资源简介

一、单元学习主题
本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“特殊三角形”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理,理解和掌握尺规作图的基本原理和方法.本章主要是通过观察与思考、操作与归纳等活动,获得“发现”,再通过演绎推理证明“发现”的探索证明过程,使学生体会通过合情推理提出猜想,运用演绎推理证明结论的数学思维,力图实现发展学生合情推理和演绎推理有机融合的目的,提高学生的逻辑推理能力.
2.本单元教学内容分析
　　冀教版教材八年级上册第十七章“特殊三角形”,本章包括五个小节:17.1等腰三角形;17.2直角三角形;17.3勾股定理;17.4直角三角形全等的判定;17.5反证法.
“特殊三角形”这一章的知识既是三角形内容的深化和拓展,又是进一步研究特殊四边形的重要工具,同时,等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及其逆定理不仅是数形结合思想的完美体现,更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具.因此,本章起着承上启下的桥梁作用.
等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定的呈现方式,主要是通过观察与思考、操作与归纳等方法来探索和发现结论,再通过演绎推理证明结论,最后举例应用.这一方式实现了在发展学生合情推理能力的基础上,把证明作为探索活动的自然延续,较好体现了合情推理与演绎推理两种推理形式的相辅相成,实现了两种推理的有机融合.
勾股定理的获得,设计了观察、计算、思考、归纳、猜想的探究活动,验证猜想的过程设计为“试着做做”和“做一做”的学生自主活动,让学生体验勾股定理发现的全过程,发展学生的推理能力和创新意识;对于勾股定理的逆定理,通过学生先操作(画直角三角形),再证明(利用全等)的方式来获得.在本章的尺规作图中,都增加了分析环节,使学生不仅要知道作图的步骤,而且还要了解作图的道理.
在反证法一节中,除介绍了反证法及证明命题的一般步骤外,还运用反证法对平行线的性质定理进行了证明,体现了本套教材在内容上的完整性.同时对直角三角形全等的“斜边、直角边”定理也用反证法给出了证明,使学生从中体会反证法的价值.
三、单元学情分析
本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十七章特殊三角形,在小学阶段,学生已经对立体图形和平面图形有了初步的认识,掌握了简单图形的周长、面积、体积的计算方法,初步认识了图形的平移、旋转和轴对称,能判定物体的方位,用数对描述平面上点的位置,形成了初步的空间观念和几何直观.本章将带领学生进一步探究特殊三角形的边、角的性质.
四、单元学习目标
1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理和判定定理.
2.探索并掌握直角三角形的性质定理,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.
4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
5.会利用基本作图作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.
6.通过实例体会反证法的含义.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　等腰三角形的性质
课时目标
1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理.
2.了解等边三角形的概念,探索并证明等边三角形的性质定理.
3.能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.
学习重点
探索并证明等腰、等边三角形的性质定理.
学习难点
能运用等腰、等边三角形的性质解决问题.
课时活动设计
情境引入
在我们的身边,许多物体的形状是两边相等的三角形,如房屋的钢梁架、红领巾、交通标志的外沿形状等.
教师提问:在这些图片中,你发现了哪个特殊的三角形
学生回答:等腰三角形.
教师讲解等腰三角形的相关概念:
1.概念:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.进一步认识等腰三角形各部分的名称.
在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
设计意图:通过现实生活中的实例,以图片的形式展现在学生面前,给学生带来一定的视觉冲击,激发学生的学习兴趣,同时引入等腰三角形的概念,为本节课所学内容作铺垫.
探究新知
如图,△ABC是等腰三角形,其中,AB=AC.
(1)我们知道,线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴.由AB=AC,可知道点A在BC的中垂线上.据此,你认为△ABC是轴对称图形吗 如果是,对称轴是哪条直线
(2)∠B和∠C有怎样的关系
(3)底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系
学生分组合作,互相交流讨论,尝试回答上面的问题.
发现1:等腰三角形的两个底角相等.
下面证明两个底角相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
求证:∠B=∠C.
证明:(方法一)作底边上的中线.
作底边的中线AD,则BD=CD.
在△BAD和△CAD中,
∴△BAD≌△CAD(SSS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
(方法二)作顶角的平分线.
作∠BAC的平分线AD,则有∠1=∠2.
