资源简介

课时目标
1.经历探索角的轴对称性的过程,体会用尺规作已知角的平分线的作图原理.
2.经历合情推理发现结论,探索角平分线的性质定理及其逆定理的证明,进一步体会合情推理与演绎推理的不同作用.
3.体会转化的数学思想,提高分析和解决问题的能力.
学习重点
1.角平分线的性质定理的证明.
2.正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言,对几何命题加以证明.
学习难点
灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题.
课时活动设计
情境引入
在一张半透明的纸上任意画出一个角,怎样得到这个角的平分线
设计意图:发散学生思维,让学生尝试多种方法得到角的平分线,学生可能想到折叠、使用量角器等多种方法,在教师给予充分肯定的基础上,学生大胆尝试、猜想..
探究新知
探究1　角平分线的性质定理
在上述问题中:
按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开铺平后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由.
事实上,∠AOB是轴对称图形,它的平分线OC是对称轴.由折纸过程可知,PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
下面就来证明折纸过程中发现的结论.
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:PD=PE.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠AOC=∠BOC.
在△OPD和△OPE中,
∴△OPD≌△OPE(AAS).
∴PD=PE.
学生独立完成,合作交流并完善证明过程.
总结:角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言:
如图,∵OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
教师点拨:角平分线的性质定理的作用:证明线段相等.
探究2　角平分线性质定理的逆定理
线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题(定理),角平分线的性质定理的逆命题是真命题还是假命题
以小组为单位进行讨论交流,每组请出一个代表说出本组的讨论结果,教师进行点评.
教师总结:逆命题为到角的两边距离相等的点在角平分线上,它是一个真命题,具体的证明在第十七章进行学习.
角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
设计意图:本环节让学生开展思考、交流、研讨活动,学生通过经历动手活动、猜想、验证和证明的过程,深入体会合情推理和演绎推理的严谨性,掌握问题的解决方法.
归纳总结
角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
几何语言:
如图,∵OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.
几何语言:
如图,∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴OP平分∠AOB.
设计意图:小组交流、归纳总结本节课学习的内容,让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力.
典例精讲
例　角平分线的尺规作图.
如图,已知∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
解:作法:如图.
(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点D,交OB于点E.
(2)分别以点D,E为圆心,适当长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
(3)作射线OC.
射线OC即为所求.
学生活动:请大家利用尺规作图的方法,把∠AOB的平分线画到半透明纸上.
设计意图:给学生充分时间进行思考及研讨,培养学生自主探究的能力,引导学生理解尺规作一个角的平分线的方法,并能用规范的数学语言来表达.
巩固训练
1.用尺规作一个已知角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是(　A　)
A.SSS　　B.ASA　　C.AAS　　D.角平分线上的点到角两边的距离相等
第1题图 第2题图
第3题图
2.如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是E,F,DE=DF,∠EDB=60°,则∠EBF=　60°　.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是　3　.
4.如图所示,已知∠ABC与M,N两点,你能否找到一点P到∠ABC两边的距离相等,且到M,N两点的距离也相等,若能,请找出点P的位置.
解:P为∠ABC的平分线与线段MN的垂直平分线的交点.如图所示,点P即为所求.
设计意图:通过练习,巩固本节所学知识,加深对角平分线的性质定理及其逆定理的理解和掌握,提高解决问题的能力.
课堂小结
设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.
相关练习.
1.教材第123页习题A组第2,3题,习题B组第1,2题.
2.相关练习.
教学反思

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