资源简介

5.2.3 诱导公式
【教学目标】
1. 了解诱导公式 , 会求任意角的三角函数值 , 会证明简单的三角恒等式 . 2. 了解对称变换的思想在数学问题中的应用 .
3. 进一步体会数形结合的思想 , 提升逻辑推理的核心素养 .
【教学重点】
利用诱导公式进行三角函数式的求值 、化简 .
【教学难点】
诱导公式 ①②③④的推导 .
【教学方法】
本节课主要采用启发诱导与讲练结合的教学方法 , 引导学生借助单位圆和 三角函数线 , 充分利用对称的性质 , 推出诱导公式 , 然后通过例题 、 习题 , 使 学生牢固掌握诱导公式的应用 .
【教学过程】
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 1. 复习三角函数的定义 、单位圆与三角 函数线 ; 2. 复习对称点的知识 . 教师用课件展示三 角函 数 的 定 义 、单 位 圆与 三 角 函 数 线 的 相 关内容 . 教 师 提 问 : 已 知 任 意角 α 的 终 边 与 单 位 为新课做 准备 .
续表
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 圆 相 交 于 点 P ( x, y), 请 分 别 写 出 点 P 关 于 x 轴 、y 轴 、 原 点对称的点的坐标 .
新 课 1. 角 α 与 α+k · 2π (k∈Z) 的三角 函 数间的关系 平面直角坐标系中 , α 与 α+k · 2π (k∈ Z) 的终 边 相 同 , 由 三 角 函 数 的 定 义 , 它 们的三角函数值相等 , 于是得到公式 ① : sin(α+k · (·)2π) =sin α, (
tan
(α+k
2π)
=
tan
α.
)cos(α+k · 2π) =cosα, (k∈Z) 例 1 求下列各三角函数的值 : (3) tan405°. 解 (1) sin =sin +6π ,÷ (3) tan405°=tan(45°+360°) =tan45°=1. 师生共同探讨得出 公 式 ① 的 结 构 特 征 : 等号 两 边 是 同 名 三 角 函数 , 且符号都为正 . 例 1 由 学 生 独 立 完 成求解 . 教师 总 结 公 式 ①的 作用 : 把 任 意 角 的 三 角函 数 转 化 为 0~2π 内角的三角函数 . 展示诱导 公 式 ①在 求 值时的应用 .
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新 课 2. 角 α 与-α 的三角函数间的关系 如图 1, 设单位圆与角 α 和角 -α 的终边 的交点分别是点 P 和点 P'. 容易看出 , 点 P 与点 P'关于 x 轴对称 . y P一 \ a l (
\i
M
) (
P
'
) (
O
)x
图 1 已 知 P (cos α, sin α), P'( cos( - α), sin( -α)) . 于是 , 得到公式 ② : sin( -α) = - sin α, cos( -α) =cosα, tan( -α) = - tan α. 例 2 求下列各三角函数值 : (1) ; 观 察 图 1, 教 师 引 导学生回答 , 点 P'与 点 P 的 位 置 关 系 怎 样 它们 的 坐 标 之 间 有什 么 关 系 进 而 推 出诱导公式 ② . 学生独立完 成 例 2, 并交流解题心得 . 讲 完 例 2 后 , 教 师 总结诱 导 公 式 ②的 作 用 : 把任 意 负 角 的 三 角函 数 转 化 为 正 角 的 三角函数 . 教 师 布 置 练 习 : 本 节练习 A 组 第 1 (3) (4) 题 、第 2 (3)(4) 题 、第 3(4) 题 . 熟练应用 公 式 ① 和 ② 求值 .
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新 课 3. 角 α 与 α±π 的三角函数间的关系 如图 2, 角 α 与 α±π 的终边与单位圆分 别相交 于 点 P 与 点 P/, 容 易 看 出 , 点 P 与点 P/关于原点对称 , 它们的对应坐标互 为相反数 , 于是得到公式 ③ : sin(α±π)= - sin α, cos(α±π)= - cosα, tan(α±π) =tan α. y P(x,y) (
+T
M
'
O
) (
x
)M 兀 P ' ( x, y) (1) y P '( x, y) +T O M (
x
)M' P(x,y) (2) 图 2 4. 角 α 与 α+ 的三角函数间的关系 如图 3所示 , 角 α 的终边与单位圆的交 点为 P, 角 α+ 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 观 察 图 2, 教 师 引 导学生回答 , 点 P/与 点 P 的 位 置 关 系 怎 样 它们 的 坐 标 之 间 有什 么 关 系 进 而 推 出公式 ③ . 教师用语 言叙述公式 ③ , 更 利 于 学 生 理 解 、 掌 握 公 式 ③ 的特征 .
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新 课 (
y
) (
M
O
M
x
)为 P', 则点 P 的 坐 标 是 (cos α, sin α), 点 P'的坐标是 过 点 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M , 过点 P'作 P'M'垂 直 x 轴 于 点 M', 易 证 △P'M'O≌ △OMP, 由此可证明公式 ④ : P (
P
)a + a
图 3 例 3 求下列各值 : 2π (1) cos 3 ; (2) sin150°. (2) sin150°=sin(90°+60°) =cos60° 公式 ①②③④都称为三角函数的诱导公 式 , 利用这些公式可以把任 意 角 的 三 角 函 数转化为锐角的三角函数 . 教师引导学生证明 △P'M'O ≌ △OMP , 从而得到公式 ④ . 学 生 独 立 完 成 , 并 交流解题心得 . 教师指出诱导公式 的作 用 , 并 引 导 学 生 体会 . 熟练运用 公 式 ③求 三 角函数值 . 渗透转化 的数学思想 .
