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第三章 一元一次方程
第17 节 巧解一元一次方程
知识框架
一元一次方程是方程中最简单、最基础的部分，也是后续学习高次方程的基础.各类方程求解的过程往往本质上就是都要转化为一元一次方程的过程.一元一次方程的求解步骤分为：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1.解一元一次方程的过程不仅需要合理安排求解步骤的顺序，还需要灵活使用分数性质、等式性质、换元等各种运算技巧和相关性质，这样才能使解方程的过程简便、高效.
[2] 典型例题
例1 解方程：
(1) 24(x--1)=48;
(3)20%(x-2)+25%(x+1)=5×15%.
分析 解一元一次方程首先应考虑能否约分.
解
点评 简便运算，约分起步.
例2 解方程：
分析 考虑去分母的本质是便于合并同类项，通分的本质是促成同分母的加减.本题可将 约分，使方程两边抵消一些项，以达到减少通分困难，实现简便运算的目的.
解
点评 解方程的简便运算内容包括：分子分母约分、方程两边约简、方程两边抵消。
例3 解方程：
分析 分母中出现小数时，我们不忙于立即通分，而是利用分数基本性，将分母中的小数变为整数.第二个分数的分母是0.02，扩大50倍分母即变成1，这比扩大100倍要简便.
解
点评 观察分子与分母之间的等量关系是利用分数性质处理分母中的小数的常用方法，但处理分母的首要目的是便于达成同分母的加减运算，因此将分母整数化并不是处理分母的唯一方法.
例4 解 方程：
分析 通常我们先去小括号，再去中括号，最后去大括号，但有时我们可以改变去括号的顺序.如本题先去中括号，就会减少分数的出现.
解
点评 去括号化简代数式是解一元一次方程步骤中的重要一环，但如何确定去括号的顺序决定了去括号过程中的难易程度.
例5 解方程：
分析 如果我们利用乘法分配律去括号显然会使数据变得更加复杂.因此将多个分数的分母“化1”才是去括号的首选.
解
点评 解方程中去括号的方法有两种，一种是将括号外的数往括号里边乘，另一种是将括号外的数变为倒数乘到等号另一边.
例6 解 方程：
分析 (1)中可以将(x+1)视为一个整体，也可以将 或 视为一个整体，(2)中也有整体出现.
解
点评 整体思想是化繁为简的重要途径，也是巧解一元一次方程的有效方法.通过整体处理，方程变形成简单的形式，免去了去括号、去分母等运算过程.
例7 解 方程:|x-2|+|x-3|=1.
分析 含绝对值的方程，往往要分段讨论.
解
点评 解绝对值方程的基本方法有：去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为常见的方程求解；数形结合，借助于图形的直观性求解，前者是通法，后者是技巧.
例8 解方程：
分析 本例的方程的分母中呈现出多个项，通分或去分母难度较大.由于分母呈现出一定的规律性，所以可以考虑求和公式使用.即 进而联想到裂项法的应用，从而可使本例的解答过程简化.
解
点评 裂项相消是常用的代数技巧，例如 等都是常见的变形.
例9 解方程：
分析 与上例一样，通分不是明智之举.观察分子与分母中数的关系，发现差值不变，可以考虑将分子作适当的拆分(即裂项)，再利用等式性质与乘法分配律的逆用，解方程的过程一定便捷许多.
解
点评 许多方程的分母数据较为复杂，让我们难以下手，通分、去分母都无效，裂项是一种主要的方法，但绝对不止这一种方法，下面的例10又为读者展示了一种全新的方法.
例10 解方程:
分析 本例的分母与分子无共性可寻，且分母依然出现多个连续互质的情况，因此未知数所在的分数无法进行拆分且通分不便，所以可以考虑将常数6进行等分性拆分，与等号左侧的三个分数部分重新整合，观察其特性以巧解方程.
解
点评 拆分含x代数式或常数，然后进行重新分配组合是处理多个互质不便通分的方程的常用方法，观察如何能够均衡地将拆分的部分进行重新分配组合是其中的重要环节.
第 18 节含字母系数的方程
知识框架
含字母系数的方程，也称含参方程，是指方程中的系数是用字母表示的.含字母系数的方程总能化为ax=b的形式.方程的解的情况由a，b的取值确定，具体情形如下：
1. 当a≠0时，原方程有唯一解
2.当a=0且b=0时，原方程有无数个解，即为任意实数；
3.当a=0且b≠0时,原方程无解.
