资源简介

第1课时　利用“边边边”判定两个三角形全等
课时目标
1.经历从三角形全等的概念出发探索三角形全等条件的过程,积累数学活动经验.
2.掌握基本事实一,利用基本事实一证明两个三角形全等.
3.会利用三角形全等证明线段、角相等.
学习重点
利用基本事实一证明两个三角形全等.
学习难点
三角形全等条件的探索.
课时活动设计
情境引入
我们知道,三条边对应相等、三个角对应相等的两个三角形全等,但我们希望能用较少的条件来判定两个三角形全等,这样的条件应当是怎样的呢
我们的研究路径:一个条件→两个条件→三个条件……
1.只给一个条件:
①只给一条边:
②只给一个角:
2.给出两个条件:
①一边一内角:
②两内角:
③两边:
结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画的三角形一定全等.
给出三个条件画三角形,会有几种可能的情况 哪些情况画出的三角形一定全等呢
设计意图:积累探究判定三角形全等的经验,为进一步学习作铺垫.
探究新知
探究1　“三条边”对应相等的两个三角形全等
(1)用一根长13 cm的细铁丝,折成一个边长分别是3 cm,4 cm,6 cm的三角形.把你做的三角形和同学做的三角形进行比较,它们能重合吗
(2)用同一根细铁丝,余下1 cm,用其余部分折成一个边长分别是3 cm,4 cm,5 cm的三角形,再和同学做的三角形进行比较,它们能重合吗
(3)不同小组任取一组能构成三角形的三边长的数据,和同学分别按这些数据用尺规画三角形,画成的两个三角形能重合吗
小组互动,教师指导.
归纳
基本事实一:如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“边边边”或“SSS”.
几何语言:如图,在△ABC和△DEF中,
∵
∴△ABC≌△DEF(SSS).
探究2　三角形的稳定性
问题1:猜想三角形和四边形哪一种结构更加牢靠
解:三角形更牢靠.
问题2:观察下面两组木架,如果分别拉动它们,会得到怎样的结果
解:三角形的形状和大小是固定不变的,而四边形的会改变.
只要三角形的三边确定,它的形状和大小就完全确定了,三角形所具有的这一性质叫做三角形的稳定性.
设计意图:培养学生抽象、归纳的能力,规范几何语言.
典例精讲
例1　如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.
证明:∠A=∠C.
证明:在△ABD和△CDB中,∵
∴△ABD≌△CDB(SSS).∴∠A=∠C.
例2　用尺规作一个角等于已知角.
已知:∠AOB.求作:∠A'O'B'=∠AOB.
解:作法:
(1)以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';
(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第(2)步中所画的弧交于点D';
(4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
设计意图:让学生体会如何用“三边对应相等的两个三角形全等”证明两个三角形全等,培养学生在具体问题中分析问题、解决问题的能力.发展推理意识和几何直观,培养学生的核心素养.
巩固训练
1.如图,D,F是线段BC上的两点,AB=EC,AF=ED,要使△ABF≌△ECD,还需要条件　BF=CD　.(填一个条件即可)
第1题图
第2题图
2.如图,AB=CD,AD=BC,则下列结论:①△ABC≌△CDB;②△ABC≌△CDA;③△ABD≌△CDB;④BA∥DC.正确的有(　C　)
A.1个　　　　　B.2个　　　　　C.3个　　　　　D.4个
3.已知:如图,AB=AE,AC=AD,BD=CE.求证:△ABC≌△AED.
证明:∵BD=CE,
∴BD-CD=CE-CD.
∴BC=ED.
在△ABC和△AED中,
∵
∴△ABC≌△AED(SSS).
4.如图,AD=BC,AC=BD.求证:∠C=∠D.(提示:连接AB)
证明:如图,连接AB两点.
在△ABD和△BAC中,∵
∴△ABD≌△BAC(SSS).
∴∠D=∠C.
设计意图:通过巩固训练,进一步加深学生对利用“边边边”判定三角形全等的理解.
课堂小结
1.今天我们学习的内容是什么
2.我们学到了哪些呢
设计意图:通过提问的方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.
相关练习.
1.教材第40页习题A组第2,3题,习题B组第1,2题.
2.相关练习.
第1课时　利用“边边边”判定两个三角形全等
　 基本事实一:如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等.
可简记为“边边边”或“SSS”.
几何语言:如图,在△ABC和△DEF中,∵
∴△ABC≌△DEF(SSS).
教学反思
第2课时　利用“边角边”判定两个三角形全等
课时目标
1.掌握“边角边”基本事实的内容.
2.能初步应用“边角边”判定两个三角形全等.
3.经历探究“两边一角”条件下两个三角形是否全等的过程,积累数学活动经验.
