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1.3 集合的基本运算
思考：
我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？
考查下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
并集
在上述两个问题中,集合A，B与集合C之间都具有这样一种关系；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”),即
.可用Venn图1表示.
图1
这样，在问题（1）（2）中，集合A与B的并集是C，即：
交集
考察下面的问题,集合A、B与集合C之间有什么关系
我们看到,在上述问题中,集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的.
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作(读作"A交B”),即
，可用Venn图2表示
图2
这样，在上述问题（1）（2）中，
补集
在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围.
例如,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到实数. 在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充.
在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果.
例如方程的解集,在有理数范围内只有一个解2,
即
在实数范国内有三个解
即
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,
记作
可用Venn图3表示
图3
并集的运算
交集的运算
补集的运算
德摩根定律
例1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答.
【详解】集合，，则.
故选：D
变式1-1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】因为集合，，
根据集合交集的运算，可得．
故选：A．
变式1-2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合B中的元素，再求即可.
【详解】，
则
故选：C.
变式1-3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合集合的交集运算求解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
变式1-4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
例2．集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，集合，
所以.
故选：C.
变式2-1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义运算即得答案.
【详解】∵集合，，
∴.
故选：B.
变式2-2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
例3．设集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用交集的定义即可求解．
【详解】因为，，
所以，
故选：A．
变式3-1．设全集为R，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据交集的定义求解即可.
【详解】，,
.
故选：C.
变式3-2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据交集的概念求解即可.
【详解】集合，集合，
则.
故选：B.
变式3-3．设集合，， 则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：B
例4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据并集的定义求得正确答案.
【详解】已知集合，
所以.
故选：C
变式4-1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据并集的定义，即可求解.
【详解】因为集合，，
根据并集的定义可知，.
故选：B
变式4-2．设集合，，则元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用集合的并集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以
所以元素的个数为8，
故选：C
变式4-3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，利用并集概念进行求解.
【详解】，故.
故选：C
变式4-4．设集合，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用交集的运算可得出、的值，在利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，所以，即，
则，，所以，
故选：D．
例5．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由并集的运算直接求解．
【详解】因为，，则．
故选：A．
变式5-1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据并集运算求解.
【详解】因为集合，，
所以，
故选:D.
变式5-2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的并集运算可得答案.
【详解】因为，，
所以，
故选：A.
变式5-3．若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的并集运算，即可得答案.
【详解】由题意得集合，
则，
故选：A
变式5-4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.
【详解】依题意，，，所以.
故选：C
例6．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义求解即可.
【详解】集合，
故选：B.
变式6-1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据补集的定义计算即可．
【详解】因为，，
所以．
故选：C．
变式6-2．设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据补集的定义计算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
变式6-3．设集合，或，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据补集的运算可得答案.
【详解】．
故选：B．
例7．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由并集和补集的定义即可得出答案.
【详解】集合，
则B=，则=.
故选：D.
变式7-1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集和交集的含义即可得到答案.
【详解】，则，
故选：B.
变式7-2．已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用集合并集和补集概念求解.
【详解】因为,所以，
故选:A.
变式7-3．已知集合或，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据补集和交集定义直接求解即可.
【详解】，.
故选：C.
变式7-4．已知集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由交集和补集的定义即可得出答案.
【详解】解：由题意得，∴．
故选：D.
变式7-5．设，，．则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.
【详解】，，，
，.
故选：D.
例8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用补集和交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B
变式8-1．已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【详解】，，
．
故选：B.
变式8-2．已知全集，集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据补集的运算，求得，结合交集的运算，即可求解.
【详解】解：由集合，可得，
又由合， 可得.
故选：A.
变式8-3．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出集合，然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可．
【详解】因为集合，，，
.
故选：A．
变式8-4．设全集，或，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】由于或，,所以，因此，
故选：D
变式8-5．设集合，，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】先求出和，再求交集即可.
【详解】由已知得或，或，
或.
故选：C.