对于含字母系数的方程，不仅可以讨论解的个数，还可以探究解的特征.如满足怎样的条件解是整数，解是正数或负数等.因此，在解含字母系数方程的过程中还常用到整数的基本性质，包括奇数和偶数的性质.
典型例题
例1 当k为何值时，关于x的方程 的解为x=2
分析 方程解的本质为“使等式成立的未知数的值”，因此从结论“解为x=2”来入手，将方程中的x用2代替，可得一个关于 k 的方程.
解
点评 “见解代入”是处理含参方程“已知解求参数”的常用方法，通过“代入”的步骤使方程的未知数发生了转变.
例2 设a,b是有理数,方程||x-a|-b|=3有三个不相等的解,求b的值.
分析 先将最外层的绝对值去掉，并注意到|x-a|=0只有一个解.
解
点评 (1)含绝对值记号的方程，一般要去掉绝对值.(2)方程 ，当a>0时有两个根，当( 0时有一个根，当a<0时没有根.
例3 当m为何值时,关于x的方程4x-2m=3x+1的解是x=2x-3m的解的2倍
分析 本例中提到两个方程的解的数量关系，故只有将两个方程的解求出来，才能体现数量关系.
解
点评 本例也可将其中一个方程的解求得后(用含m 的代数式表示x)以2倍的形式代入另一个方程求 m.
例4 小明解关于y 的一元一次方程： ，在去括号时，将a 漏乘了 3，得到方程的解是y=3，求a 的值.
分析 本例属于“错中求解”的题型，既然y=3这个解是由错误运算造成的，那不妨追根溯源，将y=3代入错误产生的始端，以求得本题中的a 的值.
解
点评 错中求解要将解代入出错的方程.
例5 已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无数多个解,试求a,b的值.
分析 含字母系数的方程解存在三种情况：唯一解、无数个解、无解.因此本例需将原方程变形为“ax=b”形式，再讨论无数个解的情况.
解
点评 要讨论一元一次方程解的情况，先要将方程变形成为“ax=b”的形式.
例6 解关于x的方程
分析 方程中x为未知数，可将m，n作为常数，按解一元一次方程的步骤将方程转化为一般形式，再分类讨论解的三种情况.
解
点评 含字母的方程在未确定字母的取值范围时，需对不同情况(即字母取值范围)进行分类讨论，以明确一元一次方程解的三种情况.
例7 如果a，b 是常数，关于x的方程 无论k为何值时，它的解总是1，求a，b的值.
分析 本例中的条件为“无论k 为何值时，解总是1”即对应“唯一解”.因此，首先可将方程整理为 的形式，再将系数k作为未知数，考虑关于k的一元一次方程有无数个解.
解
点评 “无论为何值”即表示“无数个”，“总是”即表示“定值”.本题可采用“偷梁换柱”的解法，将“x为定值1”，以“k”为未知数，转换字母角色，巧用解的个数与系数关系解决问题.
例8 当k取什么整数时，方程.2kx-4=(k+2)x的解是正整数
分析 先将方程变形成为“ax=b”[的形式，得到 要使解为整数，b一定被a 整除.
解
点评 由本题可知，小学时学的知识(整除性)在初中很有用.
例9 若abc=1,解关于x 的方程
分析 本例中的关键在于通分，以达到合并同类项的目的.但直接通分过于烦琐，通过合理变形有助于出现同分母，可以考虑将ab用 ,将ac 用 代换，将分母统一转化为ac+c+1.
解
点评 通过本题学习，我们初步领略到代数变形之灵活，这样灵活的变形在以后的学习中，尤其是分式的学习还要进一步加强.
例10 已知p，q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程. 的解是 求代数式 p+q 的值.
分析 用代入法可得到 p，q 的等量关系，利用质数的奇偶性分析，讨论 p，q值的可能性，即可求得p,q 值.
解
点评 质数中只有唯一一个偶数是 2.
第 19 节 利用方程解决数学问题
知识框架
我们已经学习过一元一次方程及其解法，从本节开始，我们开始学习方程在数学和生活中的实际应用.方程本身是数学中的重要工具，很多问题的解决都离不开方程，学习方程的根本目的还是为了应用它解决各类问题.
