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第16讲
圆幂定理
【归纳初中知识】
在初中我们已经学习了圆的定义、性质，直线与圆的位置关系，这些都是高中学习立体几
何和解析几何的基础，
一、圆的定义
(1)如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段
OA叫做半径，记作“⊙O”,读作“圆O”;
(2)在一个平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合.定点叫做圆
心，定长叫做半径，
二、点与圆的位置关系
(1)点在圆外台d>r;(2)点在圆上台d=r;(3)点在圆内台d(r表示圆的半径，d表示点到圆心的距离)
三、直线和圆的三种位置关系
位置
公共点
直线
公共点个数
圆心到直线的距离d与半径r的关系
名称
名称
名称
相离
无
d>r
无
无
相切
唯一公共点
d=r
切点
切线
相交
两个公共点
d交点
割线
四、圆与圆的位置关系
位置
公共点
公共点
两圆的圆心距d与两圆
其他
名称
个数
名称
的半径R,r的关系
每个圆上的点都在另
外离
无
无
d>R+r
个圆的外部
唯一
除公共点外，每个圆上的
外切
切点
d=R+r
公共点
点都在另一个圆的外部
两个
R-r相交
交点
公共点
(R≥r)
唯一
除公共点外，一个圆上的
内切
切点
d=R-r(R>r)
公共点
点都在另一个圆的内部
内含
dr)
一个圆上的点都在另
无
无
(同心圆)
(d=0)
个圆的内部
【衔接高中知识】
在初中阶段中我们已经学习了圆以及与圆有关的相似三角形的知识，但很多相关的、有用
的定理，如圆中的相交弦定理、切割线定理等都没有介绍给学生，而这些在高中阶段还有更多
的应用，而且可以简化我们的计算过程.如必修2中的圆与方程，选修2一1中的解析几何等内
容都涉及圆幂定理等相关知识
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理，它们揭示了与圆有关的线段间的比
例关系.在圆中的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等问题中应用甚广
下图表示定理的图形和内容，
PC=PA·PB∈PA·PB=PC,PD点P运动到PA·PB=PC·PDA,B重合于IPS=PA,PB
厨外
C,D重合于SPT=PC·PD
(推论)
(相交弦定理)
(制线定理)
(切制线定理)
→PT=P.S(PT=PS)
(切线长定理)
圆幂定理：过定点的圆的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值
即AP·BP=|OP2-2|(定值)（如下图）
其中：P为⊙O内的点时，AP·BP=2一OP;
P为⊙O外的点时，AP·BP=OP2一r
【精讲典型例题】
例1如图，⊙O中，弦CD过弦AB的中点P,PC=2PD,BD
合AB,CD=9cm,求⊙0的半径
分析本例考查了相交弦定理、圆周角定理及勾股定理的逆定理，
解：连接AD.
CD-9.PC-}PD.:.PC-3.PD-6.
又PA·PB=PC·PD,PA=PB,.PB=3√2.
又BD=2AB∴BD=3V2.
△PBD中，PB=BD=3√2，PD=6,
∴.∠PBD=90°.∴.AD为⊙O的直径第2讲
因式分解
【归纳初中知识】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，它与多项式乘法运算是互逆变
形.在初中我们主要学习了两种因式分解的方法一一提取公因式法与公式法，其中公式法中直
接用公式不超过两次，
方法1.提取公因式法：am十bn=m(a十b).
即将多项式中各单项式相同的数字因数或字母因式提出来进行因式分解的方法.
方法2.公式法：运用乘法公式进行逆推
常见的公式有：
(1)a2-b=(a+b)(a-b);
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)a3±b3=(a±b)(a2干ab+b2);
(4)a3±3a2b+3ab±b3=(a±b)3;
(5)a2+b+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2:
(6)a3+6+c3-3abc=(a+b+c)(a2+62+c2-ab-ac-bc).
