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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时九
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中三角形（四边形）的面积
典例1、已知椭圆，分别为的右顶点、下顶点．
（1）过作直线的垂线，分别交椭圆于点，若，求椭圆离心率；
（2）设，，直线过点的两条相互垂直的直线，直线与圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，求面积的最大值．
随堂练习：已知椭圆的左焦点为F，上顶点为B，M为的中点，且．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线，l与椭圆有唯一公共点N，与y轴的正半轴相交．若点P满足，且四边形的面积为，求椭圆的方程．
典例2、已知A B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP BP AQ BQ的斜率分别为k1 k2 k3 k4.
（1）求证：点P Q O三点共线；
（2）当a=2，b=时，若点P Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；
（3）若F1 F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.
随堂练习：已知椭圆：，四点，，，中恰有
三个点在椭圆上，，是椭圆上的两动点，设直线，的斜率分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，三点共线，求的值.
典例3、已知椭圆：的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程．
随堂练习：设椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，分别过点，作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，已知，的面积为，求直线的方程．
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,求椭圆中的参数及范围,根据韦达定理求参数
典例4、已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
随堂练习：已知椭圆过两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1，，，若，求△FPQ的周长．
典例5、已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
随堂练习：设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
典例6、已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，
且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．
随堂练习：已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹的方程.
（2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在 轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时九答案
典例1、答案： （1）； （2）.
解：（1）由题意得：，， 故可设直线的方程为，
联立方程组，解得， 同理：直线的方程为，
联立方程组，解得：，
因为，可得， 即，
整理得：，即， 故椭圆离心率
（2）由，，可得椭圆的方程为：，
当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相切于点，不合题意；
当直线的斜率为0时，此时可得，
当直线的斜率存在且不为0时，设直线方程为：，
则点到直线的距离，
根据圆的弦长公式，可得
因为，所以直线的方程为，
联立方程组，解得， 即，
可得， 所以
设，则， 则，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，由于， 故面积的最大值为.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）为直角三角形，M为的中点，
所以，，又，所以，
，所以， 所以椭圆离心率为.
（2）由题意可设直线方程为：，
联立，得，
又l与椭圆有唯一公共点N，故，即，即，
又所在直线方程为：，所以直线与l的距离为，
四边形的面积为：，
解得：，故椭圆的方程为：
典例2、答案： （1）证明见解析；（2）；（3）8.
解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B动点，
又因为，
所以，即 所以点P，Q，O三点共线.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线PQ的方程为
联立，解得x=±，y=±， 所以P(，)，
同理，解得x=±，y=±， 解得Q(，)，
则|PQ|=3﹣， 又因为a=2，b=，
联立，解得B(±2，0)， 所以点B到直线PQ的距离d=，
则.
（3）因为，设，， 所以，
因为，所以 又， ，
因为QF1PF2， 所以|OF1|=λ|OF2|， 所以λ2=，
所以= =，
所以：
同理(k3+k4)2=4， 而k1k2=， 又x12=a2+y12， 所以k1k2=，
同理k3k4=﹣， 所以k12+k22+k32+k42=8.
典例3、答案： （1） （2），或，
解：（1）根据题意可得解得 椭圆的标准方程
（2）圆 设，则
设，，，
则，同理可得：，，
∵的面积是面积的倍，则
代入整理得：
联立方程，得或，即，同理
联立方程，得或，即，同理
代入可得：，解得或
当时，直线，；
当时，直线，
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以．①
又椭圆经过点，所以．②
结合，③由①②③，解得． 故椭圆的标准方程是．
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设，
根据对称性知两平行线的交点在轴上，又交点刚好在椭圆上，
所以交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是．
此时点或；
直线的斜率不存在不成立
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
将直线代入椭圆方程得，
则， ， ．
不妨设两平行线的交点为点，则，故点的坐标为．
因为点刚好在椭圆上，所以，
即． 此时，
则．
设点到直线的距离为，则．
所以，
即，解之得：或，
当时，，当时，（舍），所以，直线的方程
典例4、答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得， 故椭圆方程为.
（2）设直线，
由
得：， ，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
随堂练习：答案： （1） （2）8
解：（1）将，B（，）代入椭圆C：中，
，解得， 故椭圆C方程为；
（2）设直线，
由，
得 ，
又，
故
由k，得，得，
故或．
①当时，直线l，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线l，过定点，即直线l过左焦点，此时，符合题意．
所以△FPO的周长为．
典例5、答案：（1） （2）不存在，理由见解析
解：（1）由题意可得，解得，. 故椭圆C的标准方程为.
（2）设，，.
联立，整理得，
则，解得，
从而，.
因为M是线段PQ的中点，所以，
则，故.
直线的方程为，即.
令，得，则，
所以
因为，所以，解得.
因为，所以不存在满足条件的.
随堂练习：答案： （1）；（2）.
解：（1）由题意可得，，当时，，
所以得：， 解得， 所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知，，，，
过点且斜率为的直线方程为，
联立方程，可得，
设，， 则，，
故，
又，， ，，
所以
， 整理可得，解得.
典例6、答案：（1） （2）过定点；证明过程见详解
解：（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则， 将点的坐标代入椭圆的方程得，
所以，解得， 因此椭圆的标准方程为；
（2）设点， 则，所以直线的垂线的斜率为，
由题可知，故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
即，
因为，所以，
所以，
所以， 所以直线过定点．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）圆的圆心为，半径为，
依题意得， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，， 所以动点的轨迹的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
则由得，
由根与系数的关系得①，
由题意，两点不在轴上，所以，，，
又点，， 所以，，由得，
从而由已知得，即②，
又，③，
将③代入②得，
将①代入上式并整理得： ．
，
整理得， ，直线的方程为，
故直线恒过定点.

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