资源简介

27.2.3 切线（3）
要点一 切线长定理
1. 切线长的定义:圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
2. 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等. 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
例1(安徽芜湖无为三中月考)如图27-2-5-1,PA和PB是☉O的两条
切线,A,B是切点.C是弧AB上任意一点,过点C画☉O的切线,分别
交PA,PB于D,E两点,已知PA=PB=5 cm,求△PDE的周长.

图27-2-5-1
解：由题意可知PA,PB,DE是☉O的切线,∴DA=DC,EB=EC,
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+
PE=PA+PB=10(cm).
方法指导：切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据。
要点二 三角形的内切圆
1. 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
2. 三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点,内心到三边的距离相等. 三角形的内心都在三角形的内部.
例2.如图27-2-5-2，△ABC中，∠C=90°，它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r．
图27-2-5-2
解析:如 图27-2-5-3，连结 OE、OF,结合切线的性质说明四边形 OECF 是正方形,从而可得CE=CF=r,由切线长定理知 AF=AD=4,BE=BD=6,然后用含有 r 的代数式分别表示出BC、AC 的长,利用勾股定理将问题转化为方程的问题来求解.
解：连接OE，OF，∵⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，∴DE⊥BC，DF⊥AC，AF=AD=8，BE=BD=12，∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°，∴四边形OECF是矩形，
∵OE=OF，∴四边形OECF是正方形，
∴EC=FC=r，∴AC=AF+FC=8+r，BC=BE+EC=12+r，AB=AD+BD=12+8=20，
在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
∴202=（12+r）2+（8+r）2，
∴r2+20r-96=0，
即（r-4）（r+24）=0，
解得：r=4或r=-24（舍去）．
∴⊙O的半径r为4．
图27-2-5-3
规律总结:解决三角形的内切圆问题时,作辅助线的方法通常是连结切点与圆心,构造直角三角形或正方形.
知识点1 切线长定理
1.如图27-2-5-4，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，如果∠P=60°，PA=2，那么AB的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
图27-2-5-4
2.如图27-2-5-5，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP=4，PA＝2，则∠AOB的度数为 （　　）
A．60°B．90°C．120°D．无法确定
图27-2-5-5
3.如图27-2-5-6，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PDE的周长为 （　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
图27-2-5-6
4.如图27-2-5-7，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，则CE=_____.
图27-2-5-7
5.(甘肃天水清水期末)如图27-2-5-8,PA,PB切圆O于点A、B,EF切圆O于点C,交PA,PB于E、F,PA=10,则△PEF的周长为　　　　.
图27-2-5-8
知识点2 三角形的内切圆
6.一个直角三角形斜边长为10cm，内切圆半径为1.5cm，则这个三角形周长是 （　　）
A．22cm B．23cm C．24cm D．26cm
7.(2023山东菏泽单县模拟)如图27-2-5-9,点I是△ABC的内心,若∠AIB=125°,则∠C等于(　　)
图27-2-5-9
A.65°　　B.70°　　C.75°　　D.80°
8.如图27-2-5-10，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB=90°，则∠EDF的度数为 （　　）
A．25°B．30°C．45°D．60°
图27-2-5-10
9.已知⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，如果BC边的长为10cm，AD的长为4cm，那么△ABC的周长_____为cm．
10.如图27-2-5-11，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，求∠BOC的大小.
图28-2-5-11
11.如图27-2-5-12，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为 （　　）
A．120°B．60°C．30°D．45°
图27-2-5-12
12.如图27-2-5-13，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（　　）
A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF
C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF
图27-2-5-13
13.如图27-2-5-14，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是_____.
图27-2-5-14
14.如图27-2-5-15，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是_____度．
图27-2-5-15
15.(湖南株洲中考)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切),如图27-2-5-16所示.问题:此图中,正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10丈,☉O的半径为2丈,则BN的长度为　　　　丈.
图27-2-5-16
16.(2023湖北天门中考)如图27-2-5-17,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连结DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=　　　　°.
图27-2-5-17
17.(2023河南鹤壁淇县模拟)如图27-2-5-18,王奶奶有一块三角形的布料,∠ABC=90°,她要裁一个圆片,已知AB=60 cm,BC=80 cm,为了充分地利用这块布料,使剪下来的圆片的直径尽量大些,她应该怎样裁剪 这个圆的直径是多少
图27-2-5-18
18.(山东菏泽巨野月考)如图27-2-5-19,在△ABC中,I是内心,O是AB边上一点,☉O经过点B且与AI相切于点I.
