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集合的概念
定义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）
集合与元素的表示
集合通常用大写字母，，，表示，元素用小写字母，，，表示
元素与集合的关系
元素与集合的关系 记法 读法
是集合的元素 属于集合
不是集合的元素 不属于集合
常用数集及其记法
数集 记法
非负整数集（自然数集）
正整数集 或
整数集
有理数集
实数集
例1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数
【答案】D
【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.
【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．
故选：D．
变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程的实数解 D．周长为的三角形
【答案】B
【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误.
【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A正确；
地球上的小河流不满足集合元素的确定性，
即没有标准说多小的河流算小河流，故B错误；
方程的实数解是，可以构成一个集合，故C正确；
周长为的所有三角形可以构成一个集合，故D正确；
故选：B.
变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（ ）
A．我校所有体质好的同学 B．我校所有800米达标的女生
C．全国所有优秀的运动员 D．全国所有环境优美的城市
【答案】B
【分析】根据集合元素的确定性，逐一分析可得答案．
【详解】A中，我校所有体质好的同学不具有确定性，不能组成集合；
B中，我校所有800米达标的女生具有确定性，能组成集合；
C中，全国所有优秀的运动员不具有确定性，不能组成集合；
D中，全国所有环境优美的城市不具有确定性，不能组成集合，
故选：B．
变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生
B．2022年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于x的正整数
【答案】B
【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的.
【详解】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.
其它选项的对象都可以构成集合.
故选：B
例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据常用数集的范围判断即可.
【详解】N表示自然数集，-1不是自然数，故A错；
表示正整数集，0不是正整数，故B正确；
Q表示有理数集，不是有理数，故C错；
R表示实数集，是实数，故D错.
故选：B.
变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据各数集的概念直接判断即可.
【详解】，故A正确；
不是有理数，所以，故B正确；
N为自然数集，所以，故C错误；
不是整数，所以，故D错误；
故选：AB．
变式2-2．用符号“”或“”填空：0______Z，π______Q．
【答案】
【详解】
为有理数集合，
故答案为：
变式2-3．用符号“”或“”填空：______，_______．
【答案】
【分析】根据元素和集合的关系求解即可.
【详解】因为集合代表自然数集（非负整数集），
所以，，
故答案为：，
集合中元素的性质
确定性
给定的集合，它的元素必须是确定的；
也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。
互异性
一个给定集合中的元素是互不相同的；
也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。
无序性
组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
例3．已知,中含有的元素有，求的值.
【答案】和
【分析】根据，得到或，结合集合中元素的互异性，即可求解.
【详解】由且，可得或，
当时，可得；当时，可得，
经检验和都符合题意.
所以和.
变式3-1．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.
【答案】或.
【解析】由已知得或或，解之可求得实数a的值，代入集合中检验是否满足元素的互异性，可得答案.
【详解】①若，则，此时，满足题意.
②若，则，此时，不满足元素的互异性.
③若，则.当时，，满足题意；当时，由②知不合题意.
综上可知或.
变式3-2．设，集合中含有三个元素3，，．
(1)求实数应满足的条件；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)且且
(2)
【分析】(1)根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可；
(2)分析的取值范围，进而可得.
(1)
根据集合中元素的互异性，可知，
即且且；
(2)
因为，且，
所以．
变式3-3．已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）根据元素的确定性和互异性可得或，即可求解；
（2）根据元素的确定性列方程，再检验互异性即可求解.
【详解】（1）由且， 所以
当时，可得，此时符合题意，
当时，可得，此时符合题意，
所以或，
（2）若，则或或，解得：或或，
由元素互异性可得：且，所以
变式3-4．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出A中其他所有元素．
(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？
【答案】(1)A中其他所有元素为，，2
(2)0不是A中的元素，答案见解析
(3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
【分析】（1）把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解.
（2）假设，计算并导出矛盾得0不是的元素，取，求出集合中元素即可.
（3）由（2）可观察出中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可.
