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1.2集合间的基本关系
子集
一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，
记作.读作“A含于B”(或“B包含A”).
真子集
如果集合,但存在元素,我们称集合A是集合B的真子集，记作或，读作“真含于或（真包含）”
集合相等
如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,
此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.
空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为
规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
集合中元素个数与子集，真子集的关系
集合中元素个数 子集个数 真子集个数
1
2
3
4
例1．已知集合且，则集合A的子集的个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
变式1-1．集合的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．3 D．5
变式1-2．已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
变式1-3．设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．15
例2．符合 的集合的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
变式2-1．已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式2-2．满足条件的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．写出集合的所有子集和它的真子集.
变式3-1．写出下列集合的所有子集：
(1)；
(2)；
(3)．
变式3-2．设集合，列出集合A 的子集.
变式3-3．求集合的子集和真子集.
例4．已知集合，且；
(1)求实数；
(2)写出的所有真子集.
变式4-1．已知集合，且.
（1）求a；
（2）写出集合A的所有子集.
变式4-2．已知集合，且.
(1)求实数的取值的集合；
(2)写出（1）中集合的所有子集.
例5．已知求．
变式5-1．已知集合M满足关系 ，写出所有的集合M．
例6．设，．
(1)写出集合A的所有子集；
(2)若B为非空集合，求a的值．
变式6-1．已知，，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集．
变式6-2．已知
(1)当时，写出集合的所有子集，共有多少个？
(2)若，求实数的取值范围．
变式6-3．已知，，，且不是空集，
（1）求集合的所有可能情况；
（2）求、的值.
变式6-4．已知集合．
(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
(2)若，且，求实数的取值集合．
例7．判断下列每对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，{是的约数}；
(3)，.
变式7-1．指出下列各组集合与之间的关系：
，；
，；
，是的正约数；
，．
变式7-2．如图，试说明集合A，B，C之间有什么包含关系．
变式7-3．已知集合，集合，试证明．
变式7-4．指出下列各组中的两个集合与的关系．
（1），；
（2），；
（3）是等腰三角形，是等边三角形；
（4），．
变式7-5．已知集合，.
(1)分别判断元素，与集合A，B的关系；
(2)判断集合A与集合B的关系并说明理由.
例8．已知集合，，且，求实数a的取值范围．
变式8-1．已知集合 ，且，求实数的值.
变式8-2．已知集合，若，且，求实数的值．
变式8-3．若集合，，且 ，求实数m的值.
变式8-4．已知集合，.若，求实数的取值范围.
变式8-5．已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
变式8-6．已知为实数，，．
(1)当时，求的取值集合；
(2)当 时，求的取值集合.
变式8-7．已知集合，集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值集合.
变式8-8．设集合，.
(1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值；
(2)若求实数m的值.
例9．已知集合，，若，求a的取值范围．
变式9-1．已知，若，求满足条件的的取值范围．
变式9-2．已知集合，.若，求实数的取值范围.
变式9-3．设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
变式9-4．已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若 ，求实数的取值范围.
变式9-5．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}．
(1)若B A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；
(2)若A B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．
变式9-6．设全集，集合，集合，其中．
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围
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1.2集合间的基本关系
子集
一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，
记作.读作“A含于B”(或“B包含A”).
真子集
如果集合,但存在元素,我们称集合A是集合B的真子集，记作或，读作“真含于或（真包含）”
集合相等
如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,
此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.
空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为
规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
集合中元素个数与子集，真子集的关系
集合中元素个数 子集个数 真子集个数
1
2
3
4
例1．已知集合且，则集合A的子集的个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】D
【分析】先求出集合中元素的个数，再利用含有个元素的集合的子集个数为，即可求出结果.
【详解】因为且，可知，集合中含有5个元素，所以集合的子集个数为.
故选：D.
变式1-1．集合的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据公式，直接求真子集个数.
【详解】集合中有3个元素，所以集合的真子集个数为个.
故选：B
变式1-2．已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】D
【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.
【详解】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，
故含有元素0的A的子集个数为8.
故选：D.
变式1-3．设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．15
【答案】B
【分析】求得集合，即可求得结果.
【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.
故选：B
例2．符合 的集合的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.
【详解】由 ，设， ，故有个.
故选：A.
变式2-1．已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为，
所以集合可以为：，
共8个，
故选：C.
变式2-2．满足条件的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】所求集合的个数即为的子集个数，求解即可.
【详解】因为，
所以集合的个数即为的子集个数.
因为集合的子集个数为，
所以满足条件的集合的个数是4.
故选:D.
例3．写出集合的所有子集和它的真子集.
【答案】答案见解析.
【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.
【详解】集合的所有子集为；
集合的所有真子集为.
变式3-1．写出下列集合的所有子集：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；
（2）根据所给集合列出相应子集即可；
（3）根据所给集合列出相应子集即可.
（1）
解：由题得所有子集有..
（2）
解：由题得所有子集有
（3）
解：由题得所有子集有
变式3-2．设集合，列出集合A 的子集.
【答案】A的子集为
【分析】先由条件确定集合的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.