利用方程解决问题，首先要具备方程的思想，即在解决问题之前，要有意识地、主动地问自己：这个问题可以用方程来解决吗 很多时候，在你问完自己这个问题之后，问题已经解决了一半.当然另一半需要我们学习和积累各种经验，即在不同的情境之下，如何设未知数，如何用方程来描述刻画问题，继而解决问题的方法.
典型例题
例1 已知关于x的一次代数式kx+b(k，b是常数)，当x=0时，代数式的值是3，当x=2时，代数式的值为5，当x=-2时，求这个代数式的值.
分析 将未知数的值代入代数式，根据代数式的值可以得到关于常数k，b 的方程，解方程即可.
解
点评 这种根据未知数和代数式的值，确定各项系数的方法叫待定系数法，是初中数学一种重要的方法.
例2 (1)有一道题,求 的值，其中 圆圆同学把 错写成了 但他计算的结果是正确的，请你通过计算说明这是怎么回事
(2)若关于a,b的多项式: 中不含有ab项，求m的值.
(3)已知a 是常数，关于x的多项式 若A-2B 的值与x 的取值无关,求A-2B 的值.
分析 (1)b的符号写反了，计算结果还是正确的，这个不仅仅是运气.试试先将代数式化简.(2)不含有ab项，说明化简后，含ab项的系数为0.(3)代数式的值与x的取值无关，同样说明，所有含有x的项合并同类项后，系数为0.
解
点评 本例的3个问题，本质上是相同的，是同一个问题的不同描述.在数学学习过程中，要注意总结积累，提高自己识别本质相同问题的各种“马甲”的能力.
例3 (1)圆圆同学发现关于x 的代数式( 一个有意思的性质：当x 取某一特殊值x 时，无论k的值如何变化，这个代数式的值都是定值.请你求出x 及该定值.
(2)已知关于x的二次三项式. 当x取某一特殊值. 时，无论a，b 如何变化，代数式的值都是定值，请求出. 及该定值.
分析 把代数式看成关于k的代数式，或看成关于a，b的代数式，重新整理，就可以看出问题的本质了.
解
点评 一个代数式中含有多个字母，可以根据问题的需要，将有些字母看作“主元”，有时会给问题的解决带来意想不到的好处，这种解决问题的方法叫“主元法”，在后续函数的学习过程中，有非常重要的作用.
例4 如图19-1，将连续的自然数1~1 001 按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数,要使这个正方形框出的16个数之和分别等于:(1)2 016,(2)2 030,(3) 2 064.是否可能 若不可能，试说明理由；若可能，请写出该方框16个数中的最小数.
分析 正方形框出的16个数有规律，引入未知数，建立关于这个未知数的一元一次方程，将问题转化为讨论方程是否存在正整数解.
解
点评 本题要考虑的问题较多，一是要考虑引入未知数，列方程；二是要要看方程有没有正整数解；三是要考虑最小数是否落在第1~4 列.
例5 如图19-2，将正奇数1，3，5，…，除第一行5个数外，按每行7个数一直写下去，形成一张数表，并将每一横排的数称为“行”，纵排的数称为“列”，问：
(1) 2 021 这个数应在第几行第几列
(2)在此表中画一个3×3方框，这个方框中的9个数的和可能是2 021吗 请说明理由.
分析 (1)先判断2 021 是第几个奇数，然后用小学的方法，即用余数解决问题；(2)根据方框中9个数的关系，设未知数列方程解决问题.
解
点评 这个数表与日历中的日期数字特征很相似.设未知数时，方框中有9个数，理论上随便设一个都可以，根据对称性，设最中心的数为x计算结果最简洁.
例6 如图19-3，从卫生纸的包装上可以得到以下信息：两层300格，每格 测量一卷卫生纸可以得到以下信息：外径12 cm，内径4cm，高11 cm.计算卫生纸的厚度(假设卷纸间没有空隙, 结果精确到0.01 cm).
分析 设为卫生纸的厚度x(cm)，根据卫生纸的体积列方程.
解
点评 将体积“算两次”，从而得到数量关系，“算两次”是列方程的常用方法.
例7 如图19-3，C 是线段AB上的一点，D 是线段BC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段 AC 的长度与线段BC 的长度都是正整数，则线段 AC 的长为 .
分析 设AC=a，BC=b(a，b都是正整数)，将所有线段的长度和用a，b表示出来，根据题意列方程，分析结果.
