资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“数与式”和“方程与不等式”主题中的“分式和分式方程”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,学生将认识负数、无理数,学习它们的四则运算,还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容.本章学生将学习分式和分式过程,了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算,能解可化为一元一次方程的分式方程,能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.
分式和分式方程的教学要通过探索分式方程的解法,体会化归思想;通过探究增根产生的过程,培养逻辑分析能力;用列方程解决实际问题,体会模型思想,建立符号意识,感受生活数学化过程,增强学生学数学、用数学意识;通过课堂活动,培养合作意识和探究精神,形成数学思维,实现数学核心素养要求.
2.本单元教学内容分析
　　冀教版教材八年级上册第十二章“分式和分式方程”,本章包括五个小节:12.1分式;12.2分式的乘除;12.3分式的加减;12.4分式方程;12.5分式方程的应用.
义务教育阶段的数学学习,学生要能:(1)获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本生活经验.(2)体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,在探索真实情境所蕴含的关系中,发现问题和提出问题,运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题.(3)对数学具有好奇心和求知欲,了解数学价值,欣赏数学美,提高学习数学的兴趣,建立学好数学的信心,养成良好的学习习惯形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神.
本章与分数的相关知识类似,重点在于探索分式的有关概念和运算法则,对分式的概念、分式的基本性质及分式的运算的学习,都要注意通过与分数的有关知识进行类比,让学生真正的去探索,去发现知识之间的内在联系,加深对基础知识的理解,使基本技能的训练更加扎实,对数学思想的认识更加充实,有效地积累基本活动经验.同时经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题和解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用数学意识,进一步引导学生借助分式方程来解决实际问题,了解现实世界中事物的相互联系.通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识、逻辑思维能力和计算能力,在活动中培养学生乐于自主探究,合作交流的学习习惯,体会数学源于实际、用于实际的学科价值与文化价值.
三、单元学情分析
本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十二章“分式和分式方程”,在小学学生已学习了“分数”,初步了解了分数的基本性质和定义,在此基础上,类比分数的基本性质,探索分式的概念和基本性质,可以加深学生的理解和应用,学生小学学习的关于分数的加、减、乘、除以及通分、约分等知识,都可以作为学习分式的基础.
在学习了整式方程即“一元一次方程”“二元一次方程组”后,学生对整式方程的解法和基本思路(使方程逐步化为x=a的形式)已经比较熟悉,而分式方程的未知数在分母,解法步骤稍显复杂,但化为整式方程后的解法体现了解方程的统一性.在后续“二元一次方程”的学习中,会感受到方程求解的一般路径,这也是方程思想有益积累和传承.
八年级学生独立思考和探索交流的能力有所提高,并能在探索的过程中形成自己的观点,能在交流中倾听别人的意见,丰富自己的想法观点,具有一定的思维独立性和批判性.但由于年龄特征,数学思维不够完善,方程运算能力和方程建模能力尚在发展中,需要教师引导其从感性认知向理性认知发展.
四、单元学习目标
1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步培养符号意识.
2.经历由观察、类比、猜想获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式恒等变形能力,积累类比的活动经验.
3.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的根的合理性,发展运算能力.
4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力,增强应用意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和建模思想.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　分式及其基本性质
课时目标
1.经历分式概念的建立过程,培养符号意识.
2.经历由类比、猜想获得分式的基本性质的过程,发展学生的合情推理能力.
3.了解分式的概念,掌握分式的基本性质.
学习重点
理解分式有意义的条件及分式值为零的条件.
学习难点
掌握分式的基本性质,会运用分式的基本性质进行变形.
课时活动设计
情境引入
1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少 3天完成的工程量又是多少 如果乙施工队a天可以完成这项工程,那么乙施工队每天完成的工程量是多少 b(b解:,;,.
2.已知甲、乙两地之间的路程为m km.如果A车的速度为n km/h,B车比A车每小时多行20 km,那么从甲地到乙地,A车和B车所用的时间各为多少
解:,.
设计意图:通过提出符合学生现实、富有挑战的问题,引导学生列出代数式,感知代数式的特点,为学习本课时做认知准备.
探究　分式的概念
由上面的问题,我们分别得到下面一些代数式:
,;,;,.
将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类,可分成怎样的两类
让学生思考并进行交流,最终教师给出答案.
解:,是分数,,,,既不是整式也不是单项式.
总结:一般地,我们把形如的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
类比学习:(1)分式与分数的相同点是形式相同,都有分子和分母;
不同点是分式的分母含有字母.
(2)分式与整式的不同点是整式的分母不含有字母;分式的分母含有字母.