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新 课 例 4 求下列各三角函数的值 : (2) ; sin 930°. (2) cos - ,÷ =cos (3) tan - ,÷ = - tan (4) sin930°=sin(30°+5×180°) =sin(30°+180°) 例 5 证明 : (2) =sin α. 教师引导学生发现 : 求解例 4 的 关 键 是 找 出题 中 各 角 与 锐 角 的 关系 , 进 而 将 问 题 转 化为 求 锐 角 的 三 角 函 数值问题 . 学 生 求 解 , 教 师 提 问求 解 的 过 程 中 用 到 了哪些诱导公式 . 综合运用 诱导公式求 任意角的三 角函数值 . 引导学生 熟 练 、 灵 活 地运用诱导 公式 .
(
=
) (
=
)续表
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证明 学生独立完 成 例 5, 教师 对 个 别 学 生 进 行 灵活应用 诱 导 公 式 ③
指导 . 和 ④ .
= -sin -α),÷ = - cosα;
例 6 化简 : 针 对 例 6, 教 师 总 综合运用
sin(2π-α) cos(π+α) × 结 : 化简时 , 应灵活 、 各组诱导公
新 课 综 合 应 用 诱 导 公 式 . 适当地改变角的结构 , 使之 符 合 诱 导 公 式 中 角的 形 式 , 这 是 解 决 式化简较复 杂的三角代 数式 .
(-sinα)(-cosα)(-sinα) 问题的关键 .
(
×co
s
「
L
ê
5π+

-
α
)
,
÷
7
」
ú
)解 原式 = (-cosα)sin(π-α)[-sin(π+α)]
×sinL (「)ê4π+ +α),÷ 7」ú
- sin2αcosαL (「)ê -cos -α),÷ 7」ú
= ( - cosα)sinα[ -( -sinα)]sin +α),÷
sin α
- tan α.
- cosα
小 结 求任意角的三角函数值的步骤 : 师生共同总结、交流. 教师可指出诱导公 式 ④在 证 明 、 化 简 中 较为 重 要 , 并 且 公 式 ④揭 示 了 正 弦 函 数 与 余弦函数的关系 . 让学生养 成自己归纳 、 总结的习惯 .
任意负角的 三角函数
(
公式②
) (
公式①
) 任意正角的 三角函数
。到2π内的角 的三角函数
公式③ 锐角的 三角函数
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作 业 本节练习 B组题目 . 学生课后完成 . 巩固所学 知识 .5.2.2 同角三角函数的基本关系式
【教学目标】
1. 理解同角三角函数的基本关系式 , 会运用公式求值 、化简 、证明 . 2. 提高用方程 (组) 解决问题的能力 .
3. 体会知识间的联系性与整体性 , 发展数学运算 、逻辑推理的核心素养 .
【教学重点】
同角三角函数的基本关系式的推导及应用 (求值 、化简 、恒等式的证明) .
【教学难点】
灵活应用同角三角函数的基本关系式 .
【教学方法】
本节课主要采用讲练结合的教学 方 法 . 在 教 学 过 程 中 , 要 注 意 引 导 学 生 理解每个公式 , 懂得公式的来 龙 去 脉 , 并 能 灵 活 运 用 . 课 堂 中 , 充 分 发 挥 学 生的主体作用 , 让学生自主探究并解决问题 , 提高学生用方程 (组) 解决问 题的能力 .
【教学过程】
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导 入 (
y
s
P
(
cos
a
,
sin
a
)
一
sin
a
) (
O
cos
) (
a
)复习三角函数的定义 、单位圆和 三角函数线 、勾股定理 . (
1
) x a 图 1 结 合 图 1, 教 师 带 领 学生回顾与本节课相关 的知识点 . 为推出 sin2α+cos2α=1, = tan α 这两个基本关系式 做准备 .
新 课 在单位圆中 , 由三角函数的定义 和勾股定理 , 可得同角三角函数的 基本关系式 : 教师引导学生根据图 1, 证明同角三角函数的 基本关系式 .
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新 课 sin2α+cos2α=1, 同角三角函数的基本关系式的应 用主要包括三个方面 . 一 、求值 例 1 已知 sin α= 是第 二象限角 , 求 α 的余弦和正切值 . 解 由 sin2α+cos2α=1, 得 因为 α 是第二象限角 , cosα<0, 所以 cosα= - 4 教师介绍 sin2α, cos2α 的读 法 、 写 法 , 并 让 学 生验证 30°, 45°, 60°的 正弦 、余 弦 、 正 切 值 是 否满足两个关系式 . 教 师 引 导 学 生 明 确 : “同角 ” 的概念与角的表 达形式无关 , 如 sin2β+ cos2β=1也成立 . 教 师 指 出 : 当 我 们 知 道一个角的某一三角函 数值时 , 利 用 这 两 个 关 系式和三角函数的定义 , 就可求出这个角的另外 两个三角函数值 . 此外 , 还可用它们化简三角函 数式和证明三角恒等式 . 教 师 鼓 励 学 生 自 己 解 决例 1, 并 在 开 方 时 强 调符号问题 . 教 师 布 置 练 习 : 本 节 练习 A 组 第 1 (2) (3) 题. 教 师 总 结 : 已 知 正 弦 根据平方关系 (或 余 弦) → 求 余 弦 ( 或 正 弦 ) 根据商数关 求正切 . 初步认识和应用 同角三角函数的两 个基本关系式 . “同角 ” 可 以 从 两个方 面 理 解 : 一 是 “角相同”; 二是 “任意一个角”. 指出同角三角函 数基本关系式的主 要应用 . 巩固同角三角函 数的两个基本关系 式的应用 .
