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1.4充分条件与必要条件
命题
命题的定义
在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。
真命题，假命题
判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题
命题的一般形式
通常用“若，则”的形式来表达，其中称为命题的条件，称为命题的结论。
考点1：判断语句是否为命题
例1：下列语句中不是命题的是（ ）
B．二次函数的图象不一定关于y轴对称
C．
D．对任意，总有
【答案】C
【分析】
根据命题的定义进行判断即可.
【详解】
选项A,B,D中均为陈述句,且能够判断真假,故均为命题,C选项虽然是陈述句但无法判断真假,故不是命题.
故选：C.
【点睛】
判断一个语句是不是命题,要看它符不符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.
考点2：判断命题的真假
例2：下列命题是真命题的是（ ）．
A．空集是任何集合的真子集
B．等腰三角形是锐角三角形
C．函数是二次函数
D．若，则
【答案】D
【分析】
由真子集的定义、等腰三角形的特征，二次函数的定义以及集合的运算即可得出选项。
【详解】
空集是任何非空集合的真子集，故选项错误；
等腰三角形顶角可以为钝角，故选项错误；
函数，当时是一次函数，故选项错误；
若，则是集合，的公共元素，所以。所以答案为D
【点睛】
本题考查命题真假的判断。
变式2-1：
如果命题“若m<3,则q”为真命题,那么该命题的结论q可以是(　　)
m<2
B．m<4
C．m>2
D．m>4
【答案】B
【分析】
根据集合的性质，小集合可以推导出大集合，并且要求命题为真命题，即可直接得出结论.
【详解】
由集合的性质，小范围推大范围，故可知的范围要比题干中m的范围大，所以取；
故选B.
变式2-2：
下列命题是假命题的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【分析】
根据集合的性质，小集合可以推导出大集合，并且要求命题为真命题，即可直接得出结论.
【详解】
由集合的性质，小范围推大范围，故可知的范围要比题干中m的范围大，所以取；
故选B.
考点3：命题的一般形式
例3．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若，则”的形式.
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
（2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
（3）当是有理数时，都是有理数；
（4）；
（5）这盆花长得太好了！
【答案】（2）（3）为命题，（2）为真命题，改写成“若，则”的形式是：在中，所对的边为，若，则.（3）为假命题，改成“若，则”的形式是：若为有理数，则为有理数.
【分析】
能判断真假的陈述句是命题，从而可得（2）（3）为命题，找出两者的前提和结论，从而可得它们“若，则”的形式．
【详解】
（1）为疑问句，（5）为感叹句，两者均不是命题，
（4）为一个和式，无法判断其真假，故也不是命题.
（2）为命题，且为真命题，
改成“若，则”的形式是：在中，所对的边为，若，则.
（3）为命题，且为假命题，比如的和为有理数，但它们均为无理数.
改成“若，则”的形式是：若为有理数，则为有理数.
【点睛】
本题考查命题的判断以及命题的结构，注意可以判断真假的陈述句才是命题，命题由前提和结论构成，本题属于基础题.
变式3-1．判断下列命题的真假并说明理由．
（1）某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除；
（2）若，且，则，且；
（3）合数一定是偶数；
（4）若，则；
（5）两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等；
（6）若实系数一元二次方程满足，那么这个方程有两个不相等的实根；
（7）若集合，，满足，则；
（8）已知集合，，，如果，那么．
【答案】（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；（5）假；（6）真；（7）假；（8）真
【分析】
（1）先判断逆否命题的真假，即可判定出结果；（2）根据不等式性质，直接判断即可；（3）特殊值验证即可；（4）根据子集的性质，即可判定结果；（5）根据全等三角形的判定定理，即可判定结果；（6）根据判别式，即可判定结果；（7）特殊值法验证即可；（8）根据子集与交集的性质，即可判定结果.
【详解】
（1）命题“某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除”的逆否命题为“某个整数能被4整除，则这个数是偶数”，显然为真命题，故（1）是真命题；
（2）若，且，则或；故（2）是假命题；
（3）合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他整数整除的数；因此，合数不一定是偶数，如9，是合数，但不是偶数；故（3）是假命题；
（4）若，根据子集的性质，有；故（4）是真命题；
（5）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；题干中所说对角不一定是夹角，故这两个三角形不一定全等；故（5）是假命题；
（6）若实系数一元二次方程满足，则，所以这个方程有两个不相等的实根；故（6）是真命题；
（7）若集合，，，显然满足，但；故（7）是假命题；
（8）已知集合，，，如果，根据交集与子集的性质，可得：．故（8）是真命题.
