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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一
知识点一 求椭圆中的最值问题
典例1、如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、 两点.
（1）若，且 求椭圆的离心率.
（2）若，求的最大值和最小值.
随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．
（1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．
典例2、已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0）
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值
随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点，且经过点．
（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点，求的面积的最大值．
典例3、椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
随堂练习：已知椭圆经过点和点．
（1求椭圆的标准方程和离心率；
（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．
知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
（1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
随堂练习：已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
典例5、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，
且，．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）曲线上一点P，点A B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
典例6、已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为， 与双曲线交于A，两点，求的值．
随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一答案
典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.
解:（1）， 因为。所以， 所以，
所以
（2）由于，得，则.
①若垂直于轴，则， 所以，
所以
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由 得
，方程有两个不等的实数根.
设，.,
=
，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
随堂练习：答案：（1）；（2）2.
解:（1）依题意可知，解得 故椭圆的方程为．
（2）延长交E于点，由（1）可知，
设，设的方程为，由得，故．
设与的距离为d，则四边形的面积为S，
，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积的最大值为2．
典例2、答案：（1）（2）
解:（1）∵∴，a=4， 椭圆的标准方程为；
（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得，
设P，Q，则
∴三角形APQ面积为：，
令
∵函数y=x+在上单调递增
∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为椭圆的焦点为且过，所以
所以，，所以椭圆方程为：；
（2）因为，
因为，
所以，此时P点位于短轴端点处
典例3、答案：（1）；（2）见解析
解: （1）对于，当时，，即，当，，即，
椭圆的方程为，
（2）证明：设直线，（）， 设，两点的坐标分别为，，则，
联立直线与椭圆得， 得，
，解得 ，，
， 直线 ，
令，得 ，
直线过定点
随堂练习：答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为，离心率为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得， 可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由已知，则
，
所以，，即，解得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；
②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，
由已知可得， ，，由已知，
则，所以，，因为，解得，
此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点.
典例4、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）不妨设 , 因为,
从而 故由 , 又因为, 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线的标准方程为：
（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,
当动直线的斜率不存在时, ,，,
当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,
故由
依题意，且 , 化简得 ,
故由 , 同理可求,,
所以 又因为原点到直线的距离,
所以,又由 所以,
故的面积是为定值,定值为
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离为． 因为双曲线C的离心率为，
所以，解得， 所以双曲线C的标准方程为．
（2）设，， 联立，得，，
所以，．
由， 解得t＝1（负值舍去），
所以，． 直线l：，所以原点O到直线l的距离为，
， 所以△OAB的面积为．
典例5、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得， 则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，
，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴， 则，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范围是．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点与关于对称，
则，，故为定值.
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线方程为 ，，
所以双曲线方程为；
（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，由，设.
，由于P点在双曲线上
又同理，设的倾斜角为，
则.
由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时， ；
当时，； .
典例6、答案： （1） （2）6
解：（1）设所求双曲线方程为， 代入点得：，即，
双曲线方程为，即；
（2）由（1）知：，， 即直线的方程为，
设，， 联立，得，
满足，且，，
由弦长公式得.
随堂练习：答案： （1）；（2）证明见解析.
解:（1）设双曲线方程为 由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为代入
整理得，设 所以：
由弦长公式得：
设AB的中点 则， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得，即，所以：为定值.

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