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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时五
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆过点，离心率为，过点作斜率为，的直线，，它们与椭圆的另一交点分别为，，且.
（1）求椭圆的方程； （2）证明：直线过定点.
随堂练习：已知椭圆的离心率，上顶点是，左 右焦点分别是，，若椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；（2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标.
典例2、已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当椭圆和圆：.过点作直线和，且两直线的斜率之积等于，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点，．
（i）求的取值范围； （ii）求面积的最大值．
随堂练习：已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，直线交椭圆C于P，Q两点，直线与
x轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
（1）求证：直线恒过定点；（2）设和的面积分别为，求的最大值.
典例3、在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线 的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.
随堂练习：对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，，是椭圆
的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是，可利用此结论解答下列问题．
已知椭圆C：和点，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，记点A，B到
直线（O是坐标原点）的距离是，．
（1）当时，求线段的长； （2）求的最大值．
知识点二 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程,抛物线中的三角形或四边形面积问题
典例4、已知动点到定点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是轴上的点，曲线与直线交于，且的面积为，求点的坐标.
随堂练习：已知动点M到点的距离等于它到直线的距离，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求动点M的轨迹方程C；（2）已知，过点的直线l斜率存在且不为0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求的面积.
典例5、已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．
（1）当l的倾斜角为时，若，求；（2）设点，且，求l的方程．
随堂练习：已知抛物线的焦点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，．
（1）求的取值范围；（2）若，点的坐标为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与轴交于点，求的取值范围．
典例6、已知P为抛物线E：上任意一点，过点P作轴，垂足为O，点在抛物线上方（如图所示），且的最小值为9．
（1）求E的方程；（2）若直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为等边三角形，求m的值．
随堂练习：已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时五答案
典例1、答案：（1）；（2）证明见解析.
解:（1）由于，故， 所以.
又椭圆过点，故， 从而，，椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，不合题意，舍去.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得， 设，则.
又由 得：，
所以，化简得， 解得或（舍去）.
当时，直线过定点，符合要求.
综上可知，直线过定点.
随堂练习：答案：（1）；（2）直线过定点
解：（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点， 所以，又，
解得，，， 所以椭圆的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，，，
联立，得，
所以，，
所以，，
所以，
解得， 所以直线过定点．
典例2、答案： （1） （2）（i）；（ii）
解：（1）由题意，，解得，，，所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）由题意，两直线、的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，
设的斜率为，则的斜率为， 则直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
与圆相切于点，，化简得，
由得，，
，化简得，，
由得，，代入上式化简得，，
解得， 又，则，得，
所以的取值范围是.
（ii）设，，
由（1）可知，，，
又， 又原点到直线的距离，
面积，
设，则，由以及得，
所以当时，面积取最大值. 所以面积的最大值是.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）依题意，，设，
直线方程为，由消去x并整理得：
，，则，
因在椭圆上，有，直线BP斜率，有，
则，即， 而
，
解得，此时，直线：恒过点，所以直线恒过定点.
由（1）知，，令，，
则，
令，函数在上单调递增，则当时，取得最小值，
所以当，即时，取得最大值.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）设点坐标为，
定点，，直线与直线的斜率之积为，
，
（2）设，，，则，，
所以
又，所以，又即，则直线：，
直线：，由，解得，即，
所以
令，则，所以
因为，当且仅当即时取等号，
所以的最大值为；
随堂练习：答案：（1）；（2）．
解:（1）当时，直线方程为，联立，得．
设，，则，．则．
（2）直线：，即，直线：．
设，，则，
记，则，
法一：常规换元法
令，，则
，当即时取得等号，则的最大值是．
法二：分离常数法
，显然时不取得最大值，
则，
当时取得等号，则的最大值是．
典例4、答案：（1） （2）或
解：依题意动点到定点的距离等于动点到直线的距离，
由抛物线的定义可知，动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）联立方程，整理得,
设，则有, 于是,
设到直线的距离为，因为，
由点到直线的距离公式得,
又，所以， 于是，解得或.
故点的坐标为或.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）根据抛物线定义得动点M的轨迹为曲线..
（2）设过点的直线l为，将其与抛物线方程联立，
得，消去得：①，
因l与C有且只有一个公共点，则.
将代入①得，解得，代入直线l可得
则直线AP方程为：，则其与y轴交点为，则由图可得：
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）当l的倾斜角为时，l的斜率为1， 又，所以直线，
将代入，得，即，
设，，则，，
根据抛物线的几何性质可知，，，
因为， 可知，
， 所以．
（2）当轴时，，，，此时PA不垂直于PB．
当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则直线，
将代入，得，即，．
设，，则，，
又，，，
所以，
即，
所以，化简有，解得，
所以l的方程为或．
随堂练习：答案： （1）（2）
解:（1）依题意，设直线为，
代入得，其判别式为， ∴．
设，为交点， ∴，．
∵焦点的坐标为， ∴，．
∵， ∴，
∴， ∴或．
∵成立． ∴．
（2）若，则，
设点，为直线、直线与抛物线的交点．
设直线为，代入得， ∴，∴，
同理可得， ∴点和的坐标分别为，．
又∵在直线上， ∴，共线，
∴， ∴．
∵，∴， ∴，设，
∴在时恒成立， ∴在单调递增，
∴的取值范围为．
典例6、答案：（1） 1、 （2）2、
解：（1）抛物线E：的焦点，准线方程为，
所以，故，
又因为的最小值为9，所的最小值为，
当且仅当点C，P，F三点共线时，取得最小值，
此时，解得， 故抛物线E的方程为；
（2）联立，消去x得，
直线与抛物线E相交于不同的两点A，B， ，得，
设，，则有，， 所以，
设线段AB的中点， 则，，即，
直线MN的斜率，直线MN的方程为：，
令，得，即， 所以，
，
又因为为等边三角形，所以， 所以，
解得，且满足， 故所求m的值为．
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为点，在抛物线C：上，所以，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义得：，解得，即抛物线C的方程为；
（2）由题意可设，，， 因为，所以，即，
故，整理得， 设点，同理可得，
则直线AB方程为：， 令得，即点，
因为直线NF与直线AB垂直， 所以直线NF方程为：，
令得，即点， ∴，
当且仅当时，时上式等号成立， 联立，得，
∴，，，
， ∴．

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