【点睛】
本题主要考查命题真假的判定，熟记对应的知识点，灵活运用特殊值法即可，属于常考题型.
充分条件与必要条件
充分条件与必要条件的定义
一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。
由可推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件。
如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。
考点4：判断充分条件与必要条件
例4：已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假：
(1)“”是“”的充分条件；
(2)“”是“”的必要条件；
(3)“”是“”的充分条件；
(4)“”是“”的必要条件.
【答案】(1)假命题(2)假命题(3)假命题(4)真命题
【分析】
(1) (2)利用来判断；(3) (4)利用来判断.
【详解】
解:(1)假命题,因为；
(2)假命题,因为；
(3)假命题,因为,依据为可能为0；
(4)真命题,因为.
【点睛】
本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.
例5：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；
（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件
【分析】
根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充分条件，得到答案.
【详解】
（1）线段垂直平分线的性质，，p是q的充分条件；
（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，，p不是q的充分条件；
（3）相似三角形的性质，，p是q的充分条件.
【点睛】
本题考查判断是否为充分条件，属于简单题.
变式5-1
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；
（2）若x是无理数，则也是无理数.
【答案】（1）q是p的必要条件；（2）q不是p的必要条件
【分析】
根据所给命题，判断出能否得到，从而得到q是否是p的必要条件，得到答案.
【详解】
（1）这是圆的切线定义，，所以q是p的必要条件；
（2）由于是无理数，但不是无理数，，
所以q不是p的必要条件.
【点睛】
本题考查判断是否为必要条件，属于简单题.
变式5-2
判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：
（1）；
（2）p：x是矩形，q：x是正方形.
【答案】（1）p是q的充分条件，q是p的必要条件（2）p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
【分析】
根据充分条件与必要条件的概念，可直接判断出这两问的结果.
【详解】
（1）因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件.
（2）因为矩形不一定是正方形，即，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.
例6：已知命题：，
①
②
则命题的充分条件是___________，
命题的必要条件是______________
【答案】②，①
变式6-1．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
（1）p：x2>0，q：x>0；
（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
（3）p：a能被6整除，q：a能被3整除；
（4）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．
【答案】（1）p是q的必要条件，q是p的充分条件；（2）p是q的必要条件，q是p的充分条件；（3）p是q的充分条件，q是p的必要条件；（4）p是q的必要条件，q是p的充分条件．
【分析】
根据充分、必要条件的定义，逐一判断即可.
【详解】
解：（1）p：x2>0则x>0，或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
（3）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
（4）p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
【点睛】
本题考查充分、必要条件的判断，考查分析判断的能力，属基础题.
充分性和必要性的关系
在“若，则”中，
若：，则是的充分条件，是的必要条件
若：，则是的充分条件，是的必要条件
也就是说：在“若，则”中，
条件结论，充分性成立；
结论条件，必要性成立
充要条件
充要条件的定义
若有，又有，就记作，则是的充分必要条件，简称充要条件。
充分条件、必要条件的四种类型
若，，则是的充要条件
若，，则是的充分不必要条件
若，，则是的必要不充分条件
若，，则是的既不充分也不必要条件
例7：试用推出关系说明是的什么条件.
（1），；
（2）是非零自然数，是正整数；
（3），；
（4），；
（5）使得关于的方程有唯一实根的实数，.
【答案】（1）充分非必要；（2）充要；（3）必要非充分；（4）充分非必要；（5）必要非充分
【分析】
先确定每个小题的集合元素，再确定集合之间关系，逐一判断即可.
【详解】
解：（1）或，是的真子集，故是的充分非必要条件；
（2）是非零自然数与是正整数完全等价，，故是的充要条件；
（3），是的真子集，故是的必要非充分条件；
（4）或，是的真子集，故是的充分非必要条件；；
（5）对于使得关于的方程有唯一实根的实数，
时，，符合题意；
时，，符合题意；
是的真子集，故是的必要非充分条件.
【点睛】
考查四种条件的判断，需用子集与推出关系说明两个命题的关系；基础题.