学习重点
“边角边”基本事实的理解和应用.
学习难点
寻找判定三角形全等的条件.
课时活动设计
情境引入
问题:画△ABC,其中AB=2.5 cm,BC=1.5 cm,并且使BC=1.5 cm的这条边所对的角是30°.
小明已经画出了AB=2.5 cm和BC边所对的30°的角.
(1)请你选择合适的画图工具帮小明画出边BC;
(2)把你所画的图形与小组成员所画的图形对比,并交流.
解:(1)
(2)学生小组内对比交流.
思考问题:
1.符合条件的三角形有几个
解:两个.
2.两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗
解:不一定全等.
结论:两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时,这两个三角形不一定全等.
设计意图:尽可能让学生操作,通过操作、思考认识到:根据两边和其中一边的对角作三角形,可以做出两种不同的形状,这说明满足“两边和其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等,使学生突破易错点.
探究新知
已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C'.
这两个三角形能否重合
学生动手操作后组内交流,最后总结.
解:将△ABC叠放在△A'B'C'上,使点B与点B'重合,边BC落在边B'C'上.
∵BC=B'C',
∴边BC与边B'C'重合.∴点C与点C'重合.
∵∠B=∠B',∴边AB落在边A'B'上.
∵AB=A'B',∴边AB与边A'B'重合.∴点A与点A'重合.
由两点确定一条直线可得AC与A'C'重合.∴△ABC≌△A'B'C'.
总结
三角形全等的基本事实二:如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“边角边”或“SAS”.
几何语言:
如图,在△ABC和△DEF中,
∵
∴△ABC≌△DEF(SAS).　　　　　
设计意图:培养学生的归纳及语言表达能力;使学生准确掌握定理的内涵及外延;使学生树立几何学习应当关注文字语言、图形语言、几何语言的意识.
典例精讲
例1　如图是测量工具的示意图.其中AD=BC,AD,BC的中点O被固定在一起,AD,BC可以绕点O张合.我们想要知道玻璃瓶的内径是多少,只要量出AB的长度就可以了,你知道这是为什么吗
解:如图,连接AB,CD.
∵O是AD,BC的中点,∴AO=DO,BO=CO.
在△AOB和△DOC中,
∵
∴△AOB≌△DOC(SAS).
∴AB=DC.
∴只要量出AB的长,就可以知道玻璃瓶的内径CD是多少.
例2　已知:如图,AD∥BC,AD=CB.
求证:(1)△ABD≌△CDB;
(2)∠A=∠C.
证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.
在△ABD和△CDB中,∵
∴△ABD≌△CDB(SAS).
(2)∵△ABD≌△CDB,∴∠A=∠C.
设计意图:通过例题讲解,一是让学生体会如何用“边角边”这一基本事实来判定两个三角形全等,二是可以让学生进一步学习规范的证明过程和格式.
巩固训练
1.如图,AB=DB,BC=BE,欲证△ABE≌△DBC,则需要增加的条件是(　D　)
A.∠A=∠D　　　B.∠E=∠C　　　C.∠A=∠C　　　D.∠ABD=∠EBC
2.如图,已知AC平分∠BAD,AB=AD.
求证:△ABC≌△ADC.
证明:∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中,
∵
∴△ABC≌△ADC(SAS).
3.已知:如图,AB=AC,BD=CD,E为AD上一点.求证:BE=CE.
证明:在△ABD和△ACD中,
∵
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABE和△ACE中,
∵
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE=CE.
设计意图:通过巩固训练,进一步加深学生对利用“边角边”判定三角形全等的理解.
课堂小结
1.今天我们学习的内容是什么
2.我们学到了哪些呢
设计意图:通过提问的方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.
相关练习.
1.教材第43页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.
2.相关练习.
第2课时　利用“边角边”判定两个三角形全等
　　　 基本事实二:
如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“边角边”或“SAS”.
几何语言:
如图,在△ABC和△DEF中,
∵
∴△ABC≌△DEF(SAS).
教学反思

第3课时　利用“角边角、角角边”判定两个三角形全等
课时目标
1.掌握“角边角”以及“角角边”基本事实的内容.
2.能初步应用“角边角”、“角角边”判定两个三角形全等.
3.经历探索三角形全等的过程,积累数学活动经验.
学习重点
“角边角”以及“角角边”基本事实的理解和应用.
学习难点
寻找判定三角形全等的条件.
课时活动设计
复习回顾
1.已知:如图,CD平分∠ACB,AC=BC.求证:AD=BD.
分析:要证边相等 证明两个三角形全等
设计意图:通过回顾已学的知识,引起学生对新知识的思考.