【详解】由化简可得，
所以A的子集为
变式3-3．求集合的子集和真子集.
【答案】子集是，真子集是
【分析】根据二次方程的解法可得，根据子集和真子集的定义求解即可
【详解】集合，
集合的子集是，共个；
集合的真子集是，共个.
例4．已知集合，且；
(1)求实数；
(2)写出的所有真子集.
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；
（2）根据真子集的定义写出的所有真子集即可.
【详解】（1）因为，所以或，
当，即时，不满足集合元素的互异性；
当时，解得（不满足集合元素互异性舍去）或，
所以当时，，
综上实数.
（2）由（1）得，
所以的所有真子集为，，.
变式4-1．已知集合，且.
（1）求a；
（2）写出集合A的所有子集.
【答案】（1）；（2），，，.
【解析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解；
（2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解.
【详解】（1）由题意，集合，且，
可得或，解得或，
当时，，集合A不满足互异性，所以舍去；
当时，经检验，符合题意，故.
（2）由（1）知集合，
所以集合的子集是，，，.
【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.
变式4-2．已知集合，且.
(1)求实数的取值的集合；
(2)写出（1）中集合的所有子集.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用可求出，再验证合理性，进一步确定值；
（2）利用子集的概念作答即可
【详解】（1）因为，且，
所以或，解得或或，
当时，，集合中出现两个0，故舍去；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
∴实数的取值的集合
（2）因为，所以集合的子集有：
例5．已知求．
【答案】或
【分析】，则，可得集合．
【详解】，则，则或．
变式5-1．已知集合M满足关系 ，写出所有的集合M．
【答案】答案见解析
【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可
【详解】满足条件的集合M可以是以下集合：，，，，，，，，共8个
例6．设，．
(1)写出集合A的所有子集；
(2)若B为非空集合，求a的值．
【答案】(1)；
(2)3
【分析】（1）求解即可得；
（2）由B为非空集合，得或或，分别将元素代入解出a即可.
【详解】（1）由解得或，则，
故集合A的子集为：；
（2）B为非空集合，得或或，
由或代入可得，故a的值为3.
变式6-1．已知，，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集．
【答案】答案见解析．
【分析】求出集合，根据包含关系确定集合，再由非空真子集定义写出结论．
【详解】由已知，
时，，
时，时，，
时，，，
综上，的所有非空真子集有，，，，，．
变式6-2．已知
(1)当时，写出集合的所有子集，共有多少个？
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；
（2）由集合间的关系列出关于的不等式，求解即可.
（1）
当时，,
所以集合的子集有，
所以共有8个子集.
（2）
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
变式6-3．已知，，，且不是空集，
（1）求集合的所有可能情况；
（2）求、的值.
【答案】（1）或或；（2）或或.
【解析】（1）解出集合，根据且可得出所有可能的集合；
（2）根据（1）中集合所有可能的情况，结合韦达定理可求得、的值.
【详解】（1），且，
则或或；
（2）若，由韦达定理可得，解得；
若，由韦达定理可得，解得；
若，由韦达定理可得，解得.
综上所述，或或.
变式6-4．已知集合．
(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
(2)若，且，求实数的取值集合．
【答案】(1)，，，；
(2).
【分析】（1）根据集合包含关系和可直接得到结果；
（2）分别在和两种情况下，根据构造方程可求得结果.
（1）
，，可能的集合为：，，，；
（2）
当时，，满足；
当时，；若，则或或，
解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
例7．判断下列每对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，{是的约数}；
(3)，.
【答案】(1)B A
(2)
(3)
【分析】（1）分析A，B集合中元素的关系，即得解；
（2）列举法表示集合D，即得解；
（3）列举法表示集合E，即得解
(1)
由题意，任取，有，故
且，故B A
(2)
由于{是的约数}
故
(3)
由于
故
变式7-1．指出下列各组集合与之间的关系：
，；
，；
，是的正约数；
，．
【答案】；；；.
【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.
【详解】解：，，但集合中的某些元素不属于集合.
所以.
由，可求得.
又由，可知.
由集合是的正约数，可求得，
由于，则.
因为集合表示正整数集，集合表示自然数集，
所以.
变式7-2．如图，试说明集合A，B，C之间有什么包含关系．
【答案】
【分析】由图可得答案.
【详解】由图可得
故答案为：
变式7-3．已知集合，集合，试证明．
【答案】证明见解析
【分析】证明且，即得证.
【详解】证明：设，则存在，使得，因为，所以，因此，故．
设，则存在，使得，因为，所以，因此，故．
综上，．
变式7-4．指出下列各组中的两个集合与的关系．
（1），；
（2），；
（3）是等腰三角形，是等边三角形；
（4），．
【答案】（1） ；（2）；（3） ；（4）．
【分析】（1）求出集合与集合比较即可求解；
（2）求出集合与集合比较即可求解；
（3）根据包含关系的定义即可判断；
（4）出集合与集合中的元素即可求解；
【详解】（1）因为，，所以 ；
（2）因为，所以；
（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以中的元素都在中，中有元素不在中，所以 ；
（4）因为，，
所以集合与集合中的元素都是全体奇数，所以.
