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8.1随机事件（教学设计）2024学年中职《数学》（高教版2021 十四五）（基础模块 下册）
同步教学
【教学目标】
1.了解事件的频率与概率的区别与联系.
2.提高归纳、猜想能力，提升数学运算、逻辑推理及数据分析的核心素养.
【教学重点】
事件的频率与概率的区别与联系.
【教学难点】
事件的频率与概率的区别与联系.
【教学方法】
本节课主要采用启发式教学的方法.通过实例引导学生用随机事件发生的
频率估计其概率，理解频率与概率的区别与联系.
【教学过程】
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 问题1在适宜的条件下种下一粒 某种类型的种子，种子“发芽”或 “不发芽”这两种结果出现的机会是 均等的吗 问题2 某篮球运动员投篮时， “命中”或“不命中”这两种结果出 现的机会是均等的吗 如何来求这类随机事件的概率呢 为了确定某类种子发芽的概率，可 以从一大批这类种子(设为n粒) 中随机抽取大量种子(设为m粒) 学生讨论，回答问题1和 问题2 . 师生共同分析，引出课题. 从生活实 例引入新知， 易 于 理 解 ， 激发学生学 习兴趣.
试种，然后用种子发芽的频率 种子发芽概率的估计值. 作为
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 1.抛掷硬币的试验 试验 每组抛掷一枚质地均匀的硬 币10次，记录正面向上与反面向上 次数，检验正面向上与反面向上的机 会均等吗 历史上一些抛掷硬币试验的结果 如下： 试验者抛掷 次数 (n)正面向 上次数 (频数m)772 频率 72棣莫佛204810610.5181布丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005
结论：在大量重复试验过程中， 一 个事件发生的频率会很接近于这个事 件发生的概率，而且，试验的次数越 多，频率与概率之间差距很小的可能 性越大. 2.用频率估计概率 一般地，如果在n次重复进行的 (
,
)试验中，事件A发生的频率为 则当n很大时，可以认为事件A发 生的概率P(A)的估计值为 不 . 难看出，此时也有 0≤P(A)≤1. 教师设置试验.学生小组 合作探究. 教师出示历史上著名学者 抛掷硬币试验的结果.学生 观察、思考. 师生共同总结结论. 教师结合前面的例子，分 析如何用事件的频率估计概 率，学生进行理解. 师生共同总结：用频率估 计出的概率的取值范围. 培养学生 的实践操作 能力和逻辑 思维能力. 引导学生 归纳在大量重 复试验条件 下，事件发生 的频率与概率 的关系，并渗 透学者求知过 程中坚持不懈 的精神. 引出用频 率估计概率 的理论基础。
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新 课 例1 为了确定某类种子的发芽 率，从一大批这类种子中随机抽取了 4000粒试种，后来观察到有3940 粒发了芽，试估计这类种子的发 芽率 . 解 因,所以可估 计这类种子的发芽率为0.985. 说明 ①用频率估计概率时，不同的试验 结果可能会产生不同的估计值.例 如，如果例1中若是观察到了3880 粒种子发了芽，那么得到种子发芽率 的估计值将为 ②即使我们估计出了发芽率为 0.985(或0.97),我们也不能指望下 次试种10000粒种子时，得到发芽的 种子正好为9850(或9700)粒. 例2 据统计，某一地区在2020 年9月空气质量优良的天数是22天. 不通过查询，估计2020年9月2日 该地区空气质量优良的概率(精确到 0.001). 解 因为 所以2020年9月2日该地区空气质 教师设置问题，学生合作 探究 . 学生思考、回答. 通过例1,指出用频率估 计概率时应注意的问题. 师生共同分析问题，学生 独立解决. 加深学生 对事件发生 的频率与概 率之间关系 的理解 . 培养学生 独立解决问 题的能力.
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新 课 量优良的概率可估计为0.733. 练习 本节练习A组第1题. 检验学生 学习效果.
小 结 1.用随机事件发生的频率估计其 概率 . 2.频率与概率的区别与联系. 师生共同归纳总结. 梳理、巩 固所学知识.
作 业 本节练习A组第2～3题. 学生标记作业. 巩固新知.8.1随机事件（教学设计）2024学年中职《数学》（高教版2021 十四五）（基础模块 下册）
同步教学
【教学目标】
1.了解事件互斥和互为对立的概念，初步掌握互斥事件的概率的加法公 式，会利用事件的对立事件求该事件的概率.
2.提升数据分析、数学运算、逻辑推理的核心素养.
【教学重点】
互斥事件的概率的加法公式.
【教学难点】
互斥事件概念的理解.
【教学方法】
本节课主要采用启发式教学的方法.通过实例引导学生了解事件互斥和互 为对立的概念，并会用互斥事件的概率的加法公式进行运算，会利用事件的对
立事件求该事件的概率.
【教学过程】
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 问题抛掷一颗骰子，设事件A: 出现2点，B:出现奇数点，C:出 现奇数点或出现2点.事件A与B 可以同时发生吗 事件C与A,B 有什么关系 结论事件A与B不可能同时发生. 事件C与A,B的关系：若事件 A和事件B中至少有一个发生，则 C发生；若C发生，则A,B中至 少有一个发生. 教师给出问题，学生思 考、讨论，尝试回答. 师生共同分析，得出结 论，并引出课题 通过实例 引入新知， 易于理解， 激发学生学 习的兴趣.