（1）
由题意，可知，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2．
（2）
假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A中的元素．
取，则，，，，
所以当时，A中的元素是3，，，．
（3）
猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
由（2）知0，，
若，则，与矛盾，
则有，即，0，1都不在集合A中．
若实数，则，，
，．
结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．
显然，否则，即，无实数解．
同理，，即A中有4个元素．
所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
集合的表示方法
列举法
我们可以把“地球上的四大洋"组成的集合表示为
把“方程的所有实数根”组成的集合表示为.
像这样把集合的元素一一列举出来.并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法
具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写上这个元素所具有的共同特征。
数学表达式为：，其中为代表元素，为共同特征。
例4．用列举法表示下列集合：
（1） 满足的x值组成的集合；
（2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合；
（3） 不大于15的正奇数组成的集合；
（4） 不大于10的正偶数组成的集合．
【答案】答案见解析
【分析】根据列举法的定义逐一求解即可
【详解】（1）因为满足的x值组成有1，2，3，4，5，6，7，
所以满足的x值组成的集合为{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7}．
（2）因为方程x2＋x＋1＝0无解，所以方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为．
（3）因为不大于15的正奇数有，1，3，5，7，9，11，13，15 ，
所以不大于15的正奇数组成的集合为{1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15}．
（4）因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10，
所以不大于10的正偶数组成的集合为{2， 4， 6， 8， 10}．
变式4-1．用列举法表示下列集合
(1)以内非负偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.
（1）
以内的非负偶数有 ，所以构成的集合为 ，
（2）
的根为 ，所以所有实数根组成的集合为 ，
（3）
联立和，解得 ，所以两个函数图象的交点为 ，构成的集合为
变式4-2．用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
（4）由所有正整数构成的集合．
【答案】（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{0，2}；（3）{(0，1)}；（4）{1，2，3，…}．
【分析】根据题意求得集合的元素，然后用列举法表示集合.
【详解】解　（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0，2，4，6，8，10}．
（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．
（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
（4）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．
变式4-3．用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)且
【分析】根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解.
【详解】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
（2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：.
（3）解：方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
（4）解：抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
（5）解：集合，用描述法可表示为：且.
例5．用描述法表示下列集合：
（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；
（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．
【答案】（1）{(x，y)|y＝－2x2＋x}；（2）{x|x<4}；（3）；（4）{x|x＝12n，n∈N*}.
【分析】根据描述法的表示形式，（1），（3）表示的是点集，都用表示元素，再根据条件写出满足的条件，从而可表示出集合，对于（2），（4）都用表示元素，再根据条件写出满足的条件，从而表示出这个集合
【详解】（1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
（2）不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
（3）图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.
（4）3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
变式5-1．表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
【分析】根据题意逐项代入分析即可求解.
【详解】（1）方程的解集为.
（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为.
（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，.
（4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为．
变式5-2．选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）求出不小于1且不大于17的所有质数，用列举法表示；
（2）所有正奇数有无数个，用描述法表示；
（3）求出绝对值不大于3的所有整数，用列举法表示；
（4）抛物线上的点有无数个，用作为代表元，用描述法表示．
(1)
不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；
(2)
所有正奇数有无数个，用描述法表示：；
(3)
绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；
(4)
直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．
变式5-3．用适当的方法表示下列集合．
（1）方程组的解集；
（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（4）所有三角形构成的集合．
【答案】（1）{（4，﹣2）}；（2）{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}；（3）{（x，y）|x＜0且y＞0}；（4）{三角形}．
【分析】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可．
【详解】（1）解方程组，得，故解集为{（4，﹣2）}；
（2）集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈且x＜1000}．
（3）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}
（4）集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．
【点睛】本题考查集合的表示方法，准确理解自然语言的表述以及方法的选取，是解题关键，属简单题.
变式5-4．根据要求写出下列集合.
（1）已知，用列举法表示集合.
（2）已知集合，用列举法表示集合A．
（3）已知方程组，分别用描述法、列举法表示该集合.
（4）已知集合B={(x，y)|2x+y-5=0，x∈N，y∈N}，用列举法表示该集合.
（5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.
【答案】（1）{2}；（2）{2，4，8，16}；（3）{(x，y)|x=1，y=2}，{(1，2)}；（4）{(0，5)，(1，3)，(2，1)}；（5）{(x，y)|xy=0}.