解
点评 当一个未知数解决问题比较困难时，可以设多个未知数.本题设两个未知数，虽然最后只能列出一个方程，但加上未知数都是正整数的条件后，问题就转化为解不定方程，结合数的整除性，问题最终得到解决.
例8 如图19-4，6张如图①的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分用阴影表示(两个长方形)，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，已知当BC的长度变化时，S 始终保持不变.用6张长为a，宽为b的长方形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y 张边长为b的正方形纸片(x，y 都是正整数)，拼成一个大的正方形(按原纸张进行无空隙，无重叠拼接)，则当x+y的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少(用含b的代数式表示) 并求出此时的x，y的值.
分析 先根据图19-4②中BC长度变化时，两个阴影部分的面积差不变，分析出a，b之间的关系.再根据大正方形的面积 分析x,y的值.
解
点评 图形的拼接问题，通过面积关系来分析是一种有效的方法.
第 20 节利用方程解决实际问题1
知识框架
应用题一直以来是初中数学的重中之重，常规的应用题在课堂里已经学了不少，本节内容我们所列举的例题，题型新颖，操作性强，很多应用题是中考的热门考点.通过本节内容的学习，相信你一定会有所收获，能感受到列方程解应用题的基本方法，体会到分析应用题数量关系的重要性.
列方程解应用题的一般步骤是：
(1)审题(仔细阅读，字字斟酌)；
(2)寻找数量关系(写文字等式，画线段图、示意图，列有关的代数式等)；
(3)设未知数，列方程；
(4)解方程、检验并作答.
典型例题
例1 李某到某地打工，和公司老板谈妥，年薪为17 700元和17台抽油烟机.现在李某工作9个月后因故辞职，经和老板协商，仍以原标准付酬，结果老板给了李某5200元钱和17 台抽油烟机，试问一台抽油烟机值多少元
分析 本题的数量关系是 ×年薪=9个月薪，只要将年薪和9个月薪用代数式表示出来，即可列出方程.
解
点评 写文字等式，列出有关的代数式，这些都是出现在分析时的草稿中的内容，但就是这样的草稿才是解题必解的过程，经历过程的解题才是中规中矩的解题.
例2 宁波和杭州两厂同时生产某种型号的机器若干台，宁波厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台.现在决定全部支援，分给武汉8台，南京6台.每台机器的运费如下表.
终点 起点 南京 武汉
宁波厂 400元 800元
杭州厂 300元 500元
(1)设宁波运往南京的机器为x台.用含x的代数式表示：杭州运往武汉的机器为 台；宁波运往武汉的机器为 台；
(2)若总运费为8 000元，则杭州运往武汉的机器应为多少台
(3)试问有无可能使总运费是7 700元 若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由.
分析 如果能列一个表格，使得四地之间的台数和运费的关系都能清楚表示出来，这一定是能帮助，
更好地理清思路，理解题意，找到隐含其中的数量关系.
解
点评 先列表后解题，列表也是一种草稿，可以这么说会不会解应用题，往往看会不会打草稿.
例3 如图20-1-1至图20-1-3，“森林”布贴画需要8块正方形和6块三角形布料组合而成，现有17 块同样布料，每一块布料能剪18块正方形或12块三角形.问这些布料最多能做“森林”布贴画多少幅 (正方形和三角形的颜色忽略不计)
分析 本题有一个重要的数量关系是正方形块数：三角形块数=8：6，也可以是8×三角形块数=6×正方形块数.
解
点评 这类应用题叫作配套问题，解题的关键在于确定两种物体的个数之比.
例4 小明为书房买灯，现有两种可供选购，其中一种是8瓦(即0.008千瓦)的节能灯，售价为49元/盏，另一种是40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯，售价为17元/盏，假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小明家所在地的电价是每千瓦时0.5元.
(1)设照明时间为x(x<2800)小时，用x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用(注：费用=灯的售价+电费)
(2)当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多 当照明时间为2 200小时时，购哪种灯合算
(3)假定照明时间是3500小时，需要同时点亮两盏灯，请你帮小明设计费用最低的买灯、用灯方案.
分析 本题的难点在于第(3)题，既要考虑买灯的费用少，又要考虑用灯的费用少，两盏灯无论如何是不够的，三盏够不够呢
解
点评 本题属于合理安排最优化问题，解决这类问题要求我们多次尝试，反复调整，直到获得最优方案为止，如能结合推理可以减少尝试的次数，如用灯时间超过2000 h，购买节能灯更合算.