新 课 1.互斥事件 (1)互斥 一般地，如果事件A与事件B不 能同时发生，也就是说A∩B是一 通过导入的问题，教师引 出两个定义.学生理解. 由特殊到 一般，便于 学生理解这 两个定义.
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新 课 个不 事件 相容 (2 一 A和 或B 个事 (或和 事 的样 例 示的 可能事件，即A∩B=,则称 A与事件B互斥(或称互不 ). )事件A与B的并 般地，当事件C发生，则事件 B至少有一个发生(即A发生 发生或A,B都发生)时，这 件C,称为事件A与B的并 ),记作C=AUB . 件AUB是由事件A或B所含 本点组成的集合. 如，如图1所示，阴影部分所表 就是AUB. 教师提出问题：从集合的 观点如何理解事件AUB 学生小组讨论，并用维恩 图表示 . 教师提出问题，学生思 考、讨论解答思路. 教师板书，规范解答过程 引导学生 用已有知识， 理解新知. 通过例题， 理解新知.
图 1 例1抛掷一颗骰子，设事件A: 出现2点，B:出现奇数点.求“出 现奇数点或出现2点”的概率. 解样本空间可表示为 Ω={1,2,3,4,5,6}, 且A={2},B={1,3,5}, AU B={1,2,3,5}. 样本空间Ω的基本事件总数n=6, A,B,AUB的基本事件数分别为 1,3,4, 所以
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新 课 , 师生共同分析例1,总结 出两个互斥事件的概率的加 法公式. 教师提出问题：把两个互 斥事件推广到两两互斥的n 个事件，则如何求出这n 个互斥事件的并的概率 学生思考、小组讨论. 师生共同总结出公式 (1).教师指出：公式(1) 或公式(1)称为互斥事件 的概率的加法公式. 教师提出问题，学生小组 讨论解答思路. 由特殊到 一般，总结 出互斥事件 的概率的加 法公式 通过例题， 巩固互斥事 件的概率的 加法公式.
所以“出现奇数点或出现2点”的概 率 (3)互斥事件的概率的加法公式 如果A,B是任意两个互斥事件， 则 P(AUB)=P(A)+P(B). (1) 一般地，如果事件A ,A2, … ,A, 两两互斥，那么事件“A UA U…U Am”发生的概率，等于这n个事件 分别发生的概率的和，即 P(A UA U…UAn) =P(A )+P(A )十…十P(A,). (1) 公式(1)或(1)称为互斥事件 的概率的加法公式. 例2某地区的年降水量，在100~ 150 mm范围内的概率是0.12,在 150～200 mm范围内的概率是0.25, 在200～250 mm范围内的概率是 0.16,在250～300 mm范围内的概 率是0.14.计算年降水量在100~ 200 mm范围内的概率与在150~ 300 mm范围内的概率.
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新 课 解 记这个地区的年降水量在 100～ 150 mm,150～ 200 mm, 200～250 mm,250～300 mm范围 内分别为事件A,B,C,D . 这四 个事件是彼此互斥的.根据公式 (1)可知：年降水量在100~ 200 mm范围内的概率是 P(AUB)=P(A)十P(B) =0.12+0.25=0.37; 年降水量在150～300 mm范围内 的概率是 P(BUCUD) =P(B)+P(C)+P(D) =0.25+0.16+0.14=0.55. 即年降水量在100～200 mm范围内 的概率为0.37,在150～300 mm范 围内的概率为0.55. 2.对立事件 例3某平台开设了“成语天天 学”专栏，每天从题库中随机抽取一 套题(满分为100分)供用户作答. 张立的成语测试成绩统计如下表所 示.求张立的成语测试成绩不低于70 分的概率. 分数90～10080～9070～800～70概率0.250.30.30.15
教师板书求解步骤，强调 可以先对相关事件进行定 义，这样在解答时方便表示 教师提出问题，学生思 考，并小组讨论解答思路. 进一步巩 固互斥事件 的概率的加 法公式.为 引出对立事 件做铺垫.
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新 课 解 记事件A:成语测试成绩不 低于90分，B:成语测试成绩不低 于80分但低于90分，C:成语测试 成绩不低于70分但低于80分. 因为“张立成语测试成绩不低于70 分”可表示为AUBUC,且P(A)= 0.25,P(B)=0.3,P(C)=0.3,由 A,B,C互斥可知 P(AUBUC) =P(A)十P(B)+P(C) =0.25+十0.3+0.3=0.85. 记D:成语测试成绩低于70分， D:成语测试成绩不低于70分，显 然D与D是互斥事件，且DUD= 0. 一般地，如果事件A和事件B在 任何一次试验中有且仅有一个发生， 即 A U B = 2 , 且 A ∩ B = 0 , 那 么 称事件A与B互为对立. 图2 将事件A的对立事件记作A,如 图2中的阴影部分即表示事件A的 对立事件.由于A与A互为对立， 类比例2,学生尝试解 答，完成解答过程。 教师对例3进一步分析， 提出问题：D与D的交集、 并集分别是什么 学生思考、回答，教师引 出事件互为对立的概念. 教师引导学生从集合的观 点来理解对立事件. 师生总结得出两个对立事 件所构成的集合互为补集 由互斥事件的概率的加法 由特殊到 一般，引出 事件互为对 立的概念. 引导学生 用已有的集 合知识来理 解新知.
