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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十二
知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，
且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．
随堂练习：已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹的方程.
（2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在 轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
典例2、已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
随堂练习：已知椭圆的左 右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为
的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
典例3、如图，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点且斜率为正的直线与椭圆交于、两点，过点、
分别作与直线垂直的直线，交轴于、两点，求的最小值.
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,根据韦达定理求参数
典例4、已知椭圆，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2，点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线交椭圆于M N两点，O为坐标原点，求面积的最大值，并求此时直线的方程；
（3）已知斜率为k的直线l交椭圆于A B两点，直线 分别交椭圆于C D，且直线过点，求k的值.
随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，直线l与椭圆C交于两点，且，当（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．
典例5、已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及的最大值．
随堂练习：已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点（不与定点
重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证直线经过定点；
（3）求的面积的最大值
典例6、在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.
随堂练习：已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P
的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）直线与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），斜率为k的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与G的位置无关，求k的值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十二答案
典例1、答案： （1） （2）过定点；证明过程见详解
解：（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程得， 所以，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）设点， 则，所以直线的垂线的斜率为，
由题可知，故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
即，
因为，所以， 所以，
所以， 所以直线过定点．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）圆的圆心为，半径为，
依题意得， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，， 所以动点的轨迹的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
则由得，
由根与系数的关系得①，
由题意，两点不在轴上，所以，，，
又点，， 所以，，由得，
从而由已知得，即②，
又，③，
将③代入②得，
将①代入上式并整理得：．
，
整理得， ，直线的方程为， 故直线恒过定点.
典例2、答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得， 故椭圆方程为.
（2）设直线，
由
得：，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，
令，得，由题意可得，解得，．
求椭圆的方程为；
（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，
，，，， 联立，得．
，， 由，得，
，
，
直线的方程为，令，解得，
则，，同理可得，，
典例3、答案：（1）；（2）最小值是.
解:（1）由题意，解得，因此，椭圆的标准方程为；
（2）设点、，设直线的方程为，
由得，，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，令得，
同理， 所以，
令，则，
当且仅当时，即当时，取最小值.
典例4、答案： （1）； （2）面积的最大值为，直线的方程为： 或； （3）
解：（1）由题知，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2
则，，又 解得：，
椭圆的方程为：
（2）由椭圆的方程知，当过点P的直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点，
所以直线的斜率存在，设过点P的直线的斜率为
则直线的方程为：，，
由（1）可得椭圆的方程为：
联立直线方程与椭圆方程：得：
解得：，即 ，
设点到直线的距离为，则
令且得：，
当且仅当，即时取等号 此时，，即
所以面积的最大值为
直线的方程为：或
（3）设，，由题意知，直线的斜率不为，
则直线的方程为：
由（1）知椭圆方程为
联立直线与椭圆的方程：， 得
所以 即
所以 同理可得：，
设，则 即
化简得： 即 所以直线l的斜率为
随堂练习：答案： （1）； （2）或
解：（1）因为椭圆过点，且离心率为，
所以，解得， 所以椭圆的方程为；
（2）显然，直线的斜率存在，
①当时，可设直线的方程为由可设，
则，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为；
②当时，可设直线的方程为即，，
联立，消去整理得，
由，得（*），则有，
于是可得的中点为即，
因为，所以，化简得，
结合（*）可得解得，
又到直线的距离为
所以， 即，
所以，当时，取最大值，
此时由可得，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
典例5、答案：（1） （2）横坐标的取值范围为，的最大值为2
解：（1）由题意，可得，，得，解得：．
椭圆C的标准方程为．
（2）解法1：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∵线段MN的中点坐标为， ∴圆的方程为．
令，则．
∵，∴， ∴．
∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解， ∴，解得．
设交点坐标分别为，，则．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法2：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
若以MN为直径的圆与x轴相交，则，
即，即．
∵， ∴，代入得到，解得．
该圆的直径为；
圆心到x轴的距离为；
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法3：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为 同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∴．
圆心到x轴的距离为．
若该圆与x轴相交，则，即．
∵，∴，∴，解得．
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法4：记点D的坐标为（2，0），点H的坐标为（4，0），设点P的坐标为，
点M的坐标为，点N的坐标为．
由已知可得点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴AP的直线方程为，BP的直线方程为．
令，分别可得，．
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
∵， ∴．
．
∵， ∴，代入得到，
∴． ∴．∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法5：设直线OP与交于点T．
∵轴， ∴有，．
∴，，即T是MN的中点．
又设点P的坐标为，则直线OP方程为．
令，得，∴点T的坐标为．
而，若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
则，即．
∵，∴， ∴，解得或．
∵，∴， ∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
随堂练习：答案：（1）；（2）；（3）．
解:（1）设椭圆（）的离心率为，
可知，又因为，所以．
由定点在椭圆上可得，故，．
所以椭圆的方程为．
（2）当直线与轴垂直时，设（），则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得．
所以，．
由直线与的斜率之和为1可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②， 并整理得，
分解因式可得，
因为直线：不经过点，所以，故．
所以直线的方程为，经过定点． 综上所述，直线经过定点．
（3）由（2）可得：，．
因为坐标原点到直线的距离为，
所以的面积（）．
令，则，且，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．
典例6、答案： （1）；（2）或.
解:（1）椭圆C的半焦距c，，即，
则椭圆方程为，即，设，
则，
当时，有最大值，即，解得， ，
故椭圆方程是；
（2）设，，，直线AB的方程为，
由，整理得，
则，解得，，，
因且，则，
于是有，化简，得，
则，即， 所以，
由得，则，，
而点P在椭圆上，即，化简得，
从而有，而，
于是得，解得或，
故实数t的取值范围为或.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设，，则．
设，则，．
由题意，得解得
所以，化简得，
即曲线C的方程为．
（2）由题意并结合（1）易知（不妨设点A在第一象限内），，．
设点，其中，则，，
所以．
因为斜率为k的直线经过点G，所以直线的方程为．
将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理，
得：．
设，，则，，
所以
，
所以．
因为的值与m的值无关，
所以，解得．

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