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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四
知识点一 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据韦达定理求参数
典例1、已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
（1）求双曲线C的方程；（2）设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．
随堂练习：已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线
C交于M，N两点，且.
（1）求C的方程；（2）过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
典例2、以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线切于点．
（1）求双曲线的离心率及方程；（2）点分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点作一条斜率为的直线，与双曲线交于点，记直线的斜率分别为，．求的值．
随堂练习：已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三
个点中有且仅有两点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线交双曲线于轴右侧两个不同点的，连接分别交直线于点．若直线 与直线的斜率互为相反数，证明：为定值．
典例3、已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值.
知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题
典例4、已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上．
（1）若，求抛物线的标准方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线 的距离不小于，求的取值范围．
随堂练习：已知抛物线的焦点到准线的距离为1.
（1）求C的方程；
（2）已知点在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为，求l在y轴上的截距的取值范围.
典例5、已知抛物线，点为其焦点，点、在抛物线上，且直线过点，
.
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点、和、，点、分别为、的中点，求面积的最小值.
随堂练习：已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
（1）求抛物线C的方程；
（2）过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四答案
典例1、答案： （1） （2）1
解：（1）由题意可得，渐近线的方程为， 设，则有，即，
因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为，
所以，
又离心率，即，所以，所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知，，设直线的方程为，
联立，得， 所以，
若，，则，，
所以|， 所以，
所以的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得，所以， 则，所以．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题意得，解得 故C的方程为.
（2）显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故， 解得， 此时有.
，，
由，解得，同理可得，所以.
因为，故. 因为，故，
故实数的取值范围是.
典例2答案：（1）离心率为，方程为； （2）．
解：（1）双曲线的渐近线为，
所以圆与切于点，．①
设，则，即，② 又，③
由①②③解得，，， 所以双曲线的离心率为，方程为．
（2）因为，，，
设的方程为，，，
由，消去整理得，
所以且解得，
所以，， ，，
． 故的值为．
随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知：不可能同时在双曲线上；
若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，
解得：，双曲线方程为；
若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，方程组无解；
综上所述：双曲线的标准方程为.
（2）由题意知：直线，即直线斜率存在，可设，，，
由得：，
且，即且；
，，
直线与直线的斜率互为相反数，，
即，
化简得：，
整理可得：，即；
当时，，则，恒过点，与已知矛盾，舍去；
当，即时，直线直线，即，，
，即； 要证为定值，即证为定值，
即证为定值，
，，即为定值.
典例3、答案：（1）；（2）证明见解析，面积为.
解:（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则双曲线的方程为；
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为， 则消得，
，①
设与轴交于一点，，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立，联立，
则（定值）.
典例4、答案： （1）或； （2）.
解：（1）由题意及抛物线的定义得：，
又因为点在抛物线上，所以，
由 可得或，
所以抛物线的标准方程为或．
（2）设，， 联立消去可得：，
则，，
因为，
所以，
所以，可得，
由原点到直线的距离不小于，可得，解得或，
因为，所以不成立，所以，
因为在上单调递增，
所以，所以， 即的取值范围为．
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）因抛物线的焦点到准线的距离为1，则p=1， 所以C的方程为.
（2）依题意，设直线l的方程为，直线AB的方程为y=2x+m，
设， 由消去x得：，
由题意知，得，
设线段AB的中点为，则，再由，可得，
又点N在直线l上，则，于是，从而有，
所以l在y轴上的截距的取值范围为.
典例5、答案： （1）； （2）16.
解：（1）过点、分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，
易知，，
因为，则，则点为的中点，
连接，则为的中位线，所以，，则，
所以，点在线段的垂直平分线上，则点的横坐标为，
，解得，所以，抛物线的标准方程为.
（2）因为，若直线、分别与两坐标轴垂直，
则直线、中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线、的斜率均存在且不为，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，得，则，
设、，则，
设，则，则，所以，
同理可得， 故，
，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故面积的最小值为.
随堂练习：答案： （1）； （2）.
解：（1）依题意得： ∴，∴，
所求抛物线的方程为；
（2）抛物线的方程为，即∴，
设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.
所以切线PA：，
∴，又，，
同理可得切线PB的方程为，
因为切线PA，PB均过点，所以，，
所以，为方程的两组解.
所以直线AB的方程为.
联立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，
由抛物线定义可知，， 所以
∵ ，
∴
令 ∴原式，
即原式的最大值.

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