在△BAD和△CAD中,
∴△BAD≌△CAD(SAS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
你能用一句话阐述等腰三角形的这个性质吗
等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
几何语言:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
发现2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
证明:由发现1,知△BAD≌△CAD,
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD.
又∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高线.
设计意图:提出问题,让学生猜想并验证等腰三角形的性质,同时培养学生互相合作交流意识,提高学生推理能力.
归纳总结
等腰三角形的性质:
性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
几何语言:
性质1:如图,在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
性质2:如图,在△ABC中,∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°.(其他两条同理)
设计意图:通过总结等腰三角形的性质,并规范几何语言,学生能够准确熟练地掌握等腰三角形的性质.培养学生总结归纳能力.
探究新知
除了等腰三角形外,我们以前还接触过一种特殊的三角形为等边三角形,三条边都相等的三角形叫做等边三角形,所以请同学们思考等腰三角形与等边三角形有什么关系 等边三角形又具有什么性质呢
本过程由学生交流后解答问题.
结论:等边三角形是特殊的等腰三角形,并且等边三角形的三个内角都等于60°.
已知:在△ABC中,AB=AC=BC.
求证:∠A=∠B=∠C=60°.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠C.
∴∠A=∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
总结:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
设计意图:通过学生猜想、讨论并证明等边三角形的相关性质,既巩固等腰三角形的性质定理,又培养学生推理能力,加强学生对等边三角形相关知识的理解.
典例精讲
例　已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线.求证:BD=CE.
证明:∵BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∴∠ABD=∠ACE(等量代换).
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
设计意图:通过例题的练习,规范学生书写,既加强学生对等腰三角形性质定理的理解和应用,又提高学生演绎推理的能力.
巩固训练
1.回答下列问题,并说明理由.
(1)等腰三角形的底角可以是锐角吗 可以是直角或钝角吗
(2)等腰三角形的顶角可以是锐角吗 可以是直角或钝角吗
解:(1)等腰三角形的底角只能是锐角,不能是直角或钝角,因为当底角是直角或钝角时,三角形的内角和大于180°.
(2)等腰三角形的顶角可以是锐角或直角或钝角.因为顶角=180°-2×底面,底角为锐角,所以0°<顶角<180°.
2.已知各等腰三角形底角的度数分别是:
(1)80°;(2)50°;(3)45°;(4)30°.
请分别求出它们顶角的度数.
解:(1)20°;(2)80°;(3)90°;(4)120°.
3.解答下列问题:
(1)一个等腰三角形的一个内角是80°,求这个三角形另外两个内角的度数.
(2)一个等腰三角形的一个内角是100°,求这个三角形另外两个内角的度数.
(3)一个等腰三角形的底角是顶角的一半,求这个三角形各内角的度数.
解:(1)①当80°的角是顶角,则两个底角是50°,50°;
②当80°的角是底角,则顶角是20°.
综上所述,这个三角形另外两个内角的度数是50°,50°或20°,80°.
(2)∵三角形内角和为180°,∴100°只能为顶角.
∴剩下两个角为底角,且他们之和为80°.
∴另外两个内角的度数分别为40°,40°.
(3)设等腰三角形的底角为x°,则顶角是2x°,
可得x+x+2x=180°,解得x=45.
所以这个三角形各内角的度数为45°,45°,90°.
设计意图:学生通过练习,再次加强对等腰三角形的认识,当没有明确说明哪个角是底角时,需要分情况进行讨论,培养学生分类讨论的意识.
课堂小结
1.等腰三角形的性质定理.
性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
2.等边三角形的性质定理:
具有等腰三角形的一切性质,等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
设计意图:通过对本节课所学内容的总结归纳,加深学生对所学知识的理解和掌握,培养学生归纳、总结能力.
相关练习.
1.教材第143页习题A组第3,4题,习题B组第1题.
2.相关练习.
第1课时　等腰三角形的性质
　　　1.等腰三角形的性质定理.
性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
2.等边三角形的性质定理:
具有等腰三角形的一切性质,等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
教学反思

第2课时　等腰三角形的判定
课时目标
1.探索并证明等腰三角形的判定定理和等边三角形的判定定理.
2.运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算.
3.会利用尺规作图完成:已知底边及底边上的高作等腰三角形.
学习重点
理解并掌握等腰、等边三角形的判定方法.
学习难点
运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算.
