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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆的长轴长为，且经过点.
（1）求C的方程；（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标.
随堂练习：已知椭圆：过点，过右焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆的标准方程； （2）点，在椭圆上，且.证明：直线恒过定点.
典例2、已知椭圆经过点和点．
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．
随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.
典例3、如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N.
（1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程.
随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．
知识点二 求抛物线的切线方程,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
典例4、如图，设为轴的正半轴上的任意一点，为坐标原点.过点作抛物线的两条弦和， 在轴的同侧.
（1）若为抛物线的焦点，，直线的斜率为，且直线和的倾斜角互补，求的值；
（2）若直线 分别与轴相交于点 ，求证：.
随堂练习：已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
（1）求抛物线的方程；（2）过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.
典例5、已知抛物线，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令的面积为，四边形PRFQ面积为，求的最小值．
随堂练习：已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.
典例6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
（1）若，求直线l的斜率；（2）若，证明：为定值.
随堂练习：已知抛物线的焦点为．
（1）如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线 与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线 、的斜率成等差数列．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六答案
典例1、答案：（1）；（2）证明见解析，.
解:（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：，
将代入椭圆方程得：，解得， 故椭圆C的方程为
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得.
设A，B的坐标分别为， 则，
且， 因为直线，斜率互为相反数，即，
所以，则， 即，
即， 所以，化简得，
所以直线的方程为， 故直线过定点
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由已知得当时，， 又因为椭圆过点，则，
联立解得，故椭圆的标准方程为；
（2）证明设点，， 因为，即，
即.* 当直线的斜率存在时，设直线方程为.
代入椭圆方程消去得， ，，，
根据，.代入*整理， 得，
结合根与系数的关系可得，.
即， 当时，
直线方程为.过点，不符合条件.
当时，直线方程为， 故直线恒过定点.
当直线的斜率不存在时，令点， 此时，
又.可得（舍去）或. 当时，与点重合，与已知条件不符，
∴直线的斜率一定存在，故直线恒过定点.
典例2、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为，离心率为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由已知，则
，
所以，，即，解得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；
②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，
由已知可得， ，，由已知，
则，所以，，因为，解得，
此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点.
随堂练习：答案：（1） （2）存在，
解：（1），，椭圆，将代入可得，故，
椭圆方程为：；
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，
联立方程可得：，
，，为常数，
代入韦达定理可知，即为常数，，故
且，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）将点代入得，， 又，，得，
所以，，即.
（2）因为，设直线的方程为，设，，
联立，得， 且，则，，
则，且， 直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为， ∴，
∴面积，
当且仅当时，取到等号，此时， 所以直线的方程为.
随堂练习：答案： （1） （2）或.
解：（1）由题意知，， 又，∴，，
∴椭圆标准方程为.
（2）∵轴，∴， 设，则，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
设，，则，， ∴.
①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得.
得， ∴，即，解得.
故直线的方程为或.
典例4、答案：（1） （2）证明见解析.
解：（1）根据题意，为抛物线的焦点，则，
由于直线的斜率为，故直线的方程为，
所以联立方程得， 设，则，
因为直线和的倾斜角互补，所以， 因为，所以，
所以，解得. 所以.
（2）设，直线的方程为，直线的方程为
设， 直线与抛物线联立得，
所以，，同理，直线与抛物线联立得，
所以，， 对于直线，由于，
所以，所以直线方程为，
故令得，即
同理得，，， 所以，
， 所以
随堂练习：答案：（1） ； （2）16.
解：（1）抛物线的焦点，准线，
为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，
由，解得，设，则点，
于是由得：，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：，
由消去x并整理得：，设，则，
于是得弦AB中点，，同理得，
因此，直角面积
，当且仅当，即时取“=”，
所以面积的最小值为16.
典例5、答案：（1） （2）2
解：（1）抛物线的焦点.由得，∴.
设，，，由导数的几何意义可得：，，
∴，即，同理．
又P在PA，PB上，则，所以．
∵直线AB过焦点F，∴．所以点P的轨迹方程是．
（2）由（1）知，，代入得， 则，
则，
P到AB的距离，所以，
∵，当时，得，
∴，∴，同理，．
由得，∴四边形PRFQ为矩形，
∵，∴，
∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为2．
随堂练习：答案： （1） （2）32
解：（1）由题意知，，设圆上的点，则.
所以. 从而有.
因为，所以当时，.
又，解之得，因此. 抛物线C的方程为：.
（2）切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线C的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即
同理可知，直线PB的方程为，
由于点P为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、B的坐标满足方程， 所以，直线的方程为，
联立，可得， 由韦达定理可得，
所以， 点P到直线AB的距离为，
所以，，
∵，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
典例6、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）设，
因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，
设直线l为， 联立与得：，
则，， 因为，所以，
故，解得：，
当时，，此时，解得：，
直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，
当时，，此时，解得：，
直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，
综上：直线l的斜率为；
（2）设，
因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，
设直线l为，令得：，故，
联立与得：， 则，，
因为， 所以，，
解得：，， 所以，
故为定值-1.
随堂练习：答案： （1）是定值;定值为4. （2）证明见解析.
解：（1）依题意知 ，将 代入可得，
设，所以直线l的方程为 ，
联立方程 ，得： ,当不满足题意舍去，
则是定值.
（2）证明：依题意设直线的方程为； ，设点 ,
联立方程 得： ，， ，
又,点F坐标为,∴ ,
，，
，
所以直线 、的斜率成等差数列．

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