例5 某市出租车司机每个月需支付两项固定费用：一是承包费5 200元，二是保险费、个人所得税及汽车保养费等810元，所用燃料费占运营收入(即顾客打车的费总和)的32%，每月公司补贴每个司机 1 850元.
(1)设月运营收入为x元，试用x的代数式表示一个出租车司机的月收入；
(月收入=月运营收入-固定费用-燃料费+公司补贴)
(2)在(1)的条件下，如果一个月的运营收入为12 000元，求司机的月收入占月运营收入的百分率(保百分号前的数精确到个位)；
(3)某司机在某一个月内有 800元的违章罚款和23 元乘车逃逸，要使该月收入不低于运营收入的35%，这个月的运营收入至少为多少元 .
分析 第(1)题根据月收入含义写代数式，第(2)题应该利用(1)的代数式解决，第(3)题的数量关系是:月收入-823=35%×月运营收入.
解
点评 寻找数量关系，写出有关的代数式是解应用题的关键所在.不少同学说“我不会解应用题是因为列不出方程”，其实不然，试问为什么列不出方程 真正的原因是数量关系没找到，代数式不会列.
例6 某工厂加工螺栓、螺帽，已知每1块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺帽(说明：每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺帽)，已知1个螺栓和2个螺帽组成一个零件，为了加工更多的零件，要求螺栓和螺帽恰好配套.请列方程解决下列问题：
(1)现有20块相同的金属原料，问最多能加工多少个这样的零件
(2)若把26块相同的金属原料全部加工完，问加工的螺栓和螺帽能恰好配套吗 说明理由.
(3)若把n块相同的金属原料全部加工完，为了使这样加工出来的螺栓与螺帽恰好配套，请求出n所满足的条件.
分析 由于1个螺栓和2个螺帽组成一套，所以螺栓数×2=螺帽数.
解
点评 本例属于配套问题，解决此类问题要将比例关系转化为等积关系，如， 转化为 n×螺栓数=m×螺帽数.
例7 如图20-2,用21张长50cm、宽25 cm的硬纸板,做长、宽、高分别是15 cm,10 cm,10 cm的长方体盒子(如图①)，长方体盒子表面展开图中(如图②)，4个侧面组成的长方形叫作盒身，用灰色部分表示，2个底面用分别用斜线阴影部分表示.硬纸板有如图的A，B，C三种裁剪方法(边角料不再利用).
A方法：剪2个盒身；
B方法：剪1个盒身和5个底面；
C方法：剪2个盒身和1个底面(2个灰色部分拼成1个盒身).
(1)如果只用 A，B两种裁剪方法，最多可以做几个盒子
(2)如果只用B，C两种裁剪方法，最多可以做几个盒子
分析 本题与例3一样，是配套问题，我们可以找到这样的关系：底面数量=2×盒身数量.解决(2) 时，可以考虑两张硬纸板为一组.
解
点评 两张硬纸板作为一组来考虑问题，叫作分组思想，在解应用题中时常会用到.
例8 如图20-3，实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通(即管子底端离容器底5cm )，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1 cm.若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升 当甲与乙的水位高度相差0.5cm时，求注水时间.
分析 先求出每分钟乙和丙的水位上升多少cm，还要考虑几分钟后丙的水开始流入乙，最后我们要分类讨论甲乙水位相差0.5cm 的三种情况.
解
点评 分类讨论是解许多应用题必备的数学思想.
第 21 节利用方程解决实际问题2
知识框架
在应用题中，购物优惠问题，方案优化问题，轮胎磨损问题，自动扶梯问题等，都是比较有难度的问题，这节课我们来挑战自我，学习如何从较难的问题中寻找等量关系，列出方程.
典型例题
例1 哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级.在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级.那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级
分析 由于哥哥和妹妹所用的时间是一样的，所以两人在走的时间内扶梯走的级数是一样的，等量关系应该是：扶梯走的级数+妹妹走的级数=哥哥走的级数-扶梯走的级数.
解
点评 本题的数量关系还可以是哥哥比扶梯全长多走的级数等于妹妹比扶梯全长少走的级数.