变式8-6．，，若，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】先求得，根据求得的取值范围.
【详解】因为，，所以，
，因为，所以.
故选：C
例9．已知全集，，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为，再利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为，
因为，，所以，
因为，所以.
故选：D.
变式9-1．已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】化简集合A，B，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.
【详解】依题意，，
由韦恩图知，阴影部分表示的集合是，而或，
所以.
故选：D
变式9-2．图中U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由阴影部分的元素特点可直接得到结果.
【详解】由图知，阴影部分的元素既不属于集合，也不属于集合，
所以阴影部分表示的集合是.
故选：D
变式9-3．如图，是全集的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图集合运算解决即可.
【详解】观察图，可知阴影部分既在表示集合的区域中又在表示集合的区域中，即在表示集合的公共区域内，且在表示集合的区域外，即在集合中.根据集合运算的概念，可得阴影部分表示的集合为
故选：D
变式9-4．如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.
【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，
即.
故选：C.
变式9-5．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图可得阴影部分表示，然后用补集和交集的定义进行求解
【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为，
因为，
所以或，，
故选：A
变式9-6．已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可.
【详解】，
选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意，
故选：B
变式9-7．设全集I是实数集R，或与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得，而阴影部分表示的集合为，从而可求解.
【详解】因为，所以阴影部分表示的集合为.
故选：C.
变式9-8．设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，
根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为.
故选：B.
变式9-9．设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．
【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为．
故选：D．
变式9-10．设集合，，则图阴影区域表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用交集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，图阴影区域表示的集合是,
所以.
故选：A.
例10．我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.
【详解】设集合{参加足球队的学生}，
集合{参加排球队的学生}，
集合{参加游泳队的学生}，
则，
设三项都参加的有人，即，，
所以由
即，
解得，
三项都参加的有4人，
故选：C.
变式10-1．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【分析】由题意可知：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有10人，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，再计算即可得解.
【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，
使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，
则可得：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10人，
又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，
即使用过共享单车的学生人数为10+60=70，
故选:C.
变式10-2．某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌 跳舞 书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27 B．23 C．25 D．29
【答案】A
【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.
【详解】作出韦恩图，如图所示，
可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.
故选：A
变式10-3．某学校举办运动会，比赛项目包括田径 游泳 球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（ ）
A．98人 B．106人 C．104人 D．110
【答案】B
【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.
【详解】
由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：
，
故选：B.
变式10-4．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的人数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】先将只参加田径比赛的人数，只参加球类比赛的人数，同时参加球类比赛和田径比赛的人数分别表示出来，再根据总人数为30人列出等式即可.
【详解】设同时参加球类比赛和田径比赛的有x人，
则只参加田径比赛的人数为：；只参加球类比赛的人数为：，
可列等式：，
可得：，故只参加球类比赛的人数为：，
故选：C
变式10-5．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，田赛和径赛都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．16人 B．18人 C．23人 D．28人
【答案】C
【分析】根据题意得到只参加田赛的学生人数和只参加径赛的学生人数，然后再加上都参加的，即可得到参加运动会的人数.
【详解】根据题意可知，只参加田赛的学生有，只参加径赛的有人，所以参加运动会的人数为人.
故选：C.
变式10-6．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【答案】B
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.
【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则，，
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，
即，
，
由容斥原理：
，
解得：，
故选：B.
例11．设集合，.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a组成的集合C.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，根据，即可得出，从而即得；
（2）由题可知，然后分类讨论，从而得出实数组成的集合．
【详解】（1）由，解得或，所以，
因为，
所以，则，
所以；
（2）因为，则，
当时，；
当时，；
当时，，
综上可得集合.
变式11-1．设集合.
(1)讨论集合与的关系；
(2)若，且，求实数的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）解方程得到，分两种情况，得到的关系；
（2）根据交集结果得到，分类讨论，求出实数的值.
【详解】（1），
当时，；
当时，，是的真子集.
（2）当时，因为，所以，所以.