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新 课 例 2 已 知 tan α= - 5 , 且 α 是第二象限角 , 求角 α 的正弦和余 弦值 . 教师引导学生通过解 方程组完成例 2. 教 师 布 置 练 习 : 本 节 练习 A组第 1 (4) 题 . 教 师 总 结 : 知 正 切 解方程 求 余 弦 (或 正 弦) . 教师强调以下两点 : 1. 注意同角三角函数 基本关系式的变形应用 . 2. 已知 sin α, cos α, tan α 中的任意一个 , 可 以用 方 程 (组) 求 出 其 余的两个 . 教师指出化简例 3 时 , 把正切函数化为正弦函 数与余弦函数的商 . 教 师 布 置 练 习 : 本 节 练习 A 组第 2 题 、练习 B组第 1题 . 结合同角三角函 数的 基 本 关 系 式 , 利用方程组求解问 题. 及时强调应用同 角三角函数基本关 系式 求 值 的 思 路 , 为下面运用公式化 简和证明积累经验.
解 由题意得 sin2α+cos2α=1, ① ②
由 ②得 sin α= - 5cos α, 代入 ①式得 因为 α 是第二象限角 , 所以 代入 ②式得 sinα = - 5cosα
= 二 、化简 30 6 .
sin θ- cosθ (
例
3
化简
:
) 解 原式
(
=
) (
=
cos
θ.
)sin θ- cosθ sin θ- cosθ cosθ
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新 课 三 、证明 例 4 求证 : (1) sin4α-cos4α=2sin2α-1; (2) tan2α- sin2α=tan2αsin2α; (3) 证明 (1) 原式左边 = (sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α) =sin2α- cos2α =sin2α-(1-sin2α) =2sin2α-1 = 右边 . 因此 sin4α-cos4α=2sin2α-1. (2) 原式右边 =tan2α(1-cos2α) =tan2α- tan2α cos2α =tan2α- sin2α =左边 . 因此 tan2α- sin2α=tan2αsin2α. (3) 证法 1: 因为 =0. 教师提示 : 证明恒等式 一般从繁到简 , 从高次到 低次. 顺序上 , 可以从左 向右 , 或从右向左 , 或从 两边向中间来证明. 可 让 学 生 自 己 先 独 立 探索证 明 思 路 , 再 小 组 讨 论 . 教 师 在 证 明 思 路 和解题格式上给予指导 . 教师引导学生分析证 法 1: 用 作 差 比 较 法 , 通 过 证 明 两 式 的 差 为 0 来证明两式相等 . 在恒等式的证明 中巩固同角三角函 数的基本关系式 . 一题多解 , 体会 同角三角函数基本 关系式的灵活应用.
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新 课 所以 证法 2: 因为 左边 右边 所以左边 = 右边 , 即原等式成立 . 教师引导学生分析证 法 2: 利 用 公 分 母 将 原 式的左边和右边转化为 同一种形式 . 教 师 布 置 练 习 : 本 节 练习 A 组第 3 题 、练习 B组第 2题 .
小 结 1. 同角三角函数的基本关系式 : sin2α+cos2α=1; 2. 求 值 、化 简 和 证 明 题 目 的 思 路与注意事项 . 师生共同总结 . 帮助学生养成及 时总结 、反思的好 习惯 .
作 业 必做题 : 写出同角三角函数的基 本关系式 , 并写出其变形公式 . 选做题 : 本节练习 B组第 3题 . 学生课后完成 . 巩固所学知识 .5.2.1 任意角三角函数的定义
【教学目标】
1. 理解并掌握任意角三角函数的定义 , 会根据三角函数的定义求特殊角 的三角函数 , 熟记三角函数在各象限的符号 , 掌握三角函数线的定义及画法 .
2. 进一步体会数形结合的思想 , 提升直观想象 、逻辑推理和数学抽象的 核心素养 .
【教学重点】
任意角三角函数的定义 .
【教学难点】
单位圆及三角函数线 .
【教学方法】
本节课主要采用启发引导与讲练结合式的教学方法 . 在复习锐角三角函数 定义的基础上 , 定义任意角的三角函数 , 然后引导学生根据三角函数的定义求 特殊角的三角函数 . 接着 , 根据象限内点的坐标符号和三角函数的定义导出三 角函数在各象限的符号 , 接着把正弦值 、余弦值 、正切值用单位圆中的有向线 段表示 , 使数与形密切结合起来 , 加强学生对三角函数定义的理解 .
【教学过程】
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教师 提 出 : 初 中 时 我 们 学
导 过锐角 三 角 函 数 , 当 时 是 怎 复习旧知 ,
复习锐角三角函数的定义 .
入 样定义的 引入新知.
学生小组讨论后回答 .