例2 某超市一楼和二楼之间架设了两台长度相同的上下自动扶梯，向上每秒移动的距离和向下每秒移动的距离相等，小可踏入上楼的扶梯并且以每秒0.3米的速度向上行走，同时，小逸踏入下楼的扶梯并且以每秒0.2米的速度向下行走.过了27秒，小可刚好位于扶梯的中点，再过了3秒，她和小逸相遇，自动扶梯的长度是 .
分析 由于过了27秒，小可刚好位于扶梯的中点，可得再过了 3秒，小可和小逸的位置，然后根据“路程差=速度差×时间”列出方程.
解
点评 本题运用小学方法求出.
例310个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出的数如图21-1所示，那么报3的人心里想的数是多少
分析 设报3的人心里想的数是x，分别把报5，7，9，1的人心里想的数用x的代数式表示，最后一圈回到3用x表示，如3对应x，5对应y，则有关系 。第二十二十二十二十二十二十二十二十二
解
点评 “算两次”是列方程的主要途径之一.
例4 某大型超市元旦假期举行促销活动.规定一次购物不超过100元的不给优惠，超过100元而不超过300元的，按该次购物金额九折优惠，超过300元的其中300元仍按九折优惠，超过部分按八折优惠.小美两次购物分别用了94.5 元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么，小丽应该付款多少元
分析 先应确定小美两次购物的金额范围，然后分类讨论.
解
点评 购物优惠问题，关键在于确定金额的范围.
例5 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140t，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 t；如果进行精加工，每天可加工 6 t，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案.
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天完成.
你认为选择哪种方案获利最多，为什么
分析 方案1：把140吨蔬菜全部粗加工，每吨获利4500元；方案2：15天精加工，每天加工6 t，每吨获利7500；剩下的50 t直接销售，每吨获利1000元；方案3：等量关系为精加工天数+粗加工天数=15，精加工吨数+粗加工吨数=140.
解
点评 选择获利最多方案，用到的关系式为每吨获利×吨数=总获利，注意精加工和粗加工每吨获利不同.
例6 有8人同时分别乘两辆小汽车赶往火车站(车速相同)，其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出了故障，此时离火车停止检票时间还有42 min.这时唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人.这辆小汽车的平均速度为 60km/h，人行走的速度为5k m/h.请你设计一个方案(上下车的时间不计)，使这8人能在最短时间内到达火车站，最短时间是多少
分析 最佳方案是：第一批4人开始步行，小汽车将第二批4人送到离车站一定距离的地方放下后，第二批人继续步行前往车站；小汽车掉头接第一批4人，最后两批8人同时到达车站.
解
点评 本题为方案型的应用题，先设计一个方案，找出等量关系，列出方程求解，看是否满足条件*若当
满足则证明该方案成立.
例7 电动车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3 000km就要报废，安装在前轮上，则行驶5000 km才报废.为使一对新轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在电动车行驶一定路程后，就将前后轮胎调换，这样安装在电动车上的一对新轮胎最多可驶多少千米
分析 轮胎是一样的，但安装在前后轮的磨损率不同.设电动车行驶了xkm后，互换前后轮胎，直到两只轮胎同时报废时，行驶的里程最多.根据轮胎报废时，两只轮胎作为后轮行驶的路程相等列方程.
解
点评 本题的难点是题意的理解.轮胎磨损问题与工程问题的本质是一样的.可以把轮胎报废时磨损量当作总工作量1，则轮胎作为前后轮时，行驶1千米时的磨损量(工作效率)分别是 和
例8 材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费.以沪市A 股的股票交易为例，除成本外还要交纳：
①印花税：按成交金额的0.1%计算；
②过户费：按成交金额的0.1%计算；
③佣金：按不高于成交金额的0.3%计算，不足5元按5元计算.
例：某投资者以每股5.00元的价格在沪市A 股中买入股票“金杯汽车”1 000股，以每股5.50元的价格全部卖出，共盈利多少
问题：
(1)小王对此很感兴趣，以每股5.00元的价格买入以上股票100股，以每股5.50 元的价格全部卖出，则他盈利为 元.
(2)小张以每股a(a≥5)元的价格买入以上股票1000股，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出.请你帮他计算出卖出的价格每股是 元(用a的代数式表示)，由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨 %才不亏(结果保留三个有效数字).
(3)小张再以每股5.00元的价格买入以上股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格.(精确到 0.01 元)
分析 认真审题，确定计算公式与计算方法，特别是佣金的计算方法.
解
点评 材料题，一定要看清题目所给的材料，从材料中寻找解题的方法.

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