【衔接高中知识】
因式分解是高中学习的一个很重要的数学工具，在高中函数、不等式、数列和解析几何等
学习中都是不可少的内容.初中学习的提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式
分解，到高中是很不够用的，因而为了能很好地进入高中学习，顺利地完成高中学习任务，我们
需要补充一些因式分解的知识和方法，
方法3.分组分解法
观察多项式xm十xn十ym十ym,它的各项并没有公因式，也不能直接套用公式，因此不能
利用提取公因式法和公式法进行分解因式，但是我们观察到该式前两项有公因式x,后两项有
公因式y,分别提取后得到x(m+n)十y(m十n).这时又有了公因式m+n,因此能把多项式
xm十xn十ym十ym分解因式.分解过程为
2xm十xn十ym十y
=x(m+n)+y(m+n)
=(m十n)(x+y).
一般地，把多项式分组后，在各组分解因式的基础上，再完成整个多项式的因式分解，这种
方法叫做分组分解法，
方法4.十字相乘法
我们知道，形如x2+(p十q)x十g的二次三项式，它的特点是
二次项系数是1，常数q与一次项系数力十q可以通过如右图的
“十字相乘，乘积相加”的方式建立联系，得到x2十(p十q)x十pq三
1/4
(x十p)(x十q).这种方法能推广吗？
1×p+1Xg=p+q
下面来看二次三项式mn.x2十(mb十na)x十ab,将其二次项系
数n,常数项ab写成下列十字形式：
发现“十字相乘，乘积相加”，结果恰好为一次项的系数mb+na,由于(m,x十a)(nx十b)
n.x2+(mb十a)x十ab.从而有：
mnx2+(mb+na)xab=(mxa)(nx+b).
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.
方法5.综合除法与因式定理
(1)综合除法：一元多项式除以一元多项式，有一种简便的方法，例如：求多项式2x2十
a1x十a除以x一b的商和余数.先用一般的除法计算：
a2x+(a+azb)
x-b/
02.x2
+ax
+ao
a2.x2
-a2 bx
(a1+a2b)x
+ao
(a+a2bx-
(a+a2b)b
a+(a+a2b)b
所得商式是a2x十(a1十a2b).
余式是ao+(a1+agb)b.
(2)因式定理：
我们将x的一元n次多项式记为f(x),即
f(x)=amx"+aa-1x-1+…十a1x十ao.
并记当x=a时，多项式f(x)的值为f(a).
如多项式f(x)=3.x2-5.x-2,当x=1时，f(x)的值f(1)=3X12-5×1-2=-4.
①余数定理多项式f(x)除以x一b所得的余数等于f(b).
②因式定理如果x=b时多项式f(x)的值为零，即f(b)=0,则f(x)能被x一b整除[即
f(x)含有x一b的因式].
因式分解还有一些特殊的方法，如换元法、待定系数法、配方法、拆项添项法等.
【精讲典型例题】
例1把2a.x-10ay+5by-bx分解因式.第14讲
三角形的“四心”
【归纳初中知识】
初中阶段我们学习了三角形中的中线、高、角平分线等有关概念，探索并掌握了三角形中
位线的性质，在九年级的《圆》这部分内容中我们又提及三角形的内心和外心，但只要求学生了
解，并没有要求进一步的理解和应用.
内心
如图，在△ABC中，AD,BE,CF分别是三内角的平分线，记
AD和BE的交点为I,过I分别作AB,BC,CA三边的垂线，垂足
M
分别为M,N,P.根据角平分线性质，IP=IM,IM=IN,所以IP=
IV.因此，点I在角C的平分线上，即CF通过点I,也就是说三条
内角平分线交于一点，这个交点叫做三角形的内心
B
内心与各顶点的连线平分各角，内心到三角形三边的距离相等，因此内心是三角形内切圆
的圆心
外心
如图，在△ABC中，直线1，m,n分别为三条边的垂直平分线.
记l,m的交点为O,则根据垂直平分线性质，得到AO=BO,BO=
CO,所以AO=CO,得到O也在直线n上.这样，我们就知道了，三
角形的三条垂直平分线交于一点，其交点叫做三角形的外心
根据垂直平分线的性质，我们可以得到外心的性质：
(1)外心到三顶点的距离相等，因此外心就是三角形外接圆的
圆心：
(2)过外心作一边的垂线平分此边：
(3)外心与一边中点的连线垂直于此边；
(4)直角三角形的外心就是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内，而钝角三角形的
外心在三角形外.
【衔接高中知识】
在高中阶段，三角形的内心、外心、重心和垂心是学习立体几何、解析几何等内容不可缺少
的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，鉴于此，搞好初、高中“四心”这一知识内容的衔接对三角
形的“四心”作详细介绍是很有必要的.