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新 课 我们有P(D)=P(AUA)=P(A)十 P(A)=1,即
P(A)=1—P(A). (2) 注 当直接求P(A)有困难时， 可以考虑先求P(A),再求P(A). 探究例3可以用公式(2)来求 解吗 解记D:成语测试成绩低于70 分，D:成语测试成绩不低于70分， 因为D与D互为对立，且P(D)= 0 . 15,则P(D)=1 - P(D)=1 — 0.15=0.85. 练习本节练习A组第1～2题. 公式，师生共同推导公式(2) 教师提出求事件概率的另 一种思路，指出对立事件的 作用 . 教师提出问题. 学生思考、解答. 学生独立完成. 渗透逆向 思维的数学 思想。 巩固新知.
小结 1.互斥事件、对立事件. 2.互斥事件的概率的加法公式. 师生共同总结本节知识 梳理、巩 固所学知识.
作业 本节练习B组第1～2题. 学生标记作业. 巩固公式 的应用 .8.2古典概型 （教学设计）2024学年中职《数学》（高教版2021 十四五）（基础模块 下册）
同步教学
【教学目标】
1.理解系统抽样的概念，掌握系统抽样的一般步骤.
2.借助实例，提升数据分析的核心素养.
【教学重点】
系统抽样.
【教学难点】
利用系统抽样解决实际问题.
【教学方法】
本节课主要采用启发引导和讲练结合的方法，引导学生从实例中总结出系
统抽样的定义，得出系统抽样的步骤，根据实际，灵活应用系统抽样.
【教学过程】
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导 入 情境1:调查某省农村家庭年平均 收入情况. 情境2:检测某电视机厂生产的某 种型号的电视机的质量是否合格. 教师提出问题：当总体中 包含的个体数目比较多时， 采用简单随机抽样式方便 吗 可以采用什么样的抽样 方法呢 学生交流讨论。 由生活中 的两个情境 使学生产生 疑问，引出 课题 .
新 课 1.系统抽样的定义 定义：将总体分成均衡的若干部 分，然后按照预先制订的规则，从每 一部分抽取一个个体，得到所需要的 样本，这种抽样的方法称为系统抽样 (或等距抽样). (1)当总体中包含的个体数目较大 时，考虑是否适合采用系统抽样。 (2)将总体分成均衡的若干部分是 指将总体分段，分段间隔要求相等. 教师给出系统抽样的定 义，并对定义加以说明，学 生领会. 教师对系统抽样的定义进 行简单解释. 完成由定 义到方法的 过渡，降低 理解难度.
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新 课 (3)预先制订的规则指的是：在第 1段内采用简单随机抽样确定一个起 始编号，在此编号的基础上加上分段 间隔的整倍数即为其他要抽取的个体 的编号. 2.系统抽样的方法 例 为了解某地区近年高一学生期 末考试中的数学成绩，拟从参加考试 的15000名学生的数学成绩中抽取 容量为150的样本. 抽取方法： (1)对全体学生进行编号，号码为 1～15000. (2) (即可以 将总体平均分为150个部分，其中每 一部分包含100个个体). (3)从1号到100号进行简单随机 抽样，抽取一个号码，比如是56. (4)按照确定的规则，接下来顺次 取出号码为156,256, … ,14956 的学生. 如果总体容量不能被样本容量整 除，可随机地从总体中剔除余数，然 后按系统抽样方法进行抽样. 学生阅读例题. 让学生独立完成抽取样本 的过程. 教师强调：在第一个号码 段抽取时，采用的是简单随 机抽样的方法. 教师提问：若总体个数为 15002,抽取的样本容量为 150,那么如何利用系统抽 样法完成抽样呢 学生交流、讨论，教师进 行总结. 通过实例 介绍系统抽 样的步骤。 指出系统 抽样与简单 随机抽样的 联系 .
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新 课 3.系统抽样的一般步骤 从元素个数为N的总体中抽取容 量为n的样本： (1)采用随机的方式将总体中的个 体编号(为简便起见，有时可直接采 用个体所带有的号码，如考生的准考 证号、街道上各户的门牌号，等等); (2)将整个的编号分段(即分成若 干部分),确定分段的间隔 ; (3)在第一段用简单随机抽样确定 起始的个体编号s; (4)按照事先确定的规则抽取样本 (通常是s,s+k,s+2k,s+3k, … , s+(n—1)k获取整个样本). 注意： 当 是整数时， 当 不是整数时，可随机地从总体中剔 除余数，使剩下的总体中个体的数量 N'能被n整除，这时 , 然后 再用系统抽样方法进行抽样. 练习 1.请从参加考试的15000 名学生的数学成绩中，抽取容量为 100的样本. 2.某批产品共有1563件，产品按 出厂顺序编号，号码为1～1563.检 测员要从中抽取15件产品进行检测， 教师引导学生通过例题总 结步骤，并将步骤中的关键 词提炼为： (1)编号； (2)分段； (3)起点； (4)抽取. 教师点拨练习中的第2 题，提示学生： 不是整数 时，取分段间隔为k=n的 整数部分，并随机从总体中 剔除N—kn个个体，然后 提炼步骤， 加强记忆. 巩固系统 抽样的步骤.
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 请你给出一个系统抽样方案. 对余下的个体重新编号，用 系统抽样方法进行抽样.
小 结 1.系统抽样的适用范围. 2.系统抽样的一般步骤. 3.在确定抽样间隔时的注意事项. 教师提问，学生回答并进 行总结. 梳理本节 主要内容.
作 业 教材第108页练习A组第2题. 教材第108页练习B组第1题. 学生标记作业. 巩固知识， 灵活应用.8.2古典概型（教学设计）2024学年中职《数学》（高教版2021 十四五）（基础模块 下册）
同步教学
【教学目标】
1.理解分层抽样的概念，掌握分层抽样的一般步骤.