设计意图:通过对所得代数式的观察,对代数式进行分类,引导学生思考和交流,进一步明晰分式的特征,自然而然地建立起分式的概念,培养学生的数学观察能力.
典例精讲
例　指出下列各式中,哪些是整式,哪些是分式.
x-2,,5x2,,,,.
解:x-2,,5x2,都是整式.
因为,,的分母中都含有字母,所以它们都是分式.
设计意图:通过例题讲解,加深学生对分式的认识.
探究　分式有意义的条件
回顾分数有意义的条件,想一想分式在满足什么条件下具有意义.
让学生回顾分数有意义的条件,小组交流讨论,最后教师给出答案.
解:当分母的值不为0时,分式有意义.
总结:1.在分式中,当分母的值不为0时,分式有意义;
当分母的值为0时,分式无意义.
2.分式的值为0的条件:分子为0,分母不为0.
设计意图:通过类比分数有意义的条件得到分式有意义的条件,培养学生的类比思想.
典例精讲
例　在什么情况下,下列各分式无意义
,,.
解:x=0时,无意义.
x=-时,无意义.
x=y时,无意义.
设计意图:通过例题讲解,加深学生对分式有意义无意义的理解.
探究　分式的基本性质
教师提出问题,学生先独立思考,然后小组交流探讨,最终教师展示答案.
问题:类比分数的基本性质,试着猜想分式会有哪些基本性质
分式的基本性质:
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
=,=.其中,M是不等于0的整式.
设计意图:类比分数的基本性质得到分式的基本性质,为后面学习分式的运算打下基础.
典例精讲
例　分式与相等吗 还有与它们相等的分式吗 如果有,请你写出两个这样的分式.
分析:(1)根据分子(或分母)的变化来确定分母(或分子)的变化;
(2)只要对分子和分母做相同的变形即可得到与之相同的分式.
解:相等,有,,.
设计意图:学生通过例题进一步熟悉分式的基本性质,并为下一节约分的学习作好铺垫.
课堂小结
1.今天我们学习的内容是什么
2.我们学到了哪些呢
设计意图:通过提问的方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.
相关练习.
1.教材第4页习题第2,3题.
2.相关练习.
第1课时　分式及其基本性质
　分式
教学反思

第2课时　分式的约分
课时目标
1.理解并掌握分式的约分、最简分式的概念.
2.会用分式的基本性质进行分式的约分.
3.通过对分式约分的探索,体会类比思想,感受知识建构的过程.
学习重点
理解并掌握分式的约分,最简分式的概念.
学习难点
会用分式的基本性质进行分式的约分.
课时活动设计
复习回顾
分式的基本性质:
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
=,=.其中,M是不等于0的整式.
设计意图:让学生复习回顾分式的基本性质,为约分的学习作好铺垫.
探究新知
观察与思考:分式能不能化简 如果能,那么化简的依据是什么,化简的结果又是什么
先让学生思考,最后教师展示教材中约分的过程.
解:分式可以化简,化简过程为:
像上面这样,把分式中分子和分母的公因式约去,叫做分式的约分.分子和分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
总结:分式约分的关键点是找分子和分母的公因式.
找公因式的方法:
(1)系数取分子和分母系数的最大公约数.
(2)有多项式的先因式分解,得到分子和分母相同因式的最低次幂.
设计意图:引导学生思考,理解分式约分的过程.
典例精讲
例　约分:
(1);　　　　(2);　　　　(3).
解:(1)==.
(2)==.
(3)==.
设计意图:通过例题,规范学生对解题步骤的书写.
巩固训练
做一做:当p=12,q=-8时,请分别用直接代入求值和化简后代入求值两种方法求分式的值,并比较哪种方法比较简单.
解:直接代入求值,
== ;
化简后代入求值,
= = (其中p-q=12-(-8)=20≠0),
将p=12,q=-8代入上式,得原式= = = =.
通过比较,化简后代入求值比较简单.
设计意图:通过例题,在对比中体会化简求值的便捷性,体会化繁为简的数学方法,感受数学的简洁美.
课堂小结
本节课我们主要学习了哪些内容 与同学交流你的想法.
1.分式的约分:依据是分式的基本性质,约分是将分式中分子与分母约去公因式的过程.最简分式:分子和分母没有公因式的分式.
2.分式的求值:先化简再求值.
设计意图:让学生归纳总结约分以及化简求值的思路,通过独立思考、分析,培养学生观察能力及归纳总结能力.
相关练习.
1.教材第6页习题第1,3题.
2.相关练习.
教学反思

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