当时，解得（舍去）或，此时，符合题意.
当时，解得，此时符合题意.
综上，或.
例12．集合，集合.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集；
（2）由条件可知，，再分和两种情况，求实数的取值范围.
【详解】（1）解不等式，得，
所以，
当时，则，
所以，；
（2）因为，所以
当时，，即，此时；
当时，，则，解得:，
综上所述，实数m的取值范围是.
变式12-1．已知集合，，
(1)求；；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据并集的概念和运算即可求出，根据交集和补集的概念与运算即可求解；
（2）由得，分类讨论当、时a的取值范围，进而求解.
【详解】（1）由题意知：；
或，
所以；
（2）若，则，
①当时，，即，
②当时，，即，
所以，解得．
综上所述：的取值范围为：．
例13．已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的定义计算可得；
（2）根据即可得到，从而得解.
【详解】（1）解：因为，，
所以.
（2）解：因为，且，
所以，即的取值范围为.
变式13-1．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接计算并集即可.
（2）考虑和两种情况，得到或，解得答案.
【详解】（1）当时，，，.
（2）
当时，，解得，
当时，或，解得：或，
综上所述：实数的取值范围．
例14．设集合，，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可知，代入集合分类讨论的取值即可得；
（2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由集合可得，
由可得，
故，解得或，
当时，，此时不满足题意，舍去，
当时，，满足题意，
故；
（2）由得，
当时，即时，满足题意；
当时，即时，满足题意；
当时，即时，，解得，
综上可得，或；
即实数的取值范围为.
变式14-1．已知，若，求实数的值.
【答案】.
【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得
【详解】因为中，且两根之积为，又，
故，所以，则，
由上知：，所以，代入得，显然满足.
所以.
例15．已知集合，．
(1)求集合；
(2)设集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据补集的概念可得结果；
（2）由，得，根据子集关系列式可求出结果.
【详解】（1）∵，∴．
（2）∵，∴，
∴，解得.
变式15-1．已知全集＝，集合＝，＝．
(1)当＝时，求与；
(2)若＝，求实数的取值范围．
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）化简集合，当时，求出集合，求出，即可求出结果；
（2）由得出，列出关于的不等式组，求解即可.
【详解】（1）由已知，得，
当时，，故.
或，或.
（2）∵，∴，
∴，解得
∴实数的取值范围为．
变式15-2．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值集合.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）化简集合，然后根据交集的定义即得；
（2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，又，
所以；
（2）由解得，，
若，则，，符合题意；
若，由于，所以；
综上所述，实数的取值集合为.
变式15-3．已知集合，或，，全集.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合补集，交集运算求解即可；
（2）由题知，再根据集合关系求解即可.
【详解】（1）解：∵，或，
∴.
又∵，
∴.
（2）解：∵，∴.
∴，解得.
∴的取值范围为
例16．已知集合，，全集为.
(1)求集合；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解；
(2)由，则，然后对是否为空集进行分类讨论即可求解.
【详解】（1），
.
（2）由得，，
当时，由，可得，即；
当时，由，且，
可得，解得，
综上所述，实数m的取值范围为.
变式16-1．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）时化简集合A，根据交集的定义写出；
（2）根据，得出关于a的不等式，求出解集即可.
【详解】（1）当时，集合，，
∴；
（2）∵，（），
，∴，
∴，
又，解得.
∴实数a的取值范围是：.
变式16-2．记不等式的解集为A，集合或．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，代入，进而可求得；
（2）求出，再根据可得实数的取值范围．
【详解】（1），，即，
当时，，又集合或
；
（2）由已知，
，
.
变式16-3．已知集合，集合，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）2；（2），或．
【分析】（1）结合交集的定义和分析可得，求解即可；
（2）由题可知，或，再由可知，由此得出满足题意的不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，所以，所以；
（2），或，由已知可得，所以或，所以或，
故实数m的取值范围为，或．
【点睛】本题考查集合之间的基本关系，考查集合的基本运算，考查逻辑思维能力和计算能力，考查分析能力，属于常考题.