2. 区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，能根据具体问题选择适当
的方法进行抽样.
3.借助实例，提升数据分析的核心素养.
【教学重点】
分层抽样的定义和步骤.
【教学难点】
利用分层抽样的方法解决实际问题.
【教学方法】
本节课主要采取启发引导和讲练结合的方法.教学中带领学生从分层抽样
的定义分析得出分层抽样的步骤，然后结合例题、习题巩固分层抽样的步骤.
【教学过程】
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 情境某集团有甲、乙、丙三个公 司，共有1000名员工，其中甲公司 有500名，乙公司有300名，丙公司 有200名.为了解集团员工对企业改 革的态度，准备从甲、乙、丙三个公 司抽取50名员工进行访谈. (1)如果直接采用简单随机抽样， 可能有什么问题 (2)采用怎样的抽样方法较好 教师引导学生讨论情境中 的问题. 注重知识 间的联系，有 助于构建新 的知识体系.
续表
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 1.分层抽样的定义 一般地，如果相对于要考察的问题 来说，总体可以分成有明显差别的、 互不重叠的几部分时，每部分可称为 层，在各层中按层在总体中所占比例 进行随机抽样的方法称为分层随机抽 样(简称分层抽样). (1)分层需遵循不重复、不遗漏的 原 则 ； (2)在各层中按层在总体中所占比 例抽取 ； (3)各层抽样可按简单随机抽样或 系统抽样进行. 对于情境中问题，抽样步骤如下： (1)设样本中甲、乙、丙三个公司 的员工人数分别为a,b,c,则应有 根据情境，教师给出分层 抽样的定义，学生理解。 教师对定义进行说明，并 强调分层抽样适用的范围. 教师引导学生根据分层抽 样的定义，给出情境中问题 的抽样步骤 根据情境案例，师生归纳 分层抽样的一般步骤. 教师先对 定义进行说 明，然后由 定义分析分 层抽样的步 骤，这样处 理能够促进 学生对定义 的理解. 结合实例 总结分层抽 样 的 步 骤 ， 易 于 学 生 理解 .
(
50=1500
) , ,
解得a=25,b=15, c=10 . (2)利用简单随机抽样或系统抽样 的方法，从甲、乙、丙三个公司分别 抽取25人、15人、10人，然后合在 一起，就是所抽取的样本. 2.分层抽样的一般步骤 (1)分层：根据所考察的问题，将 总体分成若干层. (2)在各层中按层在总体中所占比 例确定每层抽取的个体的数目.
续表
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 (3)根据各层特点灵活选用不同的 随机抽样方法. (4)综合每层抽样结果，得到所需 样本 . 练习 某公司有员工500人，其中 不到35岁的有125人，35到49岁 的有280人，50岁以上的有95人. 为了调查员工的身体状况，从中抽取 一个容量为100的样本，用分层抽样 应当怎样抽取 学生独立完成练习，教师 适当指导. 巩固对分 层抽样方法 的掌握 .
小 结 填表： 类别 共同点适用 范围一般 步骤简单随机 抽样系统抽样分层抽样
教师引导学生完成表格. 整合知识， 帮助学生建 立新的知识 体系 .
作 业 教材第110页练习A组第1题、 第3题. 教材第111页练习B组题目. 学生标记作业. 巩固所学 知识 .8.2古典概型（教学设计）2024学年中职《数学》（高教版2021 十四五）（基础模块 下册）
同步教学
【教学目标】
1.理解平均数、方差和标准差的含义，掌握平均数、方差和标准差的计
算方法.
2.初步体会用样本估计总体的思想.
【教学重点】
平均数、方差和标准差的计算.
【教学难点】
理解样本平均数及样本标准差的含义.
【教学方法】
本节课主要采用讲练结合的方法.通过实例，引导学生理解样本平均数及
样本标准差的含义，初步体会用样本的数字特征估计总体的有关信息的思想.
【教学过程】
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导入 从总体中抽取的样本有哪些数字特征 能够反 映什么有效信息 教师设疑. 导入新课.
新 课 1.平均数 情境1以下是某学校高一年级98位学生的身 高(单位：cm): 161168166168152152163164170167143166 153165168167163157160159153169172175 165161158172147164171149158155169150 173170162157152180178158162164172165 165155163178159168161151166168165158 162165163166174163163175165160161177 教师给出情境 1,并提出问题： 根据数据，怎样 描述学生的身高 情况 学生回答：可 以用图表直观表 示这组数据. 通过情境 1引出用样 本平均数与 总体平均数.
