资源简介 2025高考--圆锥曲线的方程(一轮复习)课时三知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题典例1、已知椭圆经过点和点.(1)求椭圆的标准方程和离心率;(2)若、为椭圆上异于点的两点,且点在以为直径的圆上,求证:直线恒过定点.随堂练习:已知椭圆过点,且离心率为.(1)求该椭圆的方程;(2)在x轴上是否存在定点M,过该点的动直线l与椭圆C交于A,B两点,使得为定值?如果存在,求出点M坐标;如果不存在,请说明理由.典例2、已知椭圆经过点,其右顶点为.(1)求椭圆的方程;(2)若点、在椭圆上,且满足直线与的斜率之积为,证明直线经过定点.随堂练习:已知F是椭圆的左焦点,焦距为4,且C过点.(1)求C的方程;(2)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1与C交于A,B两点,l2与C交于D,E两点,记AB的中点为M,DE的中点为N,试判断直线MN是否过定点,若过点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.典例3、已知为椭圆上任一点,,为椭圆的焦点,,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线:与椭圆的两交点为A,,线段的中点在直线上,为坐标原点,当的面积等于时,求直线的方程.随堂练习:已知椭圆的对称中心为原点,焦点在轴上,左、右焦点分别为,,且,点在该椭圆上.(1)求椭圆的方程; (2)过的直线与椭圆相交于,两点,若的面积为,求以为圆心且与直线相切的圆的方程.知识点二 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据韦达定理求参数典例4、已知双曲线C的两焦点在坐标轴上,且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2,焦距为,且点P(0,-1)到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程;(2)若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B,交双曲线C的两条渐近线于点D、E(D在y轴左侧).记和的面积分别为、,求的取值范围.随堂练习:双曲线的中心在原点,焦点在轴上,且焦点到其渐近线的距离为2.(1)求双曲线的标准方程; (2)过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于,两点,与其渐近线分别交于,(从左至右)两点. ①证明:;②是否存在这样的直线,使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.典例5、已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点,(1)求k的取值范围;(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S.典例6、已知双曲线:的一条渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线的标准方程与离心率;(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A,两点,为坐标原点,直线,的斜率之积为,求的面积.随堂练习:在平面直角坐标系中中,已知双曲线的一条渐近线方程为,过焦点垂直于实轴的弦长为.(1)求双曲线的方程;(2)若直线与双曲线交于两点,且,若的面积为,求直线的方程.2025高考--圆锥曲线的方程(一轮复习)课时三答案典例1、答案:(1)椭圆的标准方程为,离心率为 (2)证明见解析解:(1)将点、的坐标代入椭圆的方程可得,解得,则,所以,椭圆的标准方程为,离心率为.(2)分以下两种情况讨论:①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设点、,联立可得,可得,由韦达定理可得,,,同理可得,由已知,则,所以,,即,解得或.当时,直线的方程为,此时直线过点,不合乎题意;当时,直线的方程为,此时直线过定点,合乎题意;②当直线轴,则点、关于轴对称,所以,,,即点,由已知可得, ,,由已知,则,所以,,因为,解得,此时直线的方程为,则直线过点. 综上所述,直线过定点.随堂练习:答案:(1) (2)存在,解:(1),,椭圆,将代入可得,故,椭圆方程为:;(2)当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为,,,,联立方程可得:,,,为常数,代入韦达定理可知,即为常数,,故且,直线l过定点当直线l斜率为0时,可检验也成立,故存在定点.