变式16-4．已知集合，集合．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若全集，且，求a的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）结合数轴得到满足条件的不等式，即得；（2），那么，结合数轴得到满足条件的不等式，即得.
【详解】解:，．
（1）由，结合数轴（如图所示），
可知，因此a的取值范围为．
（2）∵，∴，要使，结合数轴（如图所示），
可知故a的取值范围为．
【点睛】本题考查集合的子集和补集，结合数轴来求出变量取值范围.
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1.3 集合的基本运算
思考：
我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？
考查下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
并集
在上述两个问题中,集合A，B与集合C之间都具有这样一种关系；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”),即
.可用Venn图1表示.
图1
这样，在问题（1）（2）中，集合A与B的并集是C，即：
交集
考察下面的问题,集合A、B与集合C之间有什么关系
我们看到,在上述问题中,集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的.
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作(读作"A交B”),即
，可用Venn图2表示
图2
这样，在上述问题（1）（2）中，
补集
在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围.
例如,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到实数. 在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充.
在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果.
例如方程的解集,在有理数范围内只有一个解2,
即
在实数范国内有三个解
即
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,
记作
可用Venn图3表示
图3
并集的运算
交集的运算
补集的运算
德摩根定律
例1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式1-3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1-4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
例2．集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2-1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2-2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
例3．设集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
变式3-1．设全集为R，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3-2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式3-3．设集合，， 则等于（ ）
A． B．
C． D．
例4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式4-2．设集合，，则元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．8 D．9
变式4-3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式4-4．设集合，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
例5．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式5-1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式5-2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式5-3．若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
变式5-4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
例6．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式6-1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式6-2．设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
变式6-3．设集合，或，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
例7．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式7-2．已知集合则（ ）
A． B． C． D．
变式7-3．已知集合或，，则（ ）
A． B． C． D．
变式7-4．已知集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式7-5．设，，．则集合（ ）
A． B．
C． D．
例8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式8-1．已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C． D．
变式8-2．已知全集，集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
变式8-3．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式8-4．设全集，或，，则（ ）
A． B． C． D．
变式8-5．设集合，，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
变式8-6．，，若，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
例9．已知全集，，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
变式9-1．已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-2．图中U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-3．如图，是全集的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-4．如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-5．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
变式9-6．已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A． B．
C． D．
变式9-7．设全集I是实数集R，或与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
变式9-8．设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）
A． B． C． D．
变式9-9．设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
变式9-10．设集合，，则图阴影区域表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
例10．我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式10-1．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
变式10-2．某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌 跳舞 书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27 B．23 C．25 D．29
变式10-3．某学校举办运动会，比赛项目包括田径 游泳 球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（ ）
A．98人 B．106人 C．104人 D．110
变式10-4．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的人数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式10-5．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，田赛和径赛都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．16人 B．18人 C．23人 D．28人
变式10-6．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
例11．设集合，.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a组成的集合C.
变式11-1．设集合.
(1)讨论集合与的关系；
(2)若，且，求实数的值.
例12．集合，集合.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数m的取值范围.
变式12-1．已知集合，，
(1)求；；
(2)若，求实数的取值范围．
例13．已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
变式13-1．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
例14．设集合，，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
变式14-1．已知，若，求实数的值.
例15．已知集合，．
(1)求集合；
(2)设集合，且，求实数的取值范围．
变式15-1．已知全集＝，集合＝，＝．
(1)当＝时，求与；
(2)若＝，求实数的取值范围．
变式15-2．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值集合.
变式15-3．已知集合，或，，全集.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
例16．已知集合，，全集为.
(1)求集合；
(2)若，求实数m的取值范围.
变式16-1．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数a的取值范围.
变式16-2．记不等式的解集为A，集合或．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
变式16-3．已知集合，集合，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的取值范围．
变式16-4．已知集合，集合．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若全集，且，求a的取值范围．
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