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三角形
第 1 节 三角形的三边关系
知识框架
三角形的三边关系
(1)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边(这两个条件满足其中一个即可).用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a+b>c或c-b(2)已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边c长度的范围：|a-b|(3)已知三角形周长l，最长边c 的取值范围是：
(4)利用三边关系可以证明线段不等关系，将需要证明的线段通过辅助线构造三角形进行转化.
典型例题
例1 如果三角形的两边长为1和5，第三边长为整数，那么三角形的周长为 .
分析 已知三角形两边的长度，则第三边长度大于两边之差，小于两边之和.
点评 已知两边的长度，先求第三边长度的范围，再根据第三边长的限制条件如整数、奇数、偶数等，进而确定第三边的长度解决问题，这是这类问题必经之路.
例2 现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析 给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形.从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边，直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉.
点评 要确定三角形的个数，只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重.
例3 已知a，b，c是三角形的三边长，化简：[
分析 根据三角形的三边关系得出( ，再化去绝对值符号即可.解
点评 去绝对值符号的关键是确定被求绝对值的数的符号，而三角形的三边关系是其根源.
例4 在△ABC中,AB=AC,点D 是AC 的中点,连接BD,若BD 把 的周长分为 24 与12两部分,求△ABC 的三边长.
分析 画图，设未知数列方程可解，并运用三角形的三边关系对结果进行验证.
解
点评 在后续学习三角形知识时，根据条件确定三角形三边长，别忘了验证三角形的三边关系.
例5如图1-1，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两个螺丝的距离依序为3，4，6，8，且相邻两木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离的最大值是 .
分析 任两螺丝的距离分“相邻”与“相对”两类，“相邻”的距离是确定的，连接相对螺丝的两条线段，结合三角形三边关系与极端情况分析即可.
点评 分类，三角形三边关系及极端思想的运用是解决此题的关键所在.
例6 现 有长为144 cm的铁丝，要截成n 小段( ，每段的长度不小于 1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为多少
分析 不构成三角形的条件就是任选三条线段较小两条之和不超过最长线段，且要使n取得最大，则按从小到大排序后，截得的每条线段尽可能小.
解
点评 “构不成”与“最大”是此题突破的两个关键.此题的结论与斐波那契数列有着异曲同工之妙！
例7 已知三角形的周长为13cm，三边长a，b，c都是整数，且满足( ，那么满足条件的三角形有多少个 分别写出a，b，c 的值.
分析 已知三角形的周长为13cm，进而确定最长边c 的取值范围.根据c是整数，可以确定c 的长度，再确定其余两边的长度.
解
点评 当三条边不确定的时候，难以分类讨论，在解决本类问题时有一个技巧：已知三角形周长l，可以确定最长边c 的取值范围是 再有序列举.
例8 a，b，c 是三角形的三边长，每条边都大于1.
(1)下列长度的线段不一定能组成三角形三边的是 .(填写编号)
(2)对于(1)中的判断举出反例.
(3)对下列长度的线段一定能组成的，请给出证明.
①a-1,b-1,c-1;②a+1,b+1,c+1;③ , ;④a ,b ,c ;⑤ , ,.
分析 反例就是能说明不一定能成立的例子，我们所举的反例越具体越好，即举的反例应该是a，b，c具体的数值.对于一定成立的选项，我们应给出证明，若x>y>z，我们只要证明. 即可证明x，y，z可以组成三角形.
点评 用具体的数据进行多次尝试，是我们对本题作出判断的主要方法.
第 2 节 全等三角形
知识框架
全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角等问题的一个出发点，运用全等三角形，可以解决线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.两个全等三角形组成的图形，都可以看成是由一个三角形经过平移、旋转、翻折等变换得到，应熟悉组成全等三角形的基本图形(如下图)，并能从复杂的图形中找到这些基本图形.
典型例题
例1 如图2-1,D 为等边三角形ABC内一点,DB=DA,BE=AB,∠1=∠2,则. 的度数为
( )
A. 15° B. 20° C. 30° D. 45°
分析 连接DC，证明△BDE≌△BDC≌△ADC后，根据全等三角形的对应角相等进行求解.