典例2、答案:(1) (2)证明见解析解:(1)由题意可知,,将点的坐标代入椭圆的方程可得,可得,因此,椭圆的方程为.(2)证明:若轴,则点、关于轴对称,则直线与也关于轴对称,从而直线与的斜率互为相反数,不合乎题意.设直线方程为,设点、,联立,可得,,可得,由韦达定理可得,,因为,整理可得,即,化简得,即,可得或.当时,直线的方程为,此时直线过点,不合乎题意;当时,直线的方程为,此时直线过定点,合乎题意.随堂练习:答案:(1) (2) 过定点,定点坐标为解:(1)依题意, 由解得, 所以椭圆的方程为.(2)由题意知,当其中一条的斜率不存在时,另外一条的斜率为,此时直线为轴;当的斜率都存在且不为时,设,设,联立,整理得,,,则, 所以的中点,同理由,可得的中点, 则,所以直线的方程为,化简得,故直线恒过定点. 综上,直线过定点.典例3、答案:(1) (2)或解:(1)由椭圆定义得,,所以,故, 所以椭圆的方程为.(2)设代入方程, 得所以,, 所以,解得,则式变为则,底边上的高,所以的面积.令,解得, 把,代入式,经检验,均满足,此时直线的方程为或.随堂练习:答案:(1); (2).解:(1)由题意知,所以,, 所以,由椭圆定义知:,则,, 故椭圆的方程为.(2)①当直线轴时,令,可得,解得,可取,,此时的面积,与题设矛盾,舍去.②当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,代入椭圆方程得,成立,设,,则,,可得. 又圆的半径,∴的面积为, 化简得,解得,∴, ∴圆的方程为.典例4、答案: (1);(2).解:(1)由,知,,,故双曲线C的方程为或.由点到渐近线的距离为,知双曲线方程为.(2)设l:,,.由可得;由可得.由得,∴,.∴.由和的高相等,可, 由得,所以,.随堂练习:答案: (1);(2)①见详解;②.详解:(1)因为双曲线C的渐近线为y=±2x, 由双曲线的焦点在x轴上时,则双曲线,渐近线的方程为,焦点F(±c,0), 所以解得a=1,b=2,所以双曲线的方程为;(2)①由(1)知双曲线的方程为, 其渐近线的方程为y=±2x,设直线l:y=kx+2,因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A,B,所以﹣2<k<2,联立,得(4﹣k2)x2﹣4kx﹣8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=,x1x2=,联立,解得x=,y=,则M(,),联立,解得x=,y=,则N(,),所以|AM|=,|BM|=,所以|AM|2﹣|BN|2=(1+k2)[(x1﹣)2﹣(x2+)2]=(1+k2)[(﹣x2﹣)2﹣(x2+)2]=(1+k2)[(﹣﹣x2)2﹣(x2+)2]=(1+k2)[(+x2)2﹣(x2+)2]=0, 所以|AM|=|BN|.②由共线,可得,由①可得,解得,所以符合题意, 所以直线的方程为.典例5、答案:(1);(2),面积为.解:(1)由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,且,得, 故曲线的方程为;设,由题意建立方程组,消去,得,又直线与双曲线左支交于两点,有,解得,(2),依题意得,整理后得,∴或,但∴, 故直线的方程为,设,由已知,得,∴,又, ∴点,将点的坐标代入曲线的方程,得得,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,∴,点的坐标为,到的距离为,∴的面积.典例6、答案: (1),离心率为 (2)解:(1)由题意知焦点到渐近线的距离为, 则因为一条渐近线方程为,所以, 又,解得,,所以双曲线的标准方程为, 离心率为.(2)设直线:,,, 联立则, 所以,由解得或(舍去), 所以,:,令,得,所以的面积为随堂练习:答案: (1) (2)或解:(1)过C的焦点垂直于实轴的弦长为6,将代入双曲线,得,则①,又C的一条渐近线方程为,则②, 由①②解得,,所以双曲线C的方程为.(2)显然,当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意.当直线OA斜率存在且不为0时,设直线OA的斜率为k,则方程为.联立,整理得,于是得则,同理可得,因为 整理得,解得.即或 (满足).考虑到,只需分以下两种情形:①当OA、OB的斜率为、时,结合得或,同理可得或,于是由点、,据直线的两点式方程并化简可得AB方程,同理可得AB的方程为或或.②同理,当OA、OB的斜率为、时,直线AB的方程为,或或或综上,直线AB的方程为或 展开更多...... 收起↑ 资源预览