新 课 1. 任意角三角函数的定义 已 知 α 是 任 意 角 , P ( x, y), P'(x', y') 是角 α 的终边与 两 个 半 径不 同 的 同 心 圆 的 交 点 , 如 图 1 所 示 . 其 中 r = x2 +y2 , r' = 教师 提 问 : 当 我 们 把 锐 角 的概念 推 广 为 转 角 后 , 我 们 如何定义任意角的三角函数 教师引导学生理解 : 如图 1 所 示 , 由 相 似 三 角
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新 课 x'2 +y'2 . y (
边
)--------1P 终 P r (
r
) (
y
)' , y O x x x 图 1 当角 α 不变时 , 对于角 α 的终边上 任意一点 P(x, y), 不论点 P 在角 α 的 终 边 上 的 位 置 如 何 , 三 个 比 值 , , 始 终 等 于 定 值 . 因 此 定 义 : 角 α 的余弦 cosα= ; 角 α 的正弦 sin α= ; 角 α 的正切 tan α= 依照上述定义 , 对于每一个确定的 角 α, 都 分 别 有 唯 一 确 定 的 余 弦 值 、 正弦值 、正切值与之对应 , 所以这三 个对应 关 系 都 是 以 α 为 自 变 量 的 函 数 , 分别称为角 α 的余弦函数 、正弦 函数和正切函数 . 根据三角函数的定义 , 可计算三角 函数值 . 形对 应 边 成 比 例 得 ' ' , r (y) = r (y)' , i x (y)i = ' y ' . x 由于点 P , P'在同 一 象 限 内 , 所以 它 们 的 坐 标 符 号 相 同 , 因 此 , 所 以 三 个 比 值 (
x
y
y
), , 只 依 赖 于 α 的 大 r r x 小 , 与点 P 在 α 终边上的位 置无关 . 教师 引 领 学 生 识 记 三 角 函 数的定义 . 教师 依 据 函 数 定 义 说 明 角 α 与三角函数值的对应关系 . 说明三角 函数定义的 理论根据 . 引出任意 角三角函数 的概念 .
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新 课 例 1 已知角 α 的终边经过点P(2, -3) . 求 sin α, cosα 和 tan α. 解 设 x =2, y = - 3, 则 r = 于是 例 2 求下列各角的正弦 、余弦和 正切 . 3π (
2
.
)(1) 0; (2) π; (3) 解 (1) 角 0 的 终 边 在 x 轴 正 半 轴上 , 在 x 轴 的 正 半 轴 上 取 点 (1, 0) , 所以 r= 因此 (2) 角 π 的终边在 x 轴负半轴上 , 在 x 轴 的 负 半 轴 上 取 点 ( -1, 0), 所以 因此 教师 提 示 学 生 根 据 三 角 函 数的定义 , 求三角函数值 . 教师 提 问 : 如 果 没 有 给 出 角的 终 边 经 过 的 点 的 坐 标 , 如何求 出 一 些 特 殊 角 的 三 角 函数值呢 学生讨论 , 尝试求解例 2. 巩固三角 函数的定义. 展示如何 通过三角函 数的定义求 特殊角的三 角函数值 .
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新 课 3π (3) 角 2 的终边在 y 轴负半轴上 , 在 y 轴 的 负 半 轴 上 取 点 (0, -1), 所以 因此 = - 1, cos = 0, tan 不存在 . 5π 例 3 求 6 的正弦 、余弦和正切 . 5π 解 如 图 2 所 示 , 在 6 的 终 边 上 取点 P , 使 OP=2. y s (
P
●
) 图 2 作 PM ⊥Ox, 则在 Rt△OMP 中 , 因此 MP =1, OM = 3. 从 而 可 知 P 的坐标为 ( - 3 , 1), 因此 2. 正 弦 、余 弦 与 正切在各 象 限 的 符号 教 师 结 合 图 2 进 行 讲 解 , 学生分析 、理解 . 加深对三 角函数定义 的理解 .
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新 课 (
y
) (
▲
) (
y
) (
+
) (
+
) (
+
) (
-
) (
O
) (
O
) (
x
) (
+
) (
-
) (
-
) (
x
-
) 教师 提 出 : 从 定 义 与 实 例 都可以看出 , 任意角的正弦 、 余弦与 正 切 , 都 既 有 可 能 是 正数 , 也 有 可 能 是 负 数 , 还 可能为 0. 它们的符号与什么 有关 试 总 结 出 任 意 角 的 正 弦 、余弦与正切符号的规律 . 学生 分 析 正 弦 、余 弦 与 正 切在各象限的符号 . 教师 指 出 : 在 确 定 某 一 三 角函数 值 的 符 号 时 , 可 以 先 判断对应的角是第几象限角 , 再根据 正 弦 、余 弦 与 正 切 在 各象限的符号规律进行判断 . 引导学生 总 结 出 正 弦 、余弦与 正切在各象 限的符号规 律. 巩固学生 对正弦 、余 弦与正切在 各象限符号 的理解 .