点评 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形.
例2 如图2-2,已知BE,CF 分别是△ABC 中AC,AB边上的高线,在BE 的延长线上取点P,使PB=AC,在CF 的延长线上取点Q,使CQ=AB.则
分析 由同角的余角相等可得到一对相等角，从而证得一对三角形全等，根据全等三角形的性质即可求得.
点评 题目中出现多个直角时，可将直角转化为两角互余，利用同(等)角的余角相等得到一对角相等，为构造全等三角形提供条件.
例3 在等腰△ABC 中,AC=BC,D,E 分别为AB,BC 上一点,∠A=∠CDE.
(1) 如图2-3-1,若BC=BD,求证:CD=DE;
(2)如图2-3-2,过点C作CH⊥DE,垂足为H,若CD=BD,DE=CE,EH=3,求 CE-BE的值.
分析 (1) 根据ASA 判定△ADC≌△BED,证得CD=DE;(2) 在DE 上截取DF=BE,构造△CDF≌△DBE,再推得△CHF≌△CHE,根据线段的等量代换求得CE-BE 的值.
解
点评 现有图形中的两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形.求线段的和差倍分问题可通过线段的截长补短法作旋转变换的全等三角形.
例4 如图2-4,在直角△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,点D 为BC 的中点,CE⊥AD 于点E,其延长线交 AB 于点F,连接DF,求证:∠ADC=∠BDF.
分析 观察发现∠ADC 和∠BDF 所在的三角形并不全等，因此考虑添加辅助线，构造一个新三角形与△ACD 全等，使∠ADC 进行等量代换，可通过两次证明三角形全等得出结论.
解
点评 现阶段，利用角平分线(翻折)、作垂线或平行线是构造全等三角形的基本方法，有时候通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论.
例5 如图2-5,△ABC≌△BDE,M,M'分别为AB,DB 中点,直线 交CE 于K,BG 平分 ,试探索 CK 与EK 的数量关系.
分析 由已知条件不能得到相关条件，考虑作辅助线，延长MK 到N，使得NK=MM'，连接 CM，EN，再根据已知条件证明三角形全等得出结论.
解
点评 由全等三角形性质可得对应中线和对应角相等，但现有已知条件无法求解，所以要考虑添加辅助线，需要什么构造什么，我们的思维要完成一个观察，联想，构造的过程.
例6 已知四边形 ABCD 中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN 绕B 点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.
(1)当∠MBN绕B 点旋转到AE=CF 时(如图2-6-1),求证:AE+CF=EF;
(2)当∠MBN 绕B 点旋转到AE≠CF 时,在如图2-6-2 和如图2-6-3这两种情况下,上述结论是否成立 若成立，给出证明；若不成立，线段AE，CF，EF 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，并给予证明.
分析 (1)将△ABE 顺时针旋转120°,即可解题;(2) 对图2-6-2同理可证结论成立;对图2-6-3，将△ABE 顺时针旋转120°，可证结论不成立，得出新的数量关系.
解
点评 对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可尝试用旋转方法构造全等三角形.
例7 在四边形ABCD 中, , E 是AB 边上一点, BC.点 P从B 出发以2cm/秒的速度沿线段BC,CD 运动,同时点Q从C出发,沿线段CD,射线DA 运动，设运动时间为 t 秒.
(1) 如图2-7-1,当Q 与P 的速度相同,且( 时，求证：
(2)当Q 与P 的速度不同,且P,Q 分别在BC,CD 上运动时,若 与 全等，求此时Q的速度和t的值；
(3)如图2-7-2,当P 运动到CD 上,Q运动到射线DA 上时,若Q的速度为2.5cm/秒,是否存在恰当的边CD 的长，使在运动过程中某一时刻刚好 与 全等 若存在，请求出此时t 的值和边CD 的长；若不存在，请说明理由.
分析 (1) 根据SAS 即可证明.
(2)正确寻找全等三角形的对应边，根据路程、速度、时间的关系即可解决问题；
(3)分两种情形分别构建方程组即可解决问题.
解
点评 动点问题中的全等三角形应用，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，缺什么条件，再去证什么条件.解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题.