课时活动设计
复习回顾
1.等腰三角形的性质定理:
性质1:等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.(简称“三线合一”)
2.等边三角形的性质定理:
等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°.
等边三角形是一种特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的一切性质.
设计意图:通过对上节课内容的复习,学生能熟练说出等腰三角形和等边三角形的性质.
探究新知
出示问题,学生动手操作.
我们知道,等腰三角形的两个底角相等.反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形吗 (本问题由学生大胆提出猜想)
已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.
(1)请你作出∠BAC的平分线AD.
(2)将△ABC沿AD所在直线折叠,△ABC被直线AD分成的两部分能够重合吗
(3)由上面的操作,你是否发现了边AB和边AC之间的数量关系
猜想:由∠B=∠C,可推出AB=AC.
如何证明你的猜想呢 引导学生将猜想转化为几何语言(已知…求证…)
已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.
求证:AB=AC.
证明:如图,作∠BAC的平分线,交BC于点D.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
注意:可以作BC边上的高线;也可以作∠BAC的平分线,但不可以作BC边的中线.
设计意图:通过学生的操作,让学生经历画图、折叠、观察、思考并获得猜想的过程,初步感知猜想的正确性,培养学生合情推理能力.本次教学活动,可让学生类比证明等腰三角形性质定理的思路和方法,先由学生独立思考,并尝试完成证明过程,再小组交流,教师可参与其中,给与学生一定的帮助,通过学生自主完成判定定理的证明,让学生充分感受判定定理的合理性.
归纳总结
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等.(简称“等角对等边”)
几何语言:
如图,在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AC=AB,即△ABC为等腰三角形.
设计意图:通过总结并规范等腰三角形的判定定理,加强学生对等腰三角形的判定定理的理解,能够准确理解掌握该定理.
探究新知
教师提出问题:
那么我们如何判定一个三角形为等边三角形呢 请大家思考.
1.三个内角都相等的三角形是等边三角形吗 说出你的理由.
2.有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形吗 说出你的理由.
解:(1)三个内角都相等的三角形是等边三角形.
(2)分两种情况进行讨论:
①顶角是60°的等腰三角形,那么每一个底角==60°,由等角对等边可知,该三角形三边相等,所以是等边三角形.
②一个底角是60°的等腰三角形,那么顶角=180°-60°×2=60°,由等角对等边可知,该三角形三边相等,所以是等边三角形.
综上所述,有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形.
设计意图:学生通过完成问题,得出等边三角形的判定定理,同时培养学生分类讨论意识.
归纳总结
等边三角形的判定定理:
1.三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
设计意图:归纳总结等边三角形的判定定理,加深学生对等边三角形判定定理的理解和掌握,提高学生应用意识.
典例精讲
例　已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.如图所示,已知线段a和h.
求作:等腰三角形ABC,使BC=a,高AD=h.
解:如图所示.
(1)作线段BC=a.
(2)作BC的垂直平分线MD,垂足为D.
(3)在DM上截取DA=h.
(4)连接AB,AC.
△ABC即为所求.
本过程由教师分析讲解,师生一起完成作图过程.
设计意图:学生进行尺规作图,教师在此环节进行分析讲解,最终达成学生会利用尺规作图完成,已知底边及底边上的高线作等腰三角形的目的.提高学生动手操作能力.
巩固训练
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.
求证:△ABD是等腰三角形.
证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠ADB.
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD.
∴△ABD是等腰三角形.
2.已知:如图,E为△ABC的边BA延长线上的一点,AD∥BC,∠EAD=∠CAD=60°.
求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AD∥BC,
∴∠B=∠EAD=60°,∠C=∠CAD=60°.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°.
∴∠BAC=∠B=∠C=60°.
∴△ABC是等边三角形.
3.已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.
求证:△ADE是等边三角形.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
设计意图:通过习题的练习,使学生能够熟练应用等腰三角形和等边三角形的判定定理,巩固所学知识.
课堂小结
1.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)
2.等边三角形的判定定理:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
3.尺规作图:已知底边及底边上的高作等腰三角形.
设计意图:通过归纳总结本节课所学内容,加深学生对本节课所学知识的理解,培养学生反思的习惯.
相关练习.
1.教材第146页习题A组第3,4题,习题B组第1题.
2.相关练习.
第2课时　等腰三角形的判定
　　　1.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)
2.等边三角形的判定定理:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
3.尺规作图.
教学反思

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