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 163170155156161169167151156158165179 161176162168153169155165163166172160 173164 问题1这98名学生的平均身高为多少 解这98名学生的平均身高为 cm). 问题2上述数据中，如果用简单随机抽样抽 得的样本为169,169,163,175,163,170, 164,151,155,165.试求这组样本的平均数. 解 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分 别是X , X2, … ,XN,则称 为总体均值，又称总体平均数. 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们 的变量值分别是x ,x2,…,x,则称 为样本均值，又称样本平均数. 结论一般情况下，如果样本容量恰当，抽样 方法又合理的话，样本平均数与总体平均数相差 教师补充：还 可以求出这组数 据的一些数字 特征 . 教师引导学生 用平均数描述学 生的身高情况. 教师提出问 题 1 和 问 题 2 , 学生用计算器 求解 . 教师让学生对 比问题1和问题 2的求解结果. 教师给出定 义，学生结合问 题1和问题2加 以理解。 教师指出：问 题1中的总体平 均数与问题2中 的样本平均数相 差不大. 渗透用样 本平均数估 计总体平均 数的思想. 明确样本 平均数的作
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新 课 不大，在容许一定误差存在的前提下，可以用样 本平均数去估计总体平均数. 注有些情况只能用样本平均数估计总体平均 数.样本平均数具有随机性，样本平均数只是总 体平均数的近似值. 例1为了解某商店2020年的日平均销售额 (单位：元),随机选取了2020年中的50天的日 销售额数据： 332637503181 251931183701 294139893402256027283659 323330642790305231413310 275037203479374131693174 374235102577290529033875 2593 29583690 307129742710 357629972677303235343375 294237813605276931182537 34452872 试计算这50天的日平均销售额，并估计该商 店在2020年的日平均销售额. 解这50天的日平均销售额为 (元), 由此可以估计该商店在2020年的日平均销售额为 3185.3元. 情境2有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 1 0 7 4 教师举例说明 样本平均数的随 机性，学生理解。 教师进行结论 分析，学生领会 教师引导学生 利用公式计算. 教师给出问题 情境，学生分别 计算，甲、乙命 用：可以用 来估计总体 平均数. 巩固新知， 提升学生数 学运算的核 心素养. 渗透用样 本估计总体 的思想。 通过情境 2,让学生 看出仅有平
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新 课 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情 况作出评价 如果这是一次选拔性考核，你应当 如何作出选择 可以计算得7甲=7,wz=7. 2.方差与标准差 如果总体中所有个体的变量值分别是X , X , … ,Xn,总体平均数为X,则称 为总体方差，S= √ S 为总体标准差. 如果一个样本中所有个体的变量值分别为x1, C2, … ,xn,样本平均数为x,则称 为样本方差，s= √ s 为样本标准差. 方差和标准差描述了一组数据围绕平均数波动 的大小，即数据的离散程度. 计算情境2中两名运动员成绩的标准差： 中的环数的平 均数 . 学生提问：这 时仅通过平均数 无法比较甲、乙 的射击情况，在 数学上，还可以 通过什么指标来 评价呢 教师顺势引出 新知 . 教师给出新的 评价指标，介绍 相关概念. 学生计算，并 根据这10次射击 成绩对两名射击 运动员进行评价. 均数是无法 全面反映数 据 的 特 征 的，引出标 准 差 的 概 念，引导学 生认识学习 标准差的必 要性 . 设计有冲 突性的问题 情境，激发 学生的学习 兴趣 .
续表
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 由此判断出甲运动员成绩的离散程度较大，从 成绩的稳定性考虑，可以选乙运动员参加比赛. 注有些情况只能用样本标准差估计总体标准 差.样本标准差具有随机性，样本标准差只是总 体标准差的近似值. 练习1计算数据5,7,7,8,10,11的标准 差 . S1算出数据的平均数。 S2算出每个数据与平均数的差. S3算出S2中每个数据的平方. S4算出S3中各平方数的平均数，即得到这组 数据的方差. S5计算S4中所得方差的算术平方根，即得到 这组数据的标准差. 例2为了快速了解某班学生体重(单位：kg) 的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的 数据整理成茎叶图(图1).估计这个班学生体重 的平均数和标准差. 图1 解 通过图1可知，样本中的这组数据为 45,46,46,47,49,49,51,58,59,60 . 这 组数据的平均数为 教师举例说明 样本标准差的随 机性，学生理解. 学生计算，教 师引领学生根据 公式分析求标准 差的步骤. 教师引导学生 从茎叶图中提炼 数据信息，学生 根据所提炼的数 据信息计算. 总结求标 准差的一般 步骤 . 综合应用 数据的直观 表示与样本 平均数和样 本标准差的 知识 .
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 标准差是 ≈5.51. 由此可以估计这个班学生体重的平均数为51, 标准差约为5.51. 练习2用GeoGebra软件求8.2.2节从一批产 品中抽取的100个钢管内径尺寸的样本标准差， 并估计这批产品的标准差. 3.平均数和标准差一起反映数据的取值信息 从标准差的定义可知，如果样本各数据值都相 等，则标准差得0,表明数据没有波动幅度，数 据没有离散性；若各项的值与平均数的差较大， 则标准差较大，表明数据的波动幅度较大，数据 的离散程度较高.因此标准差描述了数据对平均 数的离散程度，下面是一个具体例子. 样本特征 (
样本数据B
11355
)样本数据A 33333平均数33标准差01.79 频率分布 直方图 .8 0.6 0.4 0.2 2 样本数据相对平均 数没有离散性 (
2
) (
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
) (
样本数据相对平均
数的离散程度很高
)
学生练习，教 师适当指导 教师举例说明 标准差的意义. 提高学生 应用信息技 术解决问题 的能力. 通过实例 分析，直观 易懂，加深 学生对标准 差的理解.
(
.
)
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 再来看产品内径尺寸的例子(图2),可以发现： 大约有70%的产品内径尺寸落在(x — s, x十 s ) 内 ； 大约有95%的产品内径尺寸落在(x—2s,x十 2s)内. 教师介绍分布 规律，说明平均 数和标准差一起 能反映数据的取 值信息. 为将来学 习正态分布 的有关知识 做铺垫.
频率 组距 10 8.33 6.00 5.33 (
4.33
)4.00 (
产品内径
尺
寸
/
mm
)1.67 2 133 0.33 0.67 0.67 0.67 25.23525.26525.29525.32525.35525.38525.41525.44525.47525.50525.53525.565
图2
小 结 1.样本平均数与标准差的计算. 2.用样本估计总体的思想. 师生共同总结 厘清所学 知识 .