重心
如图，在△ABC中，AD,BE,CF分别是BC,AC,AB边上的
中线.设BE,CF交于点G,BG,CG中点为M,N.因为E,F分别
是AC,AB的中点，所以EF平行且等于MN.因此，四边形
MNEF为平行四边形.于是，得GM=MB=GE,GF=GV=NC
所以BG:GE=2:1,CG:GF=2:1.
同理，若BE与AD相交于点G',则必有AG:GD=2:1,BG:GE=2:1,所以点G
与G重合
因此，三角形三条中线相交于一点，此点就叫做三角形的重心
重心到顶点与到对边中点的距离之比为2：1.
垂心
如图，在△ABC中，AD,BE,CF分别为三边的高，过A作BC边的
平行线，过B作CA边的平行线，过C作边AB的平行线，三条平行线相
交成△A'B'C
于是四边形ABCB,ACBC,CABA'均为平行四边形，故AD,BE,
CF为△A'B'C'三边的垂直平分线.根据三条垂直平分线交于一点，即
交点为△A'BC的外心.因此，AD,BE,CF交于一点.
因此，三角形三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心
顶点与垂心的连线垂直于对边：直角三角形的垂心即为直角顶点，锐角三角形的垂心在三
角形内，而钝角三角形的垂心在三角形外.
【精讲典型例题】
例1如图，设△ABC内接圆⊙I与边BC,CA,AB分别切于M,
N,S,若：AB=c,BC=a,AC=b,p=2(a+b+c,s为圆的面积，为
圆的半径
求证：AS=AN=p-a,BM=BS=p-b,CM=CN=p-c,
2p·
证明：根据圆的切线性质知：AS=AN,BS=BV,CM=CN,
∴.AS=AN=号(AB+AC-BS-CN)
-(AB+AC-BM-MC)-(AB+AC-BC).
同理：BM=BS=号(BC+BA-AC),CM=CN=
合(B+CA-AB,
设AB=c,BC=a,AB=b,p=号(a+b+c).
则有：AS=AN=号(c+6-a)=力-a,BM=BS=
2(a+c-)=p-b,第11讲
二次函数的图象与性质
【归纳初中知识】
初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的课标要求是：能结合具体情境体会函数的
意义，根据已知条件确定函数表达式；会画函数的图象，根据不同的函数的图象和解析表达式
探索并理解其性质进而解决实际问题；会利用函数的图象求近似解的问题.
二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象、性质如下表所示.
a>0
a<0
图象
.A
对称轴
x=-2a
b
x=-2a
顶点
(-会如。)
(-会如。)
最值
当x=-
会时y取最小值如产
Aa
当x=
会时y取最大值。少
4a
当<一乡时，y随着x的增大而诚小
2a
当<一品时，y随着x的增大而增大：
增减性
当x>
会时，y随者x的增大而增大
当x>
会时y随若x的增大面减小
【衔接高中知识】
函数是高中数学的一条主线，如高中数学中的数列、三角函数、
导数等都是函数.因此有必要对二次函数进行再研究，通过以二次函
数为载体，进一步探讨函数的相关性质.
1.二次函数的三种表示方法：
(1)一般式：y=a.x2+b.x十c(a≠0)：
(2)顶点式：y=a(x一h)2十k;其中(h,k)为抛物线的顶点.
(3)两点式：y=a(x一x1)(x-x2).
2.二次函数的对称性：
二次函数是轴对称图形，其对称轴为直线x=一力
2a
3二次函数的增减性：(1)若a>0,则当x<一会时y随x的增
大面减小：当>一名时y随：的增大而增大
(②)若a<0.则当<一品时y随x的增大而增大；当心-乡
2a
时，y随x的增大而减小.
(3)a越大，抛物线的开口越大.
4.二次函数在给定范围上的最值.[符号f(x)表示以x为自变
量的函数]
当a>0时，f(x)在px≤g上的最大值为M,最小值为m,令
x0=2(p+q
若一品-会)=m,fg)=M:
若x≤-品4，则
f(p)=M,f(g)=m.
【精讲典型例题】
例1已知二次函数f(x)满足f(2)=f(一1)=一1，且f(x)的
最大值是8，求f(x).