(1)求证:AB=AC;
(2)若BC=16,☉O的半径是5,求AI的长.
图27-2-5-19
19.(山东日照东港校级期中)如图27-2-5-20,AB是☉O的直径,点F是△ABC的内心,连接CF并延长交☉O于D,连接BD并延长至E,使得BD=DE,连接AE.
(1)求证:FD=BD;
(2)求证:AE是☉O的切线.
图27-2-5-20
20.(湖北鄂州中考)如图27-2-5-21,PA是☉O的切线,切点为A,AC是☉O的直径,连接OP交☉O于点E.过点A作AB⊥PO于点D,交☉O于点B,连接BC,PB.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)求证:点E为△PAB的内心;
(3)若cos∠PAB=,BC=1,求PO的长.
图27-2-5-21
21.(山东济宁鱼台期末)如图27-2-5-22,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆☉O相交于点D,过D作直线DG∥BC.
(1)若∠ACB=70°,则∠ADB=　　　　,∠AEB=　　　　;
(2)求证:DE=CD;
(3)求证:DG是☉O的切线.
图27-2-5-22
答案：
27.2.3 切线（3）
1.B点拨：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB；∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形；∴AB=PA=2.
2.C点拨：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO．
又∵OP=4,PA=2，
∴cos∠APO==,
∴∠APO=30°．
∴∠APB=60°，∠AOB=120°．
3.C点拨：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，∴AD=CD，CE=BE，PA=PB，OA⊥AP．在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP=8，∴△PDE的周长为2AP=16．
4.2点拨：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD=CE，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．
5.20点拨：　∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB=10,∵直线EF与☉O相切于点C,∴EA=EC,FC=FB,∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+CF+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA=2×10=20.
6.B点拨：如图D27-2-5-1，设AD=x，则BD=10-x，∵⊙O是△ABC内切圆，∴AD=AF=x，BD=BE=10-x，∵∠C=∠OFC=∠OEC=90°，OE=OF，
∴四边形OECF为正方形，∴CE=CF=1.5，∴这个三角形周长2x+2（10-x）+3=23．
图D27-2-5-1
7.B点拨：　∵∠AIB=125°,∴∠IAB+∠IBA=55°,∵点I是△ABC的内心,∴∠IAB=∠CAB,∠IBA=∠ABC,∴∠CAB+∠ABC=110°,∴∠C=180°-(∠CAB+∠ABC)=70°.
8.C点拨：如图D27-2-5-2，连接OE、OF，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°，∴∠EOF=90°，∴∠EDF=∠EOF=45°.
图D27-2-5-2
9.28点拨：∵⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，BC=10cm，AD=4cm，∴AD=AF=4cm，BE=BD，CF=CE，
即BD+CF=BE+CE=BC=10cm，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=AD+BD+BC+CF+AF=4cm+10cm+10cm+4cm=28cm.
10. 解：∵点O是△ABC的内心， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB.∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)= (1800 - ∠BAC)=900 -∠BAC=900 -×800 =500.
∴∠BOC=1800 –(∠OBC+∠OCB)=1800 – 500 =1300.
点拨： 在△ABC中，若I是△ABC的内心，则∠BIC=900+∠A，∠AIB=900+∠C，∠AIC=900+∠B.
11.B点拨：如图D27-2-5-3，连接OA，BO；∵∠AOB=2∠E=120°，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=180°-∠AOB=60°．
图D27-2-5-3
12.C点拨：如图D27-2-5-4，连接OA，OB，∵O是△ABC的内心，∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，
∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，∴AE=OE，OF=BF，∴EF=AE+BF．
图D27-2-5-4
13.2点拨：如图D27-2-5-5，连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，AF=AB+BF=5+3-r，
AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．
图D27-2-5-5
14.99点拨：∵EB、EC是⊙O的切线，∴EB=EC，又∵∠E=46°，∴∠ECB=∠EBC=67°，∴∠BCD=180°-（∠BCE+∠DCF）=180°-99°=81°；
∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°-81°=99°．
15.(8-2)点拨：如图D27-2-5-6,设正方形的一边与☉O的切点为C,连结OC,则OC⊥AC,∵四边形是正方形,AB是对角线,∴∠OAC=45°,∴OA=OC=2(丈),∴BN=AB-OA-ON=10-2-2=(8-2)丈.
