资源简介

课时目标
1.探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用.
2.会利用基本作图完成:已知一直角边和斜边作直角三角形.
3.初步养成综合运用知识解决问题的能力,进一步提高推理能力.
学习重点
探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明以及简单的应用.
学习难点
会运用直角三角形全等的判定定理解决综合性问题.
课时活动设计
复习回顾
回忆全等三角形的判定定理:
三边对应相等的两个三角形全等(SSS).
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).
在我们学习了勾股定理以后,可知:在一个直角三角形中,如果两条边确定,那么第三边也随之确定.所以大家思考一下,在一个直角三角形中,如果斜边和直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等吗
设计意图:开门见山,直接引出本节课所学内容.
探究新知
已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明:在△ABC和△A'B'C'中,
∵∠C=90°,∠C'=90°,
∴BC2=AB2-AC2,B'C'2=A'B'2-A'C'2(勾股定理).
∵AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
直角三角形全等的判定定理:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(这个定理可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言:
如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
设计意图:通过猜想与证明,学生能够熟练掌握直角三角形全等的判定方法.
归纳总结
现在请同学们思考,证明两个直角三角形全等的方法有哪些
判断直角三角形全等的方法
特别注意,在用HL的时候,仅限于直角三角形全等.
设计意图:通过总结归纳,学生能灵活掌握直角三角形全等的所有判定方法.
探究新知
设计活动,学生操作.
例　已知一直角边和斜边,用尺规作直角三角形.
已知:如图,线段a,c.
求作:△ABC,使∠C=90°,BC=a,AB=c.
分析:首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线,由AB=c可以确定点A.
作法:如图所示.
(1)作线段CB=a.
(2)过点C,作MC⊥CB.
(3)以B为圆心,c为半径画弧,交CM于点A.
(4)连接AB.
则△ABC即为所求.
如果已知直角三角形的斜边和一条直角边,那么这个直角三角形就确定了,这就是本题的作图依据,老师作为引导,学生独立完成作图过程.
设计意图:本教学活动,通过学生动手操作,让学生利用直角三角形HL这个判定定理感受作图的合理性.
典例精讲
例　已知:如图,点P在∠AOB的内部,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,且PC=PD.求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明:如图,作射线OP.
∵PC⊥OA,PD⊥OB,
∴∠PCO=∠PDO=90°.
在Rt△OPC和Rt△OPD中,
∵
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).
∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分线,
即点P在∠AOB的平分线上.
这样,我们就证明了角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
设计意图:通过运用直角三角形全等的判定方法,证明之前所学的角平分线性质定理的逆定理,感受数学知识之间的联系性和整体性,并初步掌握直角三角形的判定方法.
巩固训练
1.回答下列问题,并说明理由.
(1)有两条边分别相等的两个直角三角形是否全等
(2)有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形是否一定全等
解:(1)不一定.没有明确相等的两条边是直角边还是斜边,如果其中一个三角形的两条直角边分别和另一个三角形的一条直角边和一条斜边对应相等,那么这两个三角形必定不全等.
(2)不一定.如图,AD是Rt△ABC斜边上的高,则在△ABC和△ABD中,AB=AB,∠B=∠B,而这两个三角形不全等.
2.已知:如图,在△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,BD=CE.求证:AB=AC.
证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BDC=∠CEB=90°,
在Rt△BDC和Rt△CEB中,∵
∴Rt△BDC≌Rt△CEB(HL).
∴∠BCD=∠CBE.
∴AB=AC(等角对等边).
3.已知:如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,CE=DF,AC=BD.
求证:(1)AE=BF.(2)AC∥BD.
证明:(1)∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴在Rt△ACE和Rt△BDF中,
∵
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL).
∴AE=BF.
(2)由(1)可知,Rt△ACE≌Rt△BDF,
∴∠A=∠B.
∴AC∥BD.
设计意图:通过练习,学生能够熟练应用直角三角形全等的判定定理解决问题.
课堂小结
直角三角形全等的判定定理:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等.
设计意图:通过对本节课所学内容的总结归纳,加深学生对所学知识的理解和掌握,培养学生归纳、总结能力.
相关练习.
1.教材第161页习题A组第1题,习题B组第1,2题.
2.相关练习.
17.4　直角三角形全等的判定
　直角三角形全等的判定定理:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言:
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∵
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
教学反思

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