分析设二次函数的一般式f(x)=a,x2十bx十c(a≠0)，结合已
知条件运用待定系数法求出a,b,c.
解：f(x)为二次函数，
.设f(x)=ax2+bx十c(a≠0).
由f(2)=f(一1)=一1，且f(x)的最大值是8，得
4a+2b+c=-1,
a=一4，
a一b什c=一1，解方程，得
b=4,从而f(x)=-4x2+4x+7.
4ac-6=8,
c=7
.4a
本题的另一种解法：f(x)为二次函数，f(2)=(一1)，
·二次函数y=(x)图象的对称轴为x=2十（一D=
2
2
又，f(x)的最大值是8，
∴二次函数y=f(x)图象的顶点为0（号，8），于是设f(x)=
ax-2)2+8
:f2)=-1a(2-合r+8=-1,
解方程，得a=-4,从而f(x)=-4(x-号产+8=-4x2+4十7.第1讲
乘法公式
【归纳初中知识】
在初中，我们学习了多项式的乘法运算，知道乘法公式可以使多项式的运算变得更为简
便.初中主要学习了两个基本的乘法公式一平方差公式和完全平方公式
公式1平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.
公试2完全平方公式：(a士b)2=a2士2ab+b2.
【衔接高中知识】
高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有较强的代
数恒等变形能力，也就是说，在高中学习中还会遇到更为复杂的多项式的乘法运算.因此，在本
节中，我们将拓展乘法公式的内容，补充一些高中常用的乘法公式
由于(a+b)3=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)
=a+a2b+2a26+2ab2+ab2+b
=a3+3a2b+3ab2+b.
于是有：
公式3完全立方和公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab+b.
将公式三中的b全部换成一b,得到立方差公式：
公式4完全立方差公式：(a-b)3=a3-3a2b十3ab2-b.
由完全立方和公式可得(a十b)3-3a2b一3ab=a3+,即
(a+b)[(a+b)2-3ab]=a3+b.
于是有
公式5立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b.
仿公式四，请同学们思考：
公式5立方差公式：(a-b)(a2十ab+b2)=
由于(a+b+c)2=[(a+b)+c]=(a+b)2+2(a十b)c+c
=a2+2ab+b2+2ac+2b+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
于是有：
公试7(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
同时，我们还应注意乘法公式的一些常见变形：
1.a2+b2=(a+b)2-2ab:
2.a2+=(a-b)+2ab:
3.(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b):
4.a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).
【精讲典型例题】
例1已知x十y=一5，xy=6,求x2十y2的值
分析利用完全平方公式的变形a2十b2=(a十b)一2ab进行
求解.
解：x+y=-5,xy=6
.x2+y2=(x+y)2-2xy
=(-5)2-2X6
=13.
例2计算：(x2十2xy十y2)(x2-xy十y2)2.
分析观察式子的结构特点，可先后套用完全平方公式和立方
和公式进行计算.
解：原式=(x十y)2(x2-xy十y2)
=[(x+y)(x2-xy+y2)]2
=(.x3十y3)2=x5+2.x3y3+y
例3当a十b十c=0,a2十b十c2=1时，求下列各式的值.
(1)bc+caab;
(2)a4+b+c4
分析将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将b十
ca+ab用a+b+c和a+b+c2表示.由于a+b+c=(a2)2+
(b)2十(c2)2.由(1)得到启示，如果知道a2b十bc2十2a2的值，就能
得解
解：(1)，(a+b+c)2=a2+b+c2+2(ab+bc+ca)
且a+b+c=0,a2十b2+c2=1,
.∴.02=1+2(ab+bc+ca),
即c十ca十ab=-是：
(2)."(bc+ca+ab)2
=b2c2+c2a2+a2b2+2(a2bc+abc+abe2)
=b2c2+c2a2+a262+2abc(a+b+c);
c2+c2a2+a2=1」
4
,.a1十b十c4=(a2十b十c2)2-2(b2c2十2a2十a2b)
=1-2x号
例4老师在黑板上写出三个算式：52一32=8×2：9一72=8×
4;152一32=8×27：李正接着又写了两个具有同样规律的算式：
112-52=8×12;152-72=8×22.