(
y
-
+
)sin a cos a (
O
x
+
-
) tan a 图 3 例 4 确定下列各值的符号 : cos 260°; ; (3) tan( -672°20'); (4) 解 (1) 因为 260°是 第 三 象 限 角 , 所以 cos260°<0; 因为 - 是第四象限角 , 所以 (3) 由 -672°20'=47°40'+(-2) × 360°, 可知 -672°20'是 第 一 象 限 角 , 所以 tan( -672°20') >0; 由 +2π, 可 知 是
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新 课 第三象限角 , 所以 tan 例 5 设 sin θ<0且 tan θ>0, 确 定 θ是第几象限角 . 解 因为 sin θ<0, 所以 θ 的终边 在第三 、 四象限 , 或 y 轴负半 轴 上 ; 又因为 tan θ>0, 所以 θ 的终边在第 一 、三象限 . 因此满足 sin θ<0且 tan θ>0的 θ 是第三象限角 . 练习 确定下列三角函数值的符号 : (1) cos 130°; (3) 3. 单位圆与三角函数线 一般地 , 在平面直角坐标系中 , 坐 标满足 x2 + y2 =1 的 点 组 成 的 集 合 称为单位圆 . 因此 , 如果角 α 的终边 与单位圆的交点为 P , 由三角函数的 定义可知 , 点 P 的坐标为 (cosα, sin α) . 这就是 说 , 角 α 的 余 弦 和 正 弦 分 别 等于角 α 终边与单位圆交点的横坐标 和纵坐标 . 如图 4所示 , 习惯上 , 我们称有向 线段 OM 为 角 α 的 余 弦 线 , 称 有 向 线段 MP 为角 α 的正弦线 . 学生小组讨论 , 得出结果 , 教师给予点评 , 并强调 sinθ< 0时 , 不 要 忘 记 θ 的 终 边 可 能落在 y 轴负半轴上 . 学生 完 成 练 习 后 , 教 师 可 让学生 用 计 算 器 验 证 各 三 角 函数值的符号 . 教师 指 出 , 结 合 单 位 圆 和 三角函 数 的 定 义 , 可 以 得 到 角的余弦和正弦的新求法 . 教师 指 出 , 利 用 正 弦 线 和 余弦线 可 以 直 观 地 看 出 角 的 正弦和余弦的信息 . 提升学生 逻辑推理的 核心素养 . 引导学生 体会知识之 间的联系 . 引导学生 感受三角函 数线的直观 性及作用 .
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新 课 (
a
的
终边
) (
N
)α 的终边 (
S
) β 的终边 (
M
X
)
图 4 如图 5所示 , 设角 α 的终边与直线 x=1交于 点 T , 则 有 向 线 段 AT 可 以直观地表示 tan α, 因此 AT 称 为 角 α 的正切线 . B 的 终边 ▲ A S
图 5 正弦线 、余弦线和正切线都称为三 角函数线 . 5π π 例 6 作出 6 和 4 的正弦线 、余弦 线和正切线 , 并利用三角函数线求出 它们的正弦 、余弦和正切 . 解 如图 6所示 , 在平面直角坐标 系中作出 单 位 圆 以 及 直 线 x=1, 单 位圆与 x 轴交于点 A(1, 0) . 教师 提 问 : 角 β 的 余 弦 线 是 ON , 正弦 线 是 NS. 你 能 得出哪些信息 学生回答 : cosβ<0, sinβ< 0, 且 cosβ > cosα , sin α > sinβ . 教师 提 问 : 角 β 的 正 切 线 是 AS, 你能得出哪些信息 学 生 回 答 : tan β<0, 且 tan β < tan α . 学 生 分 析 、解 决 问 题 . 教 师对个别学生进行指导 . 引导学生 体会三角函 数线的应用.
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新 课 y兀 (
P
▲
) (
R
▲
) (
S
) (
A
)4M O X T
图 6 5π 作 6 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 P , 过 P 作 x 轴的垂线 , 垂 足 为 M ; 延 长线段 PO, 交 直 线 x=1 于 T , 则 5π 的 正 弦 线 为 MP , 余 弦 线 为 OM , 6 正切线为 AT. 类似可得到 的正弦线为 NR, 余 弦线为 ON , 正切线为 AS. 在图 6 中 , 根据直角三角形的知识 可知 , MP =1, 所以 教师 引 导 学 生 根 据 三 角 函 5π 数线 的 定 义 作 出 6 的 正 弦 线 、余弦线和正切线 . (
4
、
)学生独立作出 π 的正弦线 余弦线 和 正 切 线 , 教 师 检 查 学生的完成情况 . 教师 强 调 根 据 三 角 函 数 线 得出三 角 函 数 值 时 , 要 注 意 三角函数值的符号 . 巩固三角 函数线的定 义及应用 . 为学生提 供巩固三角 函数线作图 的机会 . 引导学生 体会三角函 数线的作用.
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小 结 回忆本节课所学知识点 : 1. 任意角三角函数的定义 . 2. 正 弦 、余 弦 与 正 切 在 各 象 限 的 符号 . 3. 单位圆与三角函数线 . 教师 引 导 学 生 总 结 本 节 所 学知识 , 反思易错点 . 帮助学生 养成良好的 学习习惯 .
作 本节练习 A 组第 1~3 题 , 练习 B 教师 布 置 作 业 , 学 生 课 下 巩固所学
业 组第 2~3题 . 完成 . 知识 .5.1.2 弧度制
【教学目标】
1. 了解弧度制的概念以及弧长公式 , 理解角度制与弧度制的换算 . 2. 理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系 .
3. 体会等价转化与辩证统一的思想 , 提升逻辑推理 、数学抽象的核心素养.
【教学重点】
弧度制的概念 , 掌握弧度制与角度制的换算 .
【教学难点】
弧度制的概念 .