【分析】分别求出各集合的元素或元素特点，即可表示出.
【详解】（1），，解得，
的解为，
用列举法表示集合为；
（2），则可取的值有1，2，4，8，16，的可能值有7，6，4，0，，
，，，
；
（3）方程组的解为，
用描述法表示该集合为，列举法表示该集合为；
（4）当时，；当时，；当时，，
用列举法表示该集合为；
（5）坐标轴上的点满足或，即，
则该集合可表示为.
【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.
集合相等
构成两个集合的元素一样，则两个集合相等
例6．设a,b∈R，集合，则=( )
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答.
【详解】因，则，从而得，有，于是得，
所以.
故选：C
变式6-1．集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【答案】B
【分析】根据两个集合相等，那么两个集合中的元素完全一致，求出的值，进而计算的值.
【详解】因为，且，
所以，即，
所以，，
又因为，所以，
所以，
故选B.
变式6-2．已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解；
【详解】解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
变式6-3．设,，集合，求．
【答案】
【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．
【详解】解：根据题意，集合，
又，
，即，
，
；
故，，
则，
故答案为：
【点睛】本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．
变式6-4．已知集合，，若，求实数，的值.
【答案】或.
【分析】利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a，b的值．
【详解】解：由已知，得（1）或.（2）
解（1）得或，
解（2）得或，
又由集合中元素的互异性
得或.
【点睛】本题考查集合相等的的定义，同时要注意集合中元素的互异性.
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集合的概念
定义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）
集合与元素的表示
集合通常用大写字母，，，表示，元素用小写字母，，，表示
元素与集合的关系
元素与集合的关系 记法 读法
是集合的元素 属于集合
不是集合的元素 不属于集合
常用数集及其记法
数集 记法
非负整数集（自然数集）
正整数集 或
整数集
有理数集
实数集
例1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数
变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程的实数解 D．周长为的三角形
变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（ ）
A．我校所有体质好的同学 B．我校所有800米达标的女生
C．全国所有优秀的运动员 D．全国所有环境优美的城市
变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生
B．2022年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于x的正整数
例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
变式2-2．用符号“”或“”填空：0______Z，π______Q．
变式2-3．用符号“”或“”填空：______，_______．
集合中元素的性质
确定性
给定的集合，它的元素必须是确定的；
也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。
互异性
一个给定集合中的元素是互不相同的；
也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。
无序性
组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
例3．已知,中含有的元素有，求的值.
变式3-1．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.
变式3-2．设，集合中含有三个元素3，，．
(1)求实数应满足的条件；
(2)若，求实数的值．
变式3-3．已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
变式3-4．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出A中其他所有元素．
(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？
集合的表示方法
列举法
我们可以把“地球上的四大洋"组成的集合表示为
把“方程的所有实数根”组成的集合表示为.
像这样把集合的元素一一列举出来.并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法
具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写上这个元素所具有的共同特征。
数学表达式为：，其中为代表元素，为共同特征。
例4．用列举法表示下列集合：
（1） 满足的x值组成的集合；
（2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合；
（3） 不大于15的正奇数组成的集合；
（4） 不大于10的正偶数组成的集合．
变式4-1．用列举法表示下列集合
(1)以内非负偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
变式4-2．用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
（4）由所有正整数构成的集合．
变式4-3．用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
例5．用描述法表示下列集合：
（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；
（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．
变式5-1．表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
变式5-2．选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
变式5-3．用适当的方法表示下列集合．
（1）方程组的解集；
（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（4）所有三角形构成的集合．
变式5-4．根据要求写出下列集合.
（1）已知，用列举法表示集合.
（2）已知集合，用列举法表示集合A．
（3）已知方程组，分别用描述法、列举法表示该集合.
（4）已知集合B={(x，y)|2x+y-5=0，x∈N，y∈N}，用列举法表示该集合.
（5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.
集合相等
构成两个集合的元素一样，则两个集合相等
例6．设a,b∈R，集合，则=( )
A．1 B．-1 C．2 D．-2
变式6-1．集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
变式6-2．已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
变式6-3．设,，集合，求．
变式6-4．已知集合，，若，求实数，的值.
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