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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三
知识点一 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题
典例1、已知双曲线的方程为.
（1）直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求的取值范围；
（2）过双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于两点，且是线段的中点，求证：为常数.
随堂练习：已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线
与直线平行.
（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线 的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
典例2、已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
随堂练习：已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的
右焦点到的渐近线的距离为．
（1）求与的方程；（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
典例3、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，
且，．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）曲线上一点P，点A B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题
典例4、已知抛物线，点F为其焦点，且点F到其准线l的距离为4.
（1）求抛物线T的方程；
（2）设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线T交于B，C两点.记直线AB，AC的斜率分别为，，若，求直线m的方程.
随堂练习：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N
（5，0）在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：x＝ky+m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°（其中O为坐标原点），求实数m的取值范围．
典例5、已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；
（2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
随堂练习：已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点 在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三答案
典例1、答案： （1）； （2），证明见解析.
解：（1）直线与双曲线即
联立得即
由题意得有两个同号根，则满足 即，即
解得：
双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为
则，所以的中点
又因为点在双曲线上，即 即，即.
随堂练习：答案： （1） （2）是，2
解：（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则， 则双曲线的方程为.
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，则， 消得：，
则，可得：①
设与轴交点为， 则，
∵双曲线两条渐近线方程为：，
联立，解得，即， 同理可得：，
则（定值）.
典例2、答案：（1）双曲线C的方程为，离心率，渐近线方程为 （2）
解：（1）因为双曲线C与有相同的渐近线，
所以可设双曲线C的方程为，
代入，得，得，故双曲线C的方程为，
所以，，，故离心率， 渐近线方程为．
（2）联立直线AB与双曲线C的方程，得，
整理得， ．
设，，则AB的中点坐标为，
由根与系数的关系得，，，
所以AB的中点坐标为，
又点在圆上，所以， 所以．
随堂练习：答案： （1）， （2）
解：（1）由题意可得，则． 因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为， 所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为， 联立得，则，
设、，则，， 所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
典例3、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得， 则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，
，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴， 则，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范围是．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点与关于对称，
则，，故为定值.
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线方程为 ，，
所以双曲线方程为；
（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，由，设.
，由于P点在双曲线上
又同理，设的倾斜角为，
则.
由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时， ；
当时，； .
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）因为点F到其准线l的距离为4， 所以， 所以抛物线T的方程为；
（2）若直线的斜率不存在时则与题意不符，
故直线的斜率必存在，不妨设直线的方程为，
将直线和抛物线联立，，
则，
所以直线m的方程为.
随堂练习：答案：（1）；（2）.
解：（1）由题意知，， 由抛物线的定义可知，
则由，得， 所以抛物线的方程为．
（2）设，，，，
由，得， ， 则，
所以，，
因为，
所以
，
所以且，
所以，解得， 即的取值范围为．
典例5、答案：（1）； （2）
解：（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，
因为，所以， 即，所以，
因为，所以； 因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，
所以， 所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以
则
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
随堂练习：答案： （1） （2）或
解：（1）易知点是抛物线的焦点，，
依题意，
所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，
设该椭圆的方程为， 则，
， 故点的轨迹的方程为.
（2）易知直线1的斜率存在，
设直线1：，
由得：，
，
即①又，
故，将，代，
得：，
将②代入①，得：，
即， 即，即，
且，
即的取值范围为或.

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