【教学方法】
本节课采用类比教学法 , 在复习角度制的基础上引入弧度制 , 探究它们之 间的换算方法 , 使学生认识它们之间相互联系 、辩证统一的关系 . 通过弧度制 与角度制的比较 , 使学生加深对弧度制的认识 , 逐步适应用弧度制度量角 .
【教学过程】
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复习初中学过的角度制 . 教师提问 : 初中学过角度
制 , 1度角是怎么定义的 学生回答 : 把一圆周 360 等分 , 则其中一份所对的圆 复习角度制 .
导 心角是 1 度角 . 且 1°=60/,
入 1/=60Ⅱ. 引出弧度制 .
教师指出 : 在数学和其他科 学中我们还经常用到另一种 度量角的单位制———弧度制.
新 课 1. 弧度制的度量单位———1弧 度的角 (1) 定义 : 等于半径长的圆弧 教师在列举长度 、质量等 度量单位的基础上给出 1 弧 度的定义 . 引 入 1 弧 度 角 的概念 .
续表
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新 课 所对 的 圆 心 角 称 为 1 弧 度 的 角 . ︵ 例如 , 设 AB 的 长 等 于 半 径 r, ︵ AB 所对的圆心角就是 1 弧度的 角 (图 1), 记作 1rad. B (
\
\r
\
) r O r A 图 1 (2) 弧长与半径的比值 等于 一个常数 , 只 与 α 的 大 小 有 关 , 与半径长无关 . 2. 角度制与弧度制的换算 周 角 = 360°= = 2π rad, 即 教师举例 : 若圆心角所对 的弧长l= 2r, 那 么 圆 心 角 的弧度数就是 2rad. 若圆心角所对的弧长 l= 3r, 那么圆心角的弧度数是 多少 学生回答 : 3rad. 若圆心角所对的弧长就是 l, 那么 圆 心 角 的 弧 度 数 是 多少 学生回答 rad. 教师引导学生考察圆心角、 弧长和半径之间的关系 : 如图 1所示 , 两个大小不 同的同 心 圆 中 圆 心 角 为 α, 设 α=n°, 则 因此 所以 , 对于任何一个圆心 角 α, 所对弧长与半径的比 值是一个仅与角 α 的大小有 关的常数 . 教师提问 : 圆的周长所对 的圆心角是多少弧度 学生回答 : 圆的 周 长 l= 2πr. 的 值 与 半 径 长 无 关 , 而 只 与 α 的 大 小 有 关 , 这就 启 发 我 们 用 圆的 半 径 作 单 位 去 量 弧 , 进 而 定 义 1rad 的角 .
续表
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 360°=2πrad, 平角 =180°=πrad, 即 180°=πrad. 由此得出 rad≈0.01745 rad, 1 rad = °≈57.30° =57°18'. 设一个角的弧度数为 α, 角度 为 n°, 则 或者 n=α · 特殊角的弧度数与角度数的互 化 , 见教材 . 例 1 把 67°30'化成弧度 . 解 67°30'= 练习 1 本节练习 A组第 2题. 3π 例 2 把 rad化成度 5 . =108°. 练习 2 本节练习 A 组第 3~ 4题. 周 角 = 360° = 2πrad, 即 360°=2πrad. 教师提问 : 180°等于多少 弧 度 90°, 60°, 45°, 30° 等于多少弧度 教师引导学生得出角度制 与弧度制的换算公式 . 例 1 和例 2 可由学生自己 完成 , 教师适当指导即可 . 帮助学生熟记 特殊角的弧度数 . 熟练掌握角的 弧度 数 与 角 度 数 的互化 .
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新 课 例 3 使用函数型计算器 , 把 下列度数化为弧度数或把弧度数 化为度数 (结果精确到小数点后 2位数): (1) 67°, -86°; (2) 1.2rad, -3.5rad. 解 略 . 这种用 “弧度 ”作单位来度量 角的制度称为弧度制 . 无论是 用 角 度 制 还 是 弧 度 制 , 都能 在 角 的 集 合 与 实 数 集 R 之 间建立一一对应的关系 . 3. 弧长公式 由弧度的定义 , 我们知道弧长 l与半径 r 的比值等于所对圆心 角 α 的弧度数 (正值), 即 =α 或 l=αr. 其中 l=αr 是弧度制下的弧长计 算公式 . ︵ 例 4 如 图 2 所 示 , AB所 对 的圆 心 角 为 60°, 半 径 为 5cm , ︵ 求AB的长 l (精确到 0.1cm) . B 教 师 指 出 : 由 于 角 有 正 负 , 我们规定 : 正角的弧度 数为正数 , 负角的弧度数为 负数 , 零角的弧度数为 0. 教师给出弧度制的定义 . 教师引导学生利用弧长公 式求解例 4. 对任意角的弧 度数 给 出 明 确 的 规定 . 为三角函数的 引入做铺垫 . 巩固弧长公式 的应用 .
O 60。 A
图 2
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解 因 为 60°= , 所 以 l= × 5≈5.2.
︵
即AB的长约为 5.2cm.
例 5 利用弧度制证明扇形的 教师引导学生推理得出弧 以例题的形式 ,
面积公式 和 度制下扇形的面积公式 . 引出 弧 度 制 下 扇 形的面积公式 .
其中 R 是 扇 形 的 半 径 , α (0<
α<2π) 为 圆 心 角 , l是 扇 形 的
弧长 , S 是扇形的面积.