图D27-2-5-6
16.35点拨：如图D27-2-5-7,连结OD,OE,OB,OB交ED于点G,∵∠ACB=70°,∴∠CAB+∠CBA=110°,∵点O为△ABC内切圆的圆心,∴∠OAB+∠OBA=55°,∴∠AOB=125°,∵AB,BC与☉O分别切于点D、E,∴BD=BE,∵OE=OD,∴OB垂直平分DE,∴∠OGE=90°,∴∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°.
图D27-2-5-7
17.解：为使剪下来的圆片的直径尽量大些,她应该剪出这个三角形布料的内切圆,如图D27-2-5-8所示,设点O为△ABC内切圆的圆心,r cm为内切圆的半径,连结OA、OB、OC,∵AB=60 cm,BC=80 cm,∠ABC=90°,∴AC===100(cm).∵S△ABC=
S△OAB+S△OBC+S△OAC,∴AB·BC=AB·r+BC·r+AC·r,∴×60×80=×60r+×80r+×100r,∴r=20,∴这个圆的直径是40 cm.
图D27-2-5-8
18.(1)证明:如图D27-2-5-9,延长AI交BC于D,连接OI,
图D27-2-5-9
∵I是△ABC的内心,∴∠OBI=∠DBI,∠BAD=∠CAD,
∵OB=OI,∴∠OBI=∠OIB,∴∠DBI=∠OIB,∴OI∥BD.
∵AI为☉O的切线,∴OI⊥AI,∴BD⊥AD,
∴△ABC为等腰三角形,∴AB=AC.
(2)由题易知BD=CD=BC=8,∵OI∥BC,∴△AOI∽△ABD,
∴==,∴=,∴AB=,∴AD==,
∴AI=·AD=×=.
19.证明　(1)如图D27-2-5-10,连接BF,
图D27-2-5-10
∵F是△ABC的内心,
∴∠BCF=∠ACF,∠CBF=∠ABF.
∵∠BFD=∠BCF+∠CBF,∠DBF=∠ABF+∠DBA,∠DBA=∠ACF,
∴∠DBF=∠BFD,∴FD=BD.
(2)如图,连接OD,
∵BD=DE,OA=OB,
∴OD是△BAE的中位线,∴OD∥AE,
∵∠BCD=∠ACD,∴∠BOD=∠AOD=90°,即OD⊥AB,
∴EA⊥AB,∵OD是半径,∴EA是☉O的切线.
20.(1)证明:如图D27-2-5-11,连接OB,∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.∵AB⊥PO,∴PO∥BC,∴∠AOP=∠C,∠POB=∠OBC.∵OB=OC,∴∠OBC=∠C,∴∠POB=∠AOP.在△AOP和△BOP中,OA=OB,∠AOP=∠BOP,PO=PO,∴△AOP≌△BOP(SAS),∴∠OBP=∠OAP.∵PA为☉O的切线,∴∠OAP=90°,∴∠OBP=90°.∵OB是☉O的半径,∴PB是☉O的切线.
(2)证明:如图,连接AE,∵∠OAP=90°,∴∠PAE+∠OAE=90°.
∵AD⊥ED,∴∠EAD+∠AED=90°.
∵OE=OA,∴∠OAE=∠AED,∴∠PAE=∠DAE,∴AE平分∠PAD.
∵△AOP≌△BOP,∴∠APO=∠BPO,∴PD平分∠APB,∴点E为△PAB的内心.
(3)∵∠PAB+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°,∴∠PAB=∠C,∴cos C=cos∠PAB=.在Rt△ABC中,cos C=,∴AC=,∴AO=.易知△PAO∽△ABC,∴=,∴PO===5.
图D27-2-5-11
21.解：(1)∵=,∴∠ACB=∠ADB=70°,
∴∠ABC+∠BAC=110°.
∵点E是△ABC的内心,
∴AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAE=∠CAE,∠ABE=∠CBE,
∴∠BAE+∠ABE=55°,
∴∠AEB=125°.
故答案为70°;125°.
(2)证明:∵∠BAE=∠CAE,
∴=,∴BD=CD.
∵∠BAE=∠CAE=∠CBD,∠ABE=∠CBE,
∴∠BED=∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE=∠DBE,
∴BD=DE,∴DE=CD.
(3)证明:如图D27-2-5-12,连接OD,
图D27-2-5-12
∵=,∴OD⊥BC,
∵DG∥BC,∴OD⊥DG.
又∵OD是☉O的半径,
∴DG是☉O的切线.

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