资源简介

13.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质和判定
课时目标
1.掌握等边三角形定义,理解等边三角形和等腰三角形的关系,培养学生的抽象概括能力.
2.经历类比过程,探索等边三角形的性质和判定,培养学生的推理能力和模型观念.
3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明,培养学生的推理、运算能力和应用意识.
4.培养学生参与数学学习活动的积极性,增强对数学的好奇心和求知欲.
学习重点
理解并掌握等边三角形的概念、性质和判定.
学习难点
理解并掌握等边三角形判定定理的探究与证明,灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.
课时活动设计
回顾旧知
1.等腰三角形的性质和判定
2.三角形按边的关系怎么分类
解:分类为
设计意图:本节课研究的等边三角形是特殊的等腰三角形,回忆等腰三角形的性质和判定以及三角形的分类,有助于类比研究本节内容,忆旧知导新课,帮助学生明确研究方向和内容,培养学生用类比思想研究问题,锻炼数学思维.
探究新知
等边三角形的性质
1.你能归纳等边三角形的定义并结合图形写出符号语言吗
解:文字语言:三边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形).
符号语言:∵AB=AC=BC,
∴△ABC是等边三角形.
2.类比等腰三角形的性质,你能得到等边三角形什么性质
解:(1)三条边相等;
(2)三个角相等,都是60°.
3.等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴
学生动手作图,找学生回答问题.
解:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的角平分线都“三线合一”,等边三角形有3条对称轴.
4.你能运用类比的方法探索等腰三角形与等边三角形的联系与区别吗
解:等腰三角形和等边三角形边、角、对角线的联系与区别.
名称 图形 边 角 重要线段 对称性
等腰三角形 两腰相等 两个底角相等 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 轴对称图形,有一条对称轴
等边三角形 三条边相等 三个角相等,且都为60° 每条边上的中线、高和它所对角的角平分线都互相重合 轴对称图形,有三条对称轴
　　 设计意图:学生动手折叠或者作图验证猜想,得出等边三角形满足“三线合一”,有3条对称轴.熟练掌握等腰三角形与等边三角形的联系与区别,经历猜想、验证、归纳的过程,让学生体验研究的方法和思路,培养严谨的科学态度和模型观念.
典例精讲
例1　如图,在等边△ABC中,BC=10,BD⊥AC于点D,则
(1)AC=　10　;
(2)∠A=　60°　;
(3)∠ABD=　30°　;
(4)AD=　5　.
例2　如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.
分析:利用等边三角形三个角都是60°可得∠ACD是120°,再通过等腰△EBD的性质就可得出答案.
学生独立完成,小组内交流.
解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵∠ABE=40°,
∴∠EBC=60°-40°=20°.
∵BE=DE,
∴∠EBD=∠D=20°.
∵∠ACD=180°-60°=120°,
∴∠CED=180°-120°-20°=40°.
设计意图:本环节设计的2个例题,巩固等边三角形边、角、三线合一的性质,选题有梯度,分层设置.第2小题强调等边三角形每个角都是60°这个隐含条件以及三角形内角和定理和外角定理的综合应用,巩固性质,培养学生运用数学的能力,提升推理能力和运算能力.
探究新知
等边三角形的判定
1.类比等腰三角形的判定方法,你能得出等边三角形的判定方法吗
图形 等腰三角形 等边三角形
判定 从边看:两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形
从角看:两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形
　　2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗 你能证明你的结论吗
学生讨论得出:
一共有两种情况,等腰三角形的顶角是60°或等腰三角形的一个底角是60°.分别用三角形的内角和及等腰三角形两底角相等求出另外两个角从而得出三个内角都是60°,验证是等边三角形.
设计意图:用类比的方法探究等边三角形的判定,使学生在掌握知识的同时更好地把握住了研究问题的方法,培养了学生方法的掌握和知识体系的形成,注重对学生能力的培养.
典例精讲
例1　根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
解:图形(2)(3)(5)(6)是等边三角形,图形(1)不是等边三角形,图形(4)不一定是等边三角形.
例2　如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.
求证:△ADE是等边三角形.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ABC是等边三角形.
变式训练
(1)如图1,若点D,E在边AB,AC的延长线上(如图1),且DE∥BC,结论还成立吗
(2)如图2,若点D,E在边AB,AC的反向延长线上(如图2),且DE∥BC,结论依然成立吗
(3)题(1)中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
解:(1)结论仍成立.
(2)结论仍成立.
(3)△ADE还是等边三角形.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∴∠EAD=60°.
∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=60°.
∴△ADE还是等边三角形.
设计意图:根据图形结构和题设条件多方位进行变式,达到一题多练的目的,培养学生几何直观和空间观念,使学生抓住图形的本质,发展模型观念.
巩固训练
1.△ABC为等边三角形,点M是BC边上任意一点,点N是CA边上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,求∠BQM的度数.
解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°.
在△AMB与△BNC中,
∴△AMB≌△BNC.
∴∠BAM=∠CBN.
∵∠BQM是△ABQ的外角,∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ.
∵∠BAM=∠CBN.∴∠BQM=∠CBN+∠ABQ=∠ABC.
∵∠ABC=60°,∴∠BQM=60°.
2.在等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形 试证明你的结论.
解:△APQ是等边三角形.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
∵∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,
∴△ABP≌△ACQ.
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°.
∴△APQ是等边三角形.
设计意图:本题组设计两个题目,分别是等边三角形性质和全等的综合应用、等边三角形判定和全等的综合应用.利用三角形全等转化边和角相等是几何常考知识点,也是初中阶段的重点,选题具有典型性,培养学生综合分析问题的能力,进一步培养推理意识和能力.
课堂小结
1.谈谈今天的收获.
2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:
(1)本节课学习了哪些主要内容
(2)我们是怎么探究等边三角形的性质和判定的
(3)本节课你学到了哪些方法
设计意图:通过小结,引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,掌握几何直观和模型观念,提升知识转化和迁移能力.
相关练习.
1.教材第80页练习第1,2题.
2.相关练习.
教学反思

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