证明 因为半径为 R, 圆心角
为 n°的 扇 形 的 弧 长 公 式 和 面 积
公式分别是
新 课 将 n°转 换 为 弧 度 , 得 α =
于是 .
将l=αR 代入上式 , 即得 S=
lR.
小 结 本节知识点 : 1. 弧度制的定义 . 2. 角度制与弧度制的换算 . 3. 弧长公式和扇形面积公式 . 教师请学生自己总结本节 主要内容 . 归纳整理知识 点 , 明 确 弧 度 制 的意义 .
作 业 必 做 题 : 本 节 练 习 A 组 第 6 题 , 本节练习 B组第 1~3题 . 选 做 题 : 本 节 练 习 B 组 第 4 题. 学生课后完成 . 分层设置作业 , 为不 同 基 础 的 学 生提供选择空间 .5.1.1 角的概念的推广
【教学目标】
1. 了解正角 、负角 、终边相同的角 、象限角等概念 , 理解角的加减运算 .
2. 通过观察实例 , 认识角的概念推广的可能性和必要性 , 树立运动变化 的观点 , 并由此理解任意角的概念 .
3. 进一步体会数形结合的思想 , 提升直观想象 、逻辑推理的核心素养 .
【教学重点】
任意角 (正角 、负角和零角)、 终边相同的角 、象限角的概念 , 终边相同 的角的表示方法和判定方法 .
【教学难点】
任意角和终边相同的角的概念 .
【教学方法】
本节课主要采用启发引导式的教学方法 , 结合多媒体课件 , 带领学生发现 旧概念的局限之处 , 进而探索新的概念 . 教学过程中 , 紧扣 “旋转 ” 两个字 , 让学生在动手画图的过程中深刻认识任意角的概念 .
【教学过程】
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导 入 1. 复习初中学习过的角的定义 . 教师提问 : 初中学过的角 的定义是什么 学生回答 : 在平面内 , 角 可以看作由一条射线绕着它 的端点旋转而形成的图形 . 教师指出 : 初中时 , 不考 虑角的旋转方向 , 不论从射 线 OA 旋 转 到 OB, 还 是 从 射线 OB 旋 转 到 OA, 它 们 的旋转量都是一样的 , 如图 1所示 . 复习旧知 , 使学生发现 旧知的局限 性 , 激 发 学 生学习新知 的兴趣 .
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导 入 2. 提出新问题 : 运动员掷链球时 , 旋转方向可以是 逆时针方向也可以是顺时针方向 , 旋 转量也不止一个平角 , 那如何来度量 角的大小呢 B O A 图 1 初中时的角不考虑旋转方 向 , 只考虑旋转量 , 而且角 的范围在 0~360°.
新 课 1. 任意角的概念 (1) 射线的旋转方向 : 逆时针方向———正角 ; 顺时针方向———负角 ; 没有旋转———零角 . 画图时 , 常用带箭头的弧来表示旋 转的方 向 和 旋 转 量 . 旋 转 生 成 的 角 , 又常称为转角 . (2) 射线的旋转量 : 当射线绕端点旋转时 , 旋转量可以 超过一 个 周 角 , 形 成 任 意 大 小 的 角 . 角的度数 表 示 旋 转 量 的 大 小 . 如 图 2 (1)(2)表示的两个转角中 , α=450°, β= -630°. 画图说明正角 、负角以及 零角 . 教师小结 : 根据旋转方向 的不同定义正 、负角 , 根据 旋转量的不同将角推广到任 意范围 . 从旋转方 向和旋转量 两个方面 , 将 角的概念进 行推广 .
B (
α
)O A (1) B β (
A
)O
(2)
图 2
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新 课 (
B
) (
。
150
。
90
) (
。
60
) (
b一
) (
A
)2. 角的加减运算 60°+90°=150° (图 3 (1)) . 90°-30°=60° (图 3 (2)) . (
C
) O (1) 教师让学生画出下列各角 : (1) 0°, 360°, 720°, 1080°, -360°, -720°; (2) 90°, 450°, -270°, -630°. 学生求和并作图表示下列 角的运算 : 30°+45°, 60°-180°. 教师向学生强调角在平面 直角坐标系中的 “标准位置”. 教师举出几个例子 , 让学 生说出各角是哪个象限的角. 学生通过 自 己 画 图 , 深刻体会旋 转变换的思 想 , 加 深 对 任意角概念 的理解 .
(
C
) (
。
) (
。
60
90
) (
A
) (
。
-30
)B O
(2) 图 3 3. 象限角的概念 为了方便起见 , 通常将角放在平面 直角坐标系中来讨论 , 并约定 : 角的 顶点与坐标原点重合 , 角的始边落在 x 轴的正半轴上 . 这时 , 角的终边在 第几象限 , 就把这个角称为第几象限 角 . 如果终边在坐标轴上 , 就认为这 个角不属于任何象限 . 例 如 , 图 4 ( 1) 中 的 45°, -315°, 405°都 是 第 一 象 限 角 ; 图 4 (2) 中的 126°是第二象限角 , 210°是 第三 象 限 角 , - 60°是 第 四 象 限 角 , -90°不是 象 限 角 , 其 终 边 在 y 轴 的 负半轴上 .