第3 节 全等三角形中的模型
知识框架
三角形是贯穿初中几何的核心内容，承上启下，三角形部分考查的重点为全等三角形.根据条件和图形特征，全等三角形可以分为很多类型，我们把这些常见的类型称之为模型，本节内容向大家介绍全等三角形中的3类常见模型及其运用.
(1)中点型(倍长中线、向中线作垂线、平行线+中点、类倍长中线)
倍长中线 向中线作垂线 平行线+中点 类倍长中线
已知:AD 为中线. 已知:AD 为中线. 已知:E为CD中点,AD∥BC. 已知:D为BC中点,
结论:△DAB≌△DEC, 结论:△DBE≌△DCF. 结论:△EAD≌△EFC. E 为AC 上一点.
AC-AB(2)一线三等角(同侧型、异侧型，K 型图别名“一线三直角”，属于一线三等角)
已知:∠A=∠CBE=∠D,BC=BE. 结论:△ABC≌△DEB.
已知:∠CAD=∠CBE=∠DEF,BC=AE. 结论:△ABC≌△DEA.
备注：一线三等角+任意一组边对应相等时，都可以证明全等.
(3) 等边三角形内的60°
已知:等边△ABC,D,E 分别为AC,BC上的动点,且AD=CE,BD与AE 交于点P.
结论:①△ACE≌△BAD;②∠APD=60°.
目典型例题
例1 如图3-1,在△ABC中,若AC=5,中线. ，则 AB 边的取值范围是 .
分析 与中线有关常考点：①中线等分三角形面积；②倍长中线.三角形的三边长关系，同学们可以记忆为：两边之差<第三边<两边之和.
点评 本章中线常考上面两点，本学期与中线有关常考点还有：“三线合一”，斜边中线.倍长中线后，同学们可以发现有平行四边形，向前承接平行线，向后延伸平行四边形，很有趣.
例2 如图3-2,D 是△ABC 的边 BC 上的点,且( ,AE 是 的中线,求证:∠C=∠BAE.
分析 本题证明角相等，首选证明全等，但本题中∠C 和∠BAE 并不在两个全等三角形中，突破点依然是中线，倍长中线(AE)试试，突然柳暗花明，思路大开.
解
点评 倍长中线后，同学们向B 连接或向D 连接，都可以证出结论.在运用已知角时，本学期及以后，常考内外角关系，这个知识点要熟知.你还有新发现吗 ①AD 平分∠EAC；②AC=2AE.这三个关系，可以通过同一个解法证出，殊途而同归.
例3 如图3-3,在等边△ABC 中,D 为AC 上一点,E 为BC 上一点,BD,AE 交于P,若四边形CDPE 与△ABP 面积相等,求证:
分析 由四边形CDPE 与△ABP 面积相等可得：S△AEC=S△BDA或S△AEB=S△BDC,再根据“等底”导出“等高”，即可找出全等三角形，问题得证.
解
点评 以后学习中常以等边三角形内的( 定角为基础，考查最值问题和路径问题，同学们要对这个模型有深刻的印象.
【例题】 如图3-4,点B 在线段AC上,点D,E 在AC 同侧,且∠DAB=∠BCE=90°,BD⊥BE,DA=BC.若AF 平分∠DAC交DE 于F,求证:DF=EF.
分析 由∠DAB=∠BCE=∠DBE=90°,DA=BC △DAB≌△BCE(K 型图),要证明DF=EF，即 F 为DE 中点，由潜在AD∥CE，联想“平行线+中点”，添加辅助线，即可证明.
解
点评 一线三等角模型是初中阶段常考模型之一，同学们要熟悉这些模型，为以后的学习打下扎实的基础.
例5 如图3-5,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点 D 在边 BC上,CD=2BD,点 E、F 在线段AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面积为12,则△ABE 和△CDF 的面积之和为 .
分析 显然直接求△ABE 和△CDF 的面积比较困难，可先利用一线三等角导出全等，再利用线段和面积关系即可解答.
点评 发现一线三等角中的全等三角形，再利用线段和面积间的转换是解题的关键.