变式7-5．已知集合，.
(1)分别判断元素，与集合A，B的关系；
(2)判断集合A与集合B的关系并说明理由.
【答案】(1)，，，；
(2)，理由见解析.
【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在使，属于集合A，B即可.
（2）法一：由（1）结论，并判断是否有，即知A与B的关系；法二：={x|x是的整数倍}，={x|x是的奇数倍}，即知A与B的关系；
【详解】（1）法一：令，得，故；
令，得，故.
同理，令，得，故；
令，得，故.
法二：由题意得：，
又，故，；
，.
（2）法一：由（1）得：，，故；
又，，
由，得，故，
所以，都有，即，又，
所以.
法二：由题意得={x|x是的整数倍}，
={x|x是的奇数倍}，
因为奇数集是整数集的真子集，
所以集合B是集合A的真子集，即.
例8．已知集合，，且，求实数a的取值范围．
【答案】或
【分析】根据题意分和讨论，在时分集合为单元素集和双元素集两种讨论即可.
【详解】由题意知，若，则，解得，
若， ，解得或，
当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去，
当时，则方程为，解得，，不合题意，舍去，
当，即，解得或，则由题意知，
则1,4为方程两根，根据韦达定理得，
综上所述的范围是或.
变式8-1．已知集合 ，且，求实数的值.
【答案】
【分析】根据题意分与，结合，分别讨论计算，即可得到结果.
【详解】因为，
当时，，符合题意；
当时，，而，
所以或，解得或.
所以的取值为
变式8-2．已知集合，若，且，求实数的值．
【答案】或或
【分析】先求得集合，然后根据进行分类讨论，由此求得的值.
【详解】，解得或，所以，
依题意，且，.
①当时，
，∴；
②当时，
，∴；
③当时，
，∴．
综合得或或．
变式8-3．若集合，，且 ，求实数m的值.
【答案】或或
【分析】分和两种情况讨论，结合已知即可得解.
【详解】，
当时， ，
当时，，
因为 ，所以或，
所以或，
综上所述，或或.
变式8-4．已知集合，.若，求实数的取值范围.
【答案】或.
【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案．
【详解】由，则.
，
为方程的解集.
①若，则，
或或，
当时有两个相等实根，即不合题意，同理，
当时，符合题意；
②若则，即，
综上所述，实数的取值范围为或
变式8-5．已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或.
【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；
（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；
【详解】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
变式8-6．已知为实数，，．
(1)当时，求的取值集合；
(2)当 时，求的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）分、、且三种情况，求出集合、，根据 可得出关于的等式，即可解得实数的值.
【详解】（1）解：因为，
所以当时，，当时，．
又，所以，此时，满足．
所以当时，的取值集合为．
（2）解：当时，， 不成立；
当时，，， 成立；
当且时，，，由 ，得，所以．
综上，的取值集合为．
变式8-7．已知集合，集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解中的一元二次方程即可；
（2）分和，即分和讨论即可.
【详解】（1），解得或，
故.
（2）①当时，符合；
②当即时，
则，由可得或，解得或
综上的取值集合为.
变式8-8．设集合，.
(1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值；
(2)若求实数m的值.
【答案】(1)1
(2)m＝1或m＝2
【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；
（2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案.
【详解】（1）解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故.
解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m＝1.
（2）由，解得或，
由，整理可得，解得或，
B A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B A，
当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B A，故m＝1或m＝2.
例9．已知集合，，若，求a的取值范围．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，当时，利用数轴列出不等式组即可.
【详解】当时，，解得，
当时，因为，则，解得，
综上.
变式9-1．已知，若，求满足条件的的取值范围．
【答案】
【分析】对B分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.
【详解】当时，满足，此时，有，解得：；
当时，要使，只需，解得：.
所以实数的取值范围为.
变式9-2．已知集合，.若，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.
【详解】因为，所以分和两种情况：
①当时，则，解得：，
②当时，则，解得：，
综上，实数的取值范围为．
变式9-3．设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)254
(2)
【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
当时，共8个元素，
的非空真子集的个数为个；
（2）由题知，
显然，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
变式9-4．已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若 ，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.
【详解】（1）因为，
当时：，即符合题意；
当时，，，
综上所述：.
（2）因为 ，
当时，，
，解得，无解，
当时，或，
，
综上所述：.
变式9-5．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}．
(1)若B A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；
(2)若A B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据B A分或两种情况进行解答即可；
（2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m的范围；
（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m的范围．
（1）
集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，
由B A得或，
即或m+1＞2m﹣1，
解得2≤m≤3或m＜2，
所以实数m的取值范围是；
（2）
集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，
由A B得，
解得3≤m≤4，
所以实数m的取值范围是[3，4]；
（3）
集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，
由A＝B得，无解，
所以实数．
变式9-6．设全集，集合，集合，其中．
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据，列出不等式即可得到结果.
（2）根据，分与进行讨论，列出不等式，即可得到结果.
（1）
因为，
所以，
即a的取值范围是；
（2）
因为，
若，则；
若，则，
综上所述：．
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