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新 课 (
。
405
) (
O
) (
。
) (
60
x
) (
。
) (
90
) (
O
) (
。
126
) (
。
)y s (
315
。
) (
/
45
) (
x
)(1) y 。 210 (2) 图 4 4. 终边相同的角的集合 所有与 α 终边相同的角构成的集合 可记为 S= {ββ=α+k · 360°, k∈Z}. 教师提示 : 观察我们刚画 过的角 : (1) 0°, 360°, 720°, 1080°, -360°, -720°; (2) 90°, 450°, -270°, -630°. 教师引导学生思考 : 终边 相同的两个角的度数有什么 关系 学生讨论后回答 : 终边相 同 的 两 个 角 的 度 数 相 差 360°的整数倍 . 教 师 提 问 : 与 30°终 边 都 相 同 的 角 有 哪 些 有 多 少 个 它们能不能统一用一个 集合来表示 学生得出结论 . 结合前面 画 的 角 , 层 层 引 导 , 让 学生归纳终 边相同的角 之间的关系 .
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新 课 例 1 (1) 写出与下列各角终边相 同的角的集合 : (1) 45°; (2) 135°; (3) 240°; (4) 330°. 解 略 . 例 1 (2) 写出与下列各角终边相 同的角的集合 , 并指出它们是哪个象 限的角 : (1) 45°; (2) 135°; (3) 240°; (4) 330°. 解 (1) 与 45°终边 相 同 的 角 的 集 合是 S1={α α=45°+k · 360°, k∈Z}. 因为 45°是 第 一 象 限 角 , 所 以 集 合 S1 中的角都是第一象限角 . (2) 与 135°终边相同的角的集合是 S2={α α=135°+k · 360°, k∈Z}. 因 为 135°是 第 二 象 限 角 , 所 以 集 合 S2 中的角都是第二象限角 . (3) 与 240°终边相同的角的集合是 S3={α α=240°+k ·360°, k∈Z}. 因 为 240°是 第 三 象 限 角 , 所 以 集 合 S3 中的角都是第三象限角 . (4) 与 330°终边相同的角的集合是 S4={αi α=330°+k · 360°, k∈Z}. 因 为 330°是 第 四 象 限 角 , 所 以 集 合 S4 中的角都是第四象限角 . 例 1 (1) 由 学 生 口 答 , 教师给出规范的答案 . 学生独立完成例 1 (2) . 将 例 1 分 解为两个小 题 , 边 讲 边 练 , 小步子 、 低 台 阶 , 便 于学生理解 . 例 1 ( 2) 是关于象限 角和终边相 同的角的综 合练习题 .
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新 课 (
y
)例 2 写出终边在 y轴上的角的集合. 解 终 边 在 y 轴 的 正 半 轴 上 的 一 个角为 90°, 终边在 y 轴的负半轴上 的一个角为 -90° (图 5), 因 此 , 终 边在 y 轴 的 正 半 轴 、 负 半 轴 上 的 角 的集合分别是 (
S
2
=
{
α
α=-90°+k
360°
,
k∈Z}.
)S1 = {α α=90°+k · 360°, k∈Z}; 90。 (
x
)O 90。 图 5 所以终边在 y 轴上的角的集合为 (
Z}
∪
{
α
i
α
= - 90°+
k
)S1 ∪S2 = {α α=90°+k · 360°, k∈ 360°, k∈Z} = {α α=90°+k ·180°, k∈Z}. 练习 写 出 终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集合 . 讲解例 2 时 , 教师结合图 5 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 , 带领学生分析题意 . 教师提问 : 角的终边落在 y 轴上包含哪两种情况 学 生 回 答 : 终 边 落 在 y 轴正 半 轴 上 或 者 落 在 y 轴 负半轴上 . 教师追问 : (1) 90°角 的 终边 落 在 y 轴 的 正 半 轴 上 吗 与它终边相同的角的集 合是什么 (2) -90°角的终边落在 y 轴的负半轴上吗 与它终 边相同的角的集合是什么 (3) 这 两 个 集 合 的 并 集 怎么求 例 2 的 难 度 较 大 , 故 需要教师分 步 设 问 、 层 层 推 进 , 从 而引导学生 解决问题 . 进一步巩 固 “终 边 相 同的角的集 合 ” 的知识 .
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
例 3 在 0°~360°之间 , 找出与下 教师 引 导 学 生 通 过 画 图 ,
列各角终边相同的角 , 并分别判定各 解答例 3.
是哪个象限的角 :
(1) -120°; (2) 640°; (3) -950°.
例 4 写出第一象限角的集合 . 教师结合平面直角坐标系 巩 固 象 限
解 在 0°~360°之间 , 第一象限角 讲解例 4. 角的内容 .
的取值范围是 0°<α<90°, 所以第 一 学生分组练习 :
新 象限角的集合是 (1) 第二象限角的集合如
课 {α k ·360°<α<90°+k ·360°, k∈Z}. 何表示
(2) 第三象限角的集合如 何表示
(3) 第四象限角的集合如 何表示
教 师 增 加 辨 析 题 : 区 分 0°~90°的 角 、 锐 角 , 小 于 90°的 角 、第 一 象 限 角 这 几 个概念 .
小 结 1. 任意角的概念 . 2. 角的加减运算 . 3. 象限角的概念 . 4. 终边相同的角的集合 . 教师带领学生回顾本节课 的知识点 . 本节课概 念众多 , 通过 总 结 、梳 理 , 帮助学生巩固 所学内容.
作 业 本节练习 A组第 3~4题 . 本节练习 B组第 1题 、第 3题 . 学生课后完成 . 进一步复 习所学知识 .

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