新知引入
问题:两角和一边对应相等的三角形是否全等 “两角和一边”有几种不同的位置关系
“两角和一边”的位置关系:
两角和这两个角的夹边 　　
两角和其中一个角的对边 　
设计意图:通过问题,让学生自主思考,联系已有的学习经历,使知识形成体系.
探究新知
探究1　基本事实三
观察下图中的△ABC,画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B.
画法:1.画A'B'=AB;
2.画∠DA'B'=∠A,∠EB'A'=∠B,A'D,B'E交于点C'.
观察:△A'B'C'与△ABC全等吗 怎么验证
学生独立思考后组内交流,最后总结.
解:△ABC≌△A'B'C'.理由:将△ABC叠放在△A'B'C'上,使点A与点A'重合,边AB落在边A'B'上.
∵AB=A'B',
∴边AB与边A'B'重合.∴点B与点B'重合.
∵∠A=∠A',∴边AC落在边A'C'上.
∵∠B=∠B',∴边BC落在边B'C'上.
∵两条直线相交只有一个交点,
∴点C与点C'重合.
∴△ABC≌△A'B'C'.
总结:如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“角边角”或“ASA”.
几何语言:
如图,在△ABC和△A'B'C'中,
∵
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
探究2　全等三角形的判定定理
已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
分析:可将∠A=∠A'这个条件转化为∠C=∠C'.
证明:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形内角和定理),
又∵∠A=∠A',∠B=∠B'(已知),
∴∠C=∠C'(等量代换).
在△ABC和△A'B'C'中,∵
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
想一想:从中我们可以得到什么规律
全等三角形的判定定理:
如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.可简记为“角角边”或“AAS”.
几何语言:如图,在△ABC和△DEF中,
∵
∴△ABC≌△DEF(AAS).
设计意图:培养学生的归纳及语言表达能力;使学生准确掌握定理的内涵及外延;使学生树立几何学习应当关注文字语言、几何语言的意识.
学以致用
例　小华的爸爸装修时不小心将一块三角形玻璃摔成了三块,如果只带一块去玻璃店重新配一块相同的玻璃,那么要带哪块去呢 小华放学回家见了,马上想到了办法,你知道小华想了什么办法吗
解:带③去.利用“ASA”可以证明三角形全等.
设计意图:理解数学来源于生活,服务于生活.
典例精讲
例1　已知:如图,AD=BE,∠A=∠FDE,BC∥EF.
求证:△ABC≌△DEF.
解:∵AD=BE(已知),
∴AD+DB=BE+DB,即AB=DE(等式的性质).
∵BC∥EF(已知),
∴∠ABC=∠E(两直线平行,同位角相等).
在△ABC和△DEF中,
∵
∴△ABC≌△DEF(ASA).
例2　如图,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.
求证:(1)△BDA≌△AEC;(2)DE=BD+CE.
证明:(1)∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠CEA=90°.
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∴∠ABD=∠CAE.
在△BDA和△AEC中,
∵
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)∵△BDA≌△AEC,
∴BD=AE,AD=CE.
∴DE=DA+AE=BD+CE.
设计意图:通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
巩固训练
1.下列各图中,a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(　B　)
A.甲和乙　　　　　B.乙和丙　　　　　C.甲和丙　　　　　D.只有丙
2.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是　AC=BC　.
设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化.
课堂小结
1.今天我们学习的内容是什么
2.我们学到了哪些呢
设计意图:通过提问的方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.
相关练习.
1.教材第47页习题A组第2,3题,习题B组第1,2题.
2.相关练习.
第3课时　利用“角边角、角角边”判定两个三角形全等
　　　 基本事实三:如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这
两个三角形全等.可简写成“角边角”或“ASA”.
全等三角形的判定定理:如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.可简写成“角角边”或“AAS”.
教学反思

第4课时　图形变换与全等三角形
课时目标
1.会从图形变换的角度,认识两个可能全等的三角形的位置关系.
2.会综合利用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等.
学习重点
会从图形变换的角度,认识两个可能全等的三角形的位置关系.
学习难点
会综合利用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等.
课时活动设计
复习回顾
1.判断下列条件是否能证明△ABC≌△DEF,请给出理由.
①AB=DE,AC=DF,BC=EF;
②AB=DE,BC=EF,∠C=∠F;
③AC=EF,∠B=∠E,∠C=∠F;
④BC=EF,∠B=∠E,∠C=∠F;
⑤AB=DE,BC=EF,∠B=∠E.
解:①由SSS能证明△ABC≌△DEF;
②不能证明△ABC≌△DEF,SSA不能证明三角形全等;
③不能证明△ABC≌△DEF,因为AC,EF不是对应边;
④由ASA能证明△ABC≌△DEF;
⑤由SAS能证明△ABC≌△DEF.