(1)请你再写出两个具有上述规律的算式：
(2)用文字写出上述算式反映的规律；
(3)证明这个规律的正确性.第5讲
一元二次方程根与系数的关系
【归纳初中知识】
一、一元二次方程的解法
1.直接开平方法。
2.配方法：把一元二次方程通过配方化成(m.x十n)2=r(r≥0)的形式，再用直接开平方法
求解，
3.公式法：一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的求根公式：x=一b士-4
2a
4.因式分解法：如果一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的左边可以分解为两个一次因
式的积，那么这两个因式至少有一个为0，原方程可转化为两个一元一次方程来解，
二、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的根，用配方法可将其变形为
4a2
判别式△=b2一4ac,
1当4>0时，方程有两个不相等的实数根：西=一中二ac,,=一bB-4a
2a
2a
2.当△=0时，方程有两个相等的实根数：1=x2=一
2a
3.当4<0时，方程没有实数根.方程右边是一个负数，而方程的左边(：十易)
不可能是
一个负数，因此，方程没有实数根.
【衔接高中知识】
初中学生学握了一元二次方程的概念、解法及其根的判别式，但是对根与系数的关系没有
较深的研究，在高中数学教材中的二次函数、不等式以及解析几何等内容都大量地应用了一元
二次方程根的判别式及根与系数的关系，所以我们必须补充和加强这方面的内容，
三、一元二次方程根与系数的关系
方程ar2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=二b士4ac,不
2a
仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且还反映了根与系
数之间的联系。
根据求根公式可知，当b2一4ac≥0时，一元二次方程a.x2十bx十
c=0(a≠0)的两根为
bt-iachiac
2a
Za
由此可得
x+x:--btvb-4ac-b-VB-Aac_-26b
2a
2a
Za
1bAac.-b-Aac
2a
2a
=（-b)2-(WF=4ac)2=C
4a
因此，方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系：
x1十x2=
6
a
这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理，
反过来，
如果，x满足十.2=一
,12=￡，那么1，x2一定是方
程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根.
这就是韦达定理的逆定理，
特别地，
(1)如果方程x2十px十q=0的两个根是x1,x2,那么x1十x2=
-p,x1x2=9;
(2)以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二项次数为1）是x2
(x1+x2)x+x1x2=0.
【精讲典型例题】
例1若x1,x2是方程x2十2.x一2011=0的两个根，试求下列
各式的值
(1)x+x;
(2)1+1
(3)(x1-5)(x2一5)；
(4)x1-x2.
分析本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将
会出现复杂的计算，这里应根据各式的特点，利用韦达定理来解答
解：依题意，由根与系数的关系得x1十x=一2，x1·x2=
-2011.
所以(1)x1+x号=(x1十x2)2一2x1x2=(-2)2-2X
(-2011)=4+4022=4026.
2+h-+-2m2品
2
(3)(x1一5)(x2一5)=x1x2一5(x1+x2）+25
=-2011-5×(-2)+25=-1976.
(4)川1-2|√(x1-x2)2-√（十x2)2-4x1x2
=/(-2)2-4×(-2011)=4√503.第17讲
面积法
【归纳初中知识】
在初中，我们学习了三角形、平行四边形、圆等特殊平面图形的面积公式以及有关面积问
题的一些重要结论
1.S=2ah(a为底，h为商)，
2.Sa=ah(a为底，h为高).
3.S=πr2(r为圆的半径)，
4.等高的两个三角形的面积比等于对应底之比.
5.等底的两个三角形的面积比等于对应高之比.
6.相似三角形的面积比等于相似比的平方.
7.多边形的面积可以分解成若干个三角形面积之和.
【衔接高中知识】
面积是几何学的起源，它不仅是平面几何的重要内容，而且面积法也是数学解题中的
重要方法.在高中必修5解三角形中，我们将进一步探讨三角形的面积公式中，在选修2一1立
体儿何中，我们也经常用面积法解题，
一、三角形面积公式
我们学习过三角形的面积公式，一边与这边上的高的乘积的一半
就是三角形的面积，即S=2ah,=2h,=ch.如图，在△ABC中，
AD是边BC上的高，那么Sa=2BC·AD,而AD=AB·sSmB,
所以我们就得到三角形的面积为Sr-BC·AB·sinB.
同理，我们也能得到
S=
2 absin C=
2 bcsin A=
2 acsin B(a,b,c分别为角A,B,C所对的边).