作 业 本节练习A组第2题. 本节练习B组第1题. 学生标记作业 巩固知识8.2古典概型（教学设计）2024学年中职《数学》（高教版2021 十四五）（基础模块 下册）
同步教学
【教学目标】
1.了解柱形图、折线图、扇形图、茎叶图等统计图的特征.
2.根据具体问题灵活应用四种统计图，直观表示数据，提升数据分析的
核心素养.
【教学重点】
四种统计图的特征及应用.
【教学难点】
四种统计图的灵活应用.
【教学方法】
本节课主要采用情境教学法.通过具体的案例，引导学生了解柱形图、折
线图、扇形图、茎叶图的特征，从而在实际问题中灵活应用.
【教学过程】
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 情境12015年7月6日的《中国青年报》报 道：“根据调查，有担当(76.3%)和踏实(74.5%) 的年轻人最被受访者欣赏.奋进(54.7%)、坚毅 (54.1%)、有梦想(50.2%)、有闯劲儿(40.1%)、 沉稳(36.7%)、直率(34.6%)、幽默(33.4%)、 活泼(27.2%)、庄重(20.3%)、洒脱(20.0%)也 是受访者欣赏的品质. ” 你能将这一调查结果用图表进行形象化表示吗 教师引导学生 分析如何更直观 地表现这组数据 的特征。 激发好奇 心，调动学 生的学习积 极性 .
新 课 1.柱形图 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 图1 教师引导学生 绘 制 柱 形 图 (图1).
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新 课 一般地，柱形图中， 一条轴上显示的是所关注 的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或 者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的. 柱形图的特征：可以形象地比较各种数据之间 的数量关系. 情境2国家统计局网站显示，2011—2015年 高中在校学生数信息如下. 年份20112012201320142015高中在校 学生数/万 2454.82 2467.17 2.435.8817 2400.4723 2374.3992
你能形象地表示上述数据，以便发现这几年高 中在校学生数的变化趋势吗 2.折线图 可以用折线图表示情境2中的数据，如图2所示. 2480万 2.460万 2.440万 2420万 2400万 2380万 2360万 2011年2012年2013年 2014年 2015年 图2 折线图的特征：折线图常用来表示数据的变化 情况 . 情境32016年12月17日至21日期间，北京 市空气质量呈现重度及以上污染水平，经北京市 政府批准，12月16日20时至21日24时，北京 市启动了空气重污染红色预警，期间实行了机动 车“单双号”限行等措施。《中国青年报》社会调 查中心联合问卷网，对2002人进行了调查，得 学生通过数学 软件绘制柱形 图，交流、总结 柱形图的特征。 教师引导学生 分析情境2中的 数据，并利用数 学软件示范折线 图的绘制. 学生观察折线 图，交流、讨 论，总结折线图 的特征. 充分发挥 学生的学习 积极性. 进一步体 会用数据表 示图形的直 观性 .
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新 课 到了以下数据：647人非常支持，891人支持， 348人态度一般，116人不支持. 如果你是《中国青年报》的记者，你会怎样整 理和报道这些数据 可以将原有的结果转化为表格，并计算每一类 型数据的百分比，如下表所示. 态度非常支持支持一般不支持人数647891348116所占比例32.3%44.5%17.4%5.8%
思考：怎样更加形象地表示这一结果 3.扇形图 不支持 5.8% 学生交流讨 论，将数据用表 格呈现. 学生思考，教 师引出扇形图. 教师引导学生 绘制扇形图(图 3),并分析扇形 图的特征。 教师指出：扇 形图中每一个扇 形的圆心角以及 弧长，都与这一 部分表示的数据 大小成正比. 教师根据情境 4,讲解茎叶图 的结构，并作出 图4 . 充分发挥 学生的学习 主动性，在 交流中发现 问题，并解 决问题. 引导学生 体会扇形图 的结构特点. 通过具体 的案例分析 引入新知， 降低学生的 理解难度.
一般 17.4% 非常 支持 32.3%
支持 44.5% 图3 扇形图的特征：可以形象地表示出各部分数据 在全部数据中所占的比例情况. 情境4某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比 赛的得分情况如下： 甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37, 39,44,49,50; 乙：8,13,13,14,16,23,26,29,33, 35,38,39,51.
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新 课 4.茎叶图 甲 乙 0 8 52 1 3346 54 2 369 (
97661
)1 3 3589 94 4 0 5 1 图4 茎叶图的特征：可以方便地看出一组数的最值、 中位数等数字特征，还可以看出一组数的分布 情况 . 教师提问：由 图4能得出甲、 乙两名运动员得 分的哪些信息 通过案例讲 解，引导学生总 结茎叶图的特征. 提高学生 的读图能力. 明确茎叶 图的特征， 以 便 灵 活 应用 .
小 结 四种常见的统计图： (1)柱形图； (2)折线图； (3)扇形图； (4)茎叶图. 共同回忆四种 统计图的绘制方 法和特征. 厘清知识 要点，把握 相应统计图 的特征，以 便灵活运用.
作业 本节练习A组第1～2题. 学生标记作业 巩固知识.8.2古典概型（教学设计）2024学年中职《数学》（高教版2021 十四五）（基础模块 下册）
同步教学
【教学目标】
1.了解频率分布表和频率分布直方图.