2.如图,(1)若已知AB=DC,试说明△ABC≌△DCB.
①以“SSS”为依据,还需添加一个条件为　AC=DB　;
②以“SAS”为依据,还需添加一个条件为　∠ABC=∠DCB　;
(2)若已知∠ABC=∠DCB,试说明△ABC≌△DCB.
①以“ASA”为依据,还需添加一个条件为　∠ACB=∠DBC　;
②以“AAS”为依据,还需添加一个条件为　∠A=∠D　.
3.判定两个三角形全等的条件有哪些
解:SSS,SAS,ASA,AAS.
设计意图:通过回顾已学的知识,以及对几种判定方法的复习,让学生形成知识体系.
探究新知
利用全等图形拼图
1.画出我们常见的两个三角形,并说出这两个三角形是经过怎样的图形变化(旋转、平移、轴对称)得到的,请自己剪出两个全等的三角形进行拼图.
2.观察老师给出的每组中的两个三角形,请你说出其中一个三角形经过怎样的变换后,能够与另一个三角形重合.
学生分小组进行讨论,教师引导学生归纳总结.
归纳:在两个全等的三角形中,有些图形具有特殊的位置关系,即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换)得到的.
设计意图:通过利用两个全等三角形拼出具有特殊的位置关系的图形,即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换)得到的,发现两个三角形间的这种特殊关系,能够帮助同学们较快地找到命题证明的途径,从而解决问题.
典例精讲
例1　如图,C是线段AB的中点,CD=BE,CD∥BE.
求证:∠D=∠E.
证明:∵C是线段AB的中点,
∴AC=CB.
又∵CD∥BE,
∴∠ACD=∠CBE.
在△ACD和△CBE中,
∵
∴△ACD≌△CBE(SAS).
∴∠D=∠E.
例2　如图1所示,在△ABC中,AE⊥BC于点E,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连接BD,CD.
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由.
(2)如图2所示,若将△DCE绕点E旋转一定的角度后,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由.
解:(1)BD=AC,BD⊥AC.理由如下:
如图1所示,延长BD交AC于点F.
∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°.
在△BED和△AEC中,∵
∴△BED≌△AEC(SAS).
∴BD=AC,∠DBE=∠CAE.
∵∠BED=90°,∴∠EBD+∠BDE=90°.
∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF+∠CAE=90°.
∴∠AFD=180°-90°=90°.
∴BD⊥AC.
(2)结论不发生变化.理由如下:
如图2所示,设AC与DE相交于点O.
∵∠BEA=∠DEC=90°,
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED.
∴∠BED=∠AEC.
在△BED和△AEC中,∵
∴△BED≌△AEC(SAS).
∴BD=AC,∠BDE=∠ACE.
∵∠DEC=90°,∴∠ACE+∠EOC=90°.
∵∠EOC=∠DOF,∴∠BDE+∠DOF=90°.
∴∠DFO=180°-90°=90°,∴BD⊥AC.
你有什么发现,试着用图形变化的角度说说.
设计意图:熟练运用图形变化的视角找全等,形成解题技巧,培养学生的应用意识和能力.进一步感知定理.学生运用全等知识进行几何推理证明,体会数学结论的严谨性.
巩固训练
1.如图,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=8 cm,CF=5 cm,则BD为(　B　)
A.2 cm　　　　　　B.3 cm　　　　　　C.4 cm　　　　　　D.1 cm
2.如图,已知EC=BF,AC∥DF,AC=DF.
求证:(1)AB=DE;
(2)AB∥DE.
证明:(1)∵EC=BF,∴EC+BE=BF+BE.
∴CB=FE.
∵AC∥DF,∴∠C=∠F.
在△ABC和△DEF中,
∵
∴△ABC≌△DEF(SAS).∴AB=DE.
(2)∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF.
∴AB∥DE.
3.如图,已知∠C=∠E,AB=AD,∠BAD=∠CAE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠CDE=46°,求∠BAD的度数.
(1)证明:∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,
∵
∴△ABC≌△ADE(AAS).
(2)解:∵△ABC≌△ADE,
∴AB=AD,∠B=∠ADE.
∴∠B=∠ADB=∠ADE.
∵∠ADB+∠ADE+∠CDE=180°,∠CDE=46°,
∴∠ADB=∠ADE=67°.
∴∠B=∠ADB=67°.
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=46°.
设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化.
课堂小结
设计意图:通过小结总结知识和数学方法,帮助学生自行建构知识体系,提高学习能力.
相关练习.
1.教材第50页习题A组第1,3题,习题B组第1,2题.
2.相关练习.
教学反思

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