例6 如图3-6,以△ABC的边AB,AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG,AH⊥BC,垂足为点 H,HA 的延长线交EG 于点M.求证:(1) EM=MG;(2) S△ABC=S△AEG.
分析 正方形提供了天然直角和相等的边，由AH⊥BC，联想构造K 型图.要证明EM=MG，就要寻找证明这两边所在三角形全等，用两次K 型图即可发现.
解
点评 第二问也可以用：等底等高，即AG，AC 边上的高相等，或者AE，AB 边上的高相等.本题还有BC=2AM，同学们想到了吗 复杂图形向熟悉图形转化，将会带来如虎添翼的效果.
第 4 节 三角形角平分线
知识框架
三角形的角平分线是一条神奇的线段，既能平分角的度数，又能得到比例线段，还能构造出全等.初中阶段有关三角形角平分线考题类型较多，有角平分线的垂线型、求内(外)角角平分线夹角度数、应用角平分线定理和角平分线的对称性等.但归根结底，基本都可以用两个方法来解决：“构造全等”和“参数应用”.
典型例题
例1如图4﹣1,△ABC 的面积为8cm ,AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P,则 的面积是
( )
A. 2cm B. 3cm
分析 利用角平分线的对称性构造全等是解决本题的突破口.
点评 通过全等，瞬间得到两组“同高三角形”，同高三角形面积之比等于底边之比.
例2 问题引入：
(1) 如图4-2-1,在△ABC中,点O是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点,若 则 (用α表示)；如图 则 (用α表示).
拓展研究：
(2) 如图 请猜想 (用α表示)，并说明理由.
类比研究：
(3)BO,CO 分别是△ABC 的外角∠DBC,∠ECB 的n等分线,它们交于点O, 请猜想∠BOC= .
分析 围绕三角形内角和为180°，把要求的角用等式表示即可求解.
点评 任它几等分线，灵活运用整体思想进行代换，以不变应万变.
例3 如图 中,AD 是 的平分线,E,F 分别为AB,AC 上的点,且 求证：
分析 由角平分线联想到点 D 到角两边的距离相等.
证明
点评 角平分线上的点到角两边的距离相等，这个定理在本题推理中起到关键作用.
例4 如图4-4,AD 是△ABC 的角平分线,
(1) 求 的度数；
(2)若 求证:CD--BD<2.
分析 由. ，故可在AC 上截取与AB 等长的线段，构造出全等三角形.
(1) 解
(2) 证明
点评 几何证明中找出(构造)一对全等三角形，进而进一步解决几何问题的考法十分普遍和重要.宁波中考题也多“寻找或构造全等(相似)”来作为压轴题.因此，要先学好全等，打好初三学习的基础.
例5 在△ABC中,∠BAC 的平分线交BC 于 D, 则 的度数是
分析 两条线段的和等于其中一条线段，可以采用延长短线段或在长线段上截取的方法，俗称“截长补短法”.
点评 截长补短是几何学习中的重要辅助线，往往能构造出全等三角形.八介书.全田维数学
例6 (1) 如图4-5-1,点O为. 内一点，连接BO，CO，请直接写出. 与 之间的关系.
(2) 如图4-5-2,AP,BP 分别平分. ,AP 交BD 于点E,BP 交AC 于点 F,AC 与BD交于点G，则有 请说明理由.
(3) 如图4-5-3,AP,BP 分别平分. AC 交 BD 于G,AP 交 BD 于 E.试探究 与∠C,∠D 的关系.
分析 围绕三角形外角性质而构造的“飞镖模型”是常见的考题模型.
解
点评 “飞镖模型”因其轮廓酷似飞镖而得名，平时积累一些常见的模型，解题时方能游刃有余.
例7 如图4-6,△ABC 中, 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F,P 为CE 中点,连接PF,若( 求AB 的长度.
分析 灵活应用三角形角平分线和中线的性质，通过巧妙设参数运算即可求解.
解
点评 本题中通过参数求得 的面积为常数，这是一个很神奇的结论.利用好参数，在解题中往往能轻松求解，达到事半功倍的效果，这体现了形缺数难入微的重要数学思想.用代数解决几何问题是中考的一大热门.

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