2.通过绘制频率分布直方图，提高解决实际问题的能力，提升数据分析
的核心素养.
【教学重点】
绘制频率分布直方图.
【教学难点】
列出频率分布表，绘制频率分布直方图.
【教学方法】
本节课主要采用案例教学法.通过具体的案例，讲解极差、频率等概念，
列出频率分布表，绘制频率分布直方图.
【教学过程】
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 某机械加工厂生产内径为25 . 40 mm的钢管， 为了检验产品的质量，从一批产品中任取100件 检测，测得它们的实际尺寸如下： 25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.35 25.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.45 25.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.38 25.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.37 25.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.43 25.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.40 25.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.36 25.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.35 25.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.33 25.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39 教 师 提 出 问 题：通过这些数 据，如何分析这 批钢管内径尺寸 的情况 学生思考. 通过问题 引导学生思 考，从而导 入新课.
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 我们列出上述这组样本数据的频率分布表，绘 制频率分布直方图.步骤如下： (1)计算极差. 极差是一组数据的最大值和最小值的差. 上述样本数据的最大值25 . 56,最小值是 25.24,它们的差为 25.56—25.24=0.32, 所以极差等于0.32. (2)决定组距与组数. 样本数据有100个，可以把样本分为8～12组. 我们将数据分成11组，由上面算得极差为0.32, 取组距为0.03,因为 (3)决定分点与分组. 将第一组的起点定为25.235,组距为0.03,这 样所分的11个组是 第1组：25.235～25.265 第2组：25.265～25.295 第3组：25.295～25.325 第4组：25.325～25.355 第5组：25.355～25.385 第6组：25.385～25.415 第7组：25.415～25.445 第8组：25.445～25.475 第9组：25.475～25.505 第10组：25.505～25.535 第11组：25.535～25.565 教师引导学生 通过例子来学习 如何画频率分布 直方图. 教师利用电子 表格演示如何运 用函数得到一组 数据的最值，学 生尝试操作. 教师说出分组 依据，学生计算 组距 . 教师解释确定 分点的依据，学 生完成分组。 展示信息 技术在数据 分析过程中 的作用.
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新 课 (4)列频率分布表. 对落在各小组内数据的个数进行累计，这个累 计数称为各小组的频数，各小组的频数除以样本 容量，得到各小组的频率.频率分布表如下： 教师引导，学 生合作完成频率 分布表. 教师讲解作图 原理，学生作图. 教师引导学生 探究小长方形的 面积与频率之间 的关系 . 正确列出 频率分布表 是绘制频率 分布直方图 的基础 . 在绘制频 率分布直方 图 的 过 程 中，培养学 生严谨细致 的精神 . 数形结合， 提高学生的 识图能力.
分组 个数累计 频数 频率 频率 组距
25.235～25.265 1 0.01 0.33
25.265～25.295 T 2 0.02 0.67
25.295～25.325 正 5 0.05 1.67
25.325～25.355 正正T 12 0.12 4.00
25.355～25.385 正正正下 18 0.18 6.00
25.385～25.415 正正正正正 25 0.25 8.33
25.415～25.445 正正正 16 0.16 5.33
25.445～25.475 正正下 13 0.13 4.33
25.475～25.505 正 4 0.04 1.33
25.505～25.535 T 2 0.02 0.67
25.535～25.565 T 2 0.02 0.67
合计 100 100 1.00
(5)绘制频率分布直方图。 在平面直角坐标系中，用横轴表示产品内径尺 寸，纵轴表示频率与组距的比值，得到频率分布 直方图(图1). 麵噩 10 8.33 8 (
6.00
) 6 5.33- 4.00 4.33
2 1.67 133 产品内径 0.33 0.67 0.67 0.67 R寸/mm 25.23525.26525.29525.32525.35525.38525.41525.44525.47525.50525.53525.565 图1
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小 结 绘制频率分布直方图的步骤： (1)计算极差； (2)决定组距与组数； (3)决定分点与分组； (4)列频率分布表； (5)绘制频率分布直方图. 师生共同总结. 厘清知识 要点，以便 灵活运用.
作 业 本节练习B组第1题. 学生标记作业 巩固知识.8.2古典概型随机事件（教学设计）2024学年中职《数学》（高教版2021 十四五）（基础模块 下册）同步教学
【教学目标】
1.了解统计的基本思想，理解总体、个体、样本和样本容量等概念，掌
握简单随机抽样的两种方法.
2.通过实例，认识简单随机抽样的科学性及可靠性，提升数据分析的核
心素养.
【教学重点】
简单随机抽样的两种方法.
【教学难点】
随机数表法.
【教学方法】
本节课主要采用情境教学、讲练结合的方法，引导学生根据现实生活的经 历和体验及收集到的信息来理解理论知识，同时通过例题、练习和课后作业，
启发学生将书本知识应用至社会实践.
【教学过程】
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
导 入 下列调查中，更适合采用普查还是 抽样调查 为什么 (1)了解某班50名学生的体重状况； (2)了解某市中小学生的上网时间； (3)测试某种型号灯泡的寿命. 教师引导学生回答问题， 并总结普查和抽样调查的优 缺点 . 让学生体 验数学来源 于生活，提 高学习兴趣.