变式7-1
试用推出关系来说明命题是的什么条件．
（1）：，，：且；
（2）：平行四边形，：四边形的一组对边平行．
【答案】（1）充要条件
（2）充分非必要条件
【分析】
（1）根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
（2）一组对边平行的四边形，可能是梯形或者平行四边形。
【详解】
解：（1）因为 ，则是的充要条件。
（2）一组对边平行的四边形，可能是梯形或者平行四边形，所以 ，则是的充分非必要条件。
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础．
变式7-2
判断下列命题中p是q的什么条件.（充分不必要条件必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）
（1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
（2），；
（3）有两个角相等，是正三角形；
（4）若，，；
（5），.
【答案】（1）p是q的充分不必要条件（2）P是q的充分不必要条件（3）p是q的必要不充分条件（4）p是q的充要条件（5）p是q的既不充分也不必要条件
【分析】
判断两个命题和是否正确，然后得结论．
【详解】
解析（1）因为“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”，所以，
但“数a能被3整除”推不出“数a能被6整除”，如，所以，所以p是q的充分不必要条件.
（2）因为能推出，即；但当时，如，推不出，即，所以P是q的充分不必要条件.
（3）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，因此，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以p是q的必要不充分条件.
（4）若，则，即；若，则，即，故，所以p是q的充要条件.
（5）当，时，推不出，知，又当，时，推不出，知，所以p是q的既不充分也不必要条件.
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，解题时必须判断两个命题和是否正确．
例8：求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是
【答案】详见解析.
【分析】由可得，将方程因式分解后求出方程的根，可知充分性成立，将代入方程可得知必要性成立，由此得出证明.
【详解】充分性：，，
代入方程得，即．
关于的方程有一个根为；
必要性：方程有一个根为，满足方程，
，即．
故关于的方程有一个根是的充要条件为．
集合中的包含关系在判断条件关系中的应用
设命题对应集合，命题对应集合
若，即，是的充分条件（充分性成立）
若，即，是的必要条件（必要性成立）
若，即，，是的充分不必要条件
若，即，，是的必要不充分条件
若，即，，是的充要条件
例9设是的充分非必要条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的什么条件？
【答案】必要非充分条件
【分析】
本题条件是，结论是，关键是要根据题意找到与的推出关系.
【详解】
因为是的必要非充分条件，所以，.又因为是的充要条件即，∴，.所以是的必要非充分条件.
又因为是的充分非必要条件即，，∴.假设，则，与矛盾，∴.所以是的必要非充分条件.
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的应用，关键是分清条件与结论的推出关系，属于基础题.
例10已知，，.若是的充分非必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】
【分析】
由题得解不等式即得解.
【详解】
设集合，.
由题意知 ，∴，经检验等号满足题意.
【点睛】
本题主要考查集合的关系，考查充分不必要条件的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
变式10-1
已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】
将问题转化为两个集合之间的包含关系，然后再利用集合的包含关系列出不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】
设集合，.
由题意知 ，∴.
【点睛】
本题考查了由充分条件、必要条件求参数的取值范围，考查了转化的思想，属于基础题.
例11已知，，若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.
【答案】或.
【分析】
设，，根据是的必要非充分条件，得到.，然后分和两种情况讨论求解.
【详解】
设，，如图所示.
∵是的必要非充分条件，
∴.分两种情况讨论：
①当时，，
解得；
②当时，画数轴，得.,
，
当时，，成立，
当时，，成立.
综上：或.
【点睛】
本题主要考查逻辑条件的应用以及集合的基本关系，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于基础题.
变式11-1
已知，，且是的必要非充分条件.求实数的取值范围.
【答案】
【分析】
根据不等式之间的关系，利用必要非充分条件的定义即可得到结论．
【详解】
解：如图所示，设集合，.
由题意可知， .分两种情况讨论：（1）时，，；
（2）时，无解.
综上，
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系即可得到结论．
变式11-2．设，，，.若是的必要非充分条件，求实数，满足的条件.
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】
设集合，集合.依题意可得 ，再对集合分类讨论可得；
【详解】
解：设集合，集合.
∵是的必要非充分条件，∴ .
（1）当时，即；
（2）当时，即解得，；
（3）时，即解得，
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系解决充分条件、必要条件，属于基础题.
变式11-3．设.
（1）若是的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围；
（3）若是方程的根，判断是的什么条件.
【答案】（1）；（2）；（3）充要条件
【分析】
设.（1）由题得，得到的取值范围；（2）由题得，得到的取值范围；（3）因为方程的根为3，则有,判断得解.
【详解】
设.
（1）若是的必要不充分条件，则有，所以.
