分线l上,所以垂直平分线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.
设计意图:我们以前学过的平行线性质和判定,三角形全等的性质和判定都是“互逆命题”,在此经验基础上研究学习线段垂直平分线的逆命题符合学生的认知规律.培养学生形成独立研究问题的习惯和提升互逆思维的能力.让学生经历和体会由特殊到一般的研究思路和方法,培养归纳意识和能力.
归纳总结
线段垂直平分线的判定定理:
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号语言:∵PA=PB,
∴点P在AB的垂直平分线上.
设计意图:通过归纳总结.帮助学生梳理所学知识,有利用巩固课堂效果.
典例精讲
例　如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗 请说明理由.
解:直线AM是线段BC的垂直平分线.
理由:∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上.
∵MB=MC,
∴点M在BC的垂直平分线上.
∴直线AM是线段BC的垂直平分线.
设计意图:通过练习,进一步加深学生对线段垂直平分线判定定理的理解,并且培养学生从多角度解决问题的能力和增强学生的应用意识.
探究新知
探究3　过一点作已知直线的垂线
尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知:直线AB和AB外一点C.求作:AB的垂线,使它经过点C.
解:作法:(1)取任意一点K,使点K和点C在AB的两旁;
(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E;
(3)分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F;
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
请同学们自主交流、探究过直线上一点作已知垂线的作法.
设计意图:通过讲解使学生规范作图,并让学生自主探究另一种作图方法,培养学生分析问题、解决问题的能力.
巩固训练
如图所示,△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.
解:∵直线ED垂直平分BC,∴CE=BE=6,
∴△BCE的周长=CE+BE+BC=6+6+10=22.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.垂直平分线的性质定理是什么
2.垂直平分线的判定定理是什么
3.我们是怎样研究这些性质的
设计意图:引导学生从知识内容、学习过程和学习方法等多个方面总结自己的收获,把握本节课的核心知识,回顾由特殊到一般的探究过程,体会类比方法在研究数学问题中的重要作用.
相关练习.
1.教材第65页习题13.1第6题.
2.相关练习.
第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定
　　　1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2.与线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
3.过一点作已知直线的垂线.
教学反思

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