新 课 收集数据的途径： (1)通过查询获取数据； (2)自己动手直接收集数据. 1.总体与样本 情境1某校有高中学生900人，校 医务室想对全校高中学生的身高情况 做一次调查，为了不影响正常教学活 学生自主学习教材中相关 内容 . 教师给出情境1,介绍有 关概念。 学生说出情境1中的总 引导学生 了解数据收 集 的 主 要 途径 . 结合实例 理解总体、 个体、样本
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 动，准备抽取50名学生作为调查对象 你能帮助医务室设计一个抽取方案吗 总体：我们一般把所考察对象的某 一数值指标的全体作为总体.有时， 为了方便，也可以把调查对象的全体 称为总体. 个体：构成总体的每一个元素作为 个体 . 样本：从总体中抽出若干个体所组 成的集合称为样本. 样本容量：样本中包含的个体数目 称为样本容量. 2.随机抽样 情境2在上述情境1中，能否从 高一年级选出50名学生，将这50名 学生的身高作为样本来估计全校高中 学生的身高呢 思考：如何抽取样本才能正确估计 总体 注 由于学生的身高数值会随着年 龄的增长而变大，这样的抽样方案有 很大的局限性. 随机抽样：抽样时要保证每一个个 体都可能被抽到，且每一个个体被抽 到的机会是均等的，满足这样条件的 抽样是随机抽样. 体、个体、样本及样本容量 分别指什么. 学生交流、讨论. 教师引导学生体会要科学 抽取样本才能正确估计总体 的有关情况. 学生总结随机抽样应满足 的两个条件. 及样本容量 等概念，将 抽象的概念 具体化，便 于学生理解. 为引出随 机抽样的概 念做铺垫. 加强对概 念的理解。
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教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 3.简单随机抽样 情境3一个布袋中有6个同样质 地的小球，从中不放回地逐个抽取3 个小球作为样本.每次抽取时各个个 体被抽到的可能性是否相等 一 般地，设 一 个总体含有N(N 为正整数)个个体，从中逐个抽取n (1≤n≤N)个个体作为样本，如果 抽取是放回的，且每次抽取时总体内 的各个个体被抽到的概率都相等，我 们把这样的抽样方法称为放回简单随 机抽样；如果抽取是不放回的，且每 次抽取时总体内未进入样本的各个个 体被抽到的概率都相等，我们把这样 的抽样方法称为不放回简单随机抽 样.放回简单随机抽样和不放回简单 随机抽样统称简单随机抽样. 除非特别声明，简单随机抽样一般 指不放回简单随机抽样. 常用的简单随机抽样方法有抽签法 和随机数表法. (1)抽签法 例 交通安全设施是道路基础的安 全防护系统，对交通安全设施工程中 的过程产品进行质量检测是保障道路 安全的重要步骤。若检测人员要从 100个路障中用抽签法抽出10个进 行检验，应如何操作 师生共同分析每个小球被 抽到的可能性各为多少. 教师向学生介绍随机抽样 的概念，并强调如非特别说 明，简单随机抽样指不放回 简单随机抽样. 教师以实例为背景向学生 介绍抽签法的主要步骤. 引出简单 随机抽样的 概念 . 从实例出 发，便于学 生理解并掌 握抽签法.
续表
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 方法： ①将这100个路障编号，每一个路 障对应着1～100中的唯一一个数； ②把这100个号码分别写在100张 相同的纸片(或小球)上； ③将100张纸片(或小球)放在一 个容器中搅拌均匀； ④从容器中随机抽取10个号码， 并记录 ； ⑤找出这10个号码对应的路障。 抽签法的主要步骤 ①编号制签； ②搅拌均匀； ③逐个不放回抽取. 情境4随着互联网的飞速发展， 涌现了大量的外卖餐饮服务，外卖餐 饮的食品安全问题需要格外关注.某 食品检测机构计划从900个具有外卖 餐饮服务的商家随机抽取70个进行 食品安全检测。这时用抽签法方 便吗 抽签法的优点是简单易行.缺点是 当总体中包含的个体数目非常大时， 操作起来就不够方便，还可能导致抽 取的样本不具有代表性. (2)随机数表法 可利用随机数表法解决上述问题. 方法： 学生在教师的引导下完成 例题，并总结抽签法的主要 步骤 . 教师简要总结抽签法的主 要步骤. 教师引导学生由问题发现 抽签法的优点和缺点. 引出随机 数表法. 总结抽签 法的优缺点， 并引出随机 数表法.
续表
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图
新 课 ①对总体进行编号.对900个具有 外卖餐饮服务的商家进行编号，可以 编为001,002,…,900; ②在随机数表中任意指定一个开始 选取的位置.我们使用教材中随机数 表的各个5位数的前3位，任选一个 小于或等于900的数作为起始编号. 例如从第1行第1个5位数开始，取 出编号486; ③按照一定规则继续选取编号.取 出起始编号后，继续向右读数，得到 编号500,再接着向右读数，若某编 号的前3位数不大于900且不与前面 取出的编号重复，我们就取出，否则 跳过不取，如此下去直到得出在 001～900之间的70个编号. 随机数表法的主要步骤： ① 编 号 ； ②在随机数表上确定起始位置； ③取数. 结合教材的随机数表，教 师带领学生一起完成用随机 数表法进行简单随机抽样， 从而解决情境4中的问题. 教师引导学生总结出随机 数表法的主要步骤. 学生对用 随机数表法 抽取样本比 较陌生，应 由教师耐心 引导完成. 便于学生 记忆 .
小 结 填表： 抽样方法适用条件步骤抽签法随机数表法
教师出示表格. 学生完成表格. 让学生通 过对比，系统 掌握两种方法 的区别与联 系 .
作业 本节练习A组第3题、本节练习B 组第2题. 学生标记作业. 巩固新知.

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