（2）若是的充分不必要条件，则有，所以.
（3）因为方程的根为3，则有，
所以是的充要条件.
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断，考查根据充分必要条件求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式11-4．已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是什么？
【答案】
【分析】
由解得，由，可得，讨论和0的关系解不等式，若p是q的充分不必要条件，则集合是式解集的真子集，故可得关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围．
【详解】
由解得，
由，可得，
当时，式的解集为；
当时，式的解集为；
当时，式的解集为；
若p是q的充分不必要条件，则集合是式解集的真子集．
可得或，解得，或．
经验证，当或时，式的解集均为，符合题意．
故m的取值范围是．
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用.
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1.4充分条件与必要条件
命题
命题的定义
在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。
真命题，假命题
判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题
命题的一般形式
通常用“若，则”的形式来表达，其中称为命题的条件，称为命题的结论。
考点1：判断语句是否为命题
例1：下列语句中不是命题的是（ ）
B．二次函数的图象不一定关于y轴对称
C．
D．对任意，总有
.
考点2：判断命题的真假
例2：下列命题是真命题的是（ ）．
A．空集是任何集合的真子集
B．等腰三角形是锐角三角形
C．函数是二次函数
D．若，则
变式2-1：
如果命题“若m<3,则q”为真命题,那么该命题的结论q可以是(　　)
m<2
B．m<4
C．m>2
D．m>4
变式2-2：
下列命题是假命题的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
考点3：命题的一般形式
例3．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若，则”的形式.
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
（2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
（3）当是有理数时，都是有理数；
（4）；
（5）这盆花长得太好了！
变式3-1．判断下列命题的真假并说明理由．
（1）某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除；
（2）若，且，则，且；
（3）合数一定是偶数；
（4）若，则；
（5）两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等；
（6）若实系数一元二次方程满足，那么这个方程有两个不相等的实根；
（7）若集合，，满足，则；
（8）已知集合，，，如果，那么．
充分条件与必要条件
充分条件与必要条件的定义
一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。
由可推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件。
如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。
考点4：判断充分条件与必要条件
例4：已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假：
(1)“”是“”的充分条件；
(2)“”是“”的必要条件；
(3)“”是“”的充分条件；
(4)“”是“”的必要条件.
例5：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；
（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
变式5-1
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；
（2）若x是无理数，则也是无理数.
变式5-2
判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：
（1）；
（2）p：x是矩形，q：x是正方形.
例6：已知命题：，
①
②
则命题的充分条件是___________，
命题的必要条件是______________
变式6-1．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
（1）p：x2>0，q：x>0；
（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
（3）p：a能被6整除，q：a能被3整除；
（4）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．
充分性和必要性的关系
在“若，则”中，
若：，则是的充分条件，是的必要条件
若：，则是的充分条件，是的必要条件
也就是说：在“若，则”中，
条件结论，充分性成立；
结论条件，必要性成立
充要条件
充要条件的定义
若有，又有，就记作，则是的充分必要条件，简称充要条件。
充分条件、必要条件的四种类型
若，，则是的充要条件
若，，则是的充分不必要条件
若，，则是的必要不充分条件
若，，则是的既不充分也不必要条件
例7：试用推出关系说明是的什么条件.
（1），；
（2）是非零自然数，是正整数；
（3），；
（4），；
（5）使得关于的方程有唯一实根的实数，.
变式7-1
试用推出关系来说明命题是的什么条件．
（1）：，，：且；
（2）：平行四边形，：四边形的一组对边平行．
变式7-2
判断下列命题中p是q的什么条件.（充分不必要条件必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）
（1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
（2），；
（3）有两个角相等，是正三角形；
（4）若，，；
（5），.
例8：求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是
集合中的包含关系在判断条件关系中的应用
设命题对应集合，命题对应集合
若，即，是的充分条件（充分性成立）
若，即，是的必要条件（必要性成立）
若，即，，是的充分不必要条件
若，即，，是的必要不充分条件
若，即，，是的充要条件
例9设是的充分非必要条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的什么条件？
例10已知，，.若是的充分非必要条件，求正实数的取值范围.
变式10-1
已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围.
例11已知，，若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.
变式11-1
已知，，且是的必要非充分条件.求实数的取值范围.
变式11-2．设，，，.若是的必要非充分条件，求实数，满足的条件.
变式11-3．设.
（1）若是的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围；
（3）若是方程的根，判断是的什么条件.
变式11-4．已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是什么？
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