上述结论可叙述为：三角形的面积等于三角形中任意两边以及它们夹角正弦的乘积的一半
二、面积法
因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以
相互转化.运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的
方法，简称为面积法
【精讲典型例题】
例1已知△ABC的三边分别为a,b,c,内切圆的半径为r,求
证：Sa=号(a+h+cn
证明：如图，设内切圆的圆心为I,连接IA,IB,IC.
记△IBC,△ICA,△IAB的面积分别为S1,S2,S3.
因为Sr=S+s+S=2ar+2br+安r
1
所以Sc=2(a+b十c)r
例1图
例2图
例2已知点P是正三角形ABC内的一点，设点P到三边AB,
BC,AC的距离分别为h1,h2,h3
求证：h:十h2十h:为定值.
证明如图，连接AP,BP,CP,
记△ABC的边长为a,高为h.
因为S△AC=S△ABP+S△rP+S△cF
2ah,
∴.h1+h2+ha=h.
所以h,十h2十hs=h(定值)
例3如图，AD,BE,CF交于△ABC内的一点P,并将△ABC分成
六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，求△ABC的
面积
84
70
分析如果能把未给出的两个小三角形的面积求出，那么△ABC的
E
面积即可得知.根据面积的比例关系，可求出这两个小三角形的面积
4030
D
解：设未知的两个小三角形的面积为x和y,则第7讲
无理方程
【归纳初中知识】
初中我们已经学习了整式、分式、根式的概念，学习了一元一
(二)次方程、简单二元一次方程组和可化为一元一（二）次方程的分
式方程（方程中的分式不超过两个）的解法，但没有涉及无理方程的
解法，在高中新课程的函数、三角和不等式的学习以及立体几何初步
和平面解析几何初步学习中又要经常用到这部分的知识，为了高中
学习顺利，本专题重点介绍无理方程（含二次根式）的解法，希望大家
能够掌握，
【衔接高中知识】
根号下含有未知数的方程，叫做无理方程
解无理方程的基本思想：去“根号”，化无理方程为有理方程再
求解。
解无理方程的基本方法：平方法，即方程两边平方化无理方程为
有理方程求解，遇到平方后次数比二次大的较复杂的无理方程可尝
试用换元法求解.
特别注意：解无理方程最后要验根，
【精讲典型例题】
例1解方程√3x+6一2x=1.
分析将一2x变号后移到方程的右边，然后两边平方，将无理
方程变为有理方程进行求解，
解：移项得√3x十6=2x十1，
两边平方得3x+6=4x2+4x+1,
移项、合并同类项得4x2+x一5=0，
解方程得x=-号或z=1
检验：把=一至代入原方程，左边≠右边，所以x=一是
增根；把x=1代入原方程，左边=右边，x=1是原方程
的解.原方程的解是x=1.
例2解方程/3.x-5√/x十2=1.
分析方程左边有两个二次根式，如果直接平方，结果较繁，一
般把其中一个根式移到方程的右边，使方程左右两边各含有一个
根式.
解：移项，得/3.x一5=√x+2+1,
两边平方，得3.x-5=1+2Wx十2+x+2,
化简，得x一4=√x十2，
两边再平方并整理，得x2一9x十14=0，
解得x1=2,x2=7.
经检验，x=2是增根，x=7是原方程的根。
例3解方程2.x2十3.x十3=5W√2x2+3.x+9
分析√2.x2十3.x十9是2x2十3.x十9的算术平方根，如果直接平
方，结果很繁，若设/2x2十3.x十9=y,则原方程可转化为y的一元二
次方程，
解：设/2x3+3.x十9=y,则平方后得2x2+3.x=y2一9，
原方程可化为y2-9十3=5y,即y2-5y-6=0.
解这方程得y=6或y=一1.
当y=一1时W2x2十3x十9=一1没有意义，无解，舍去.
当y=6时w/2.x2+3x十9=6，
解方程得x=3或x=一号
检验：把x=一号代人原方程，左边≠右边，所以x=一号为
原方程的增根
把x=3代入原方程，左边=30=右边，所以x=3是原方
的解.
.原方程的解为x=3.
例4解方程/3.x-3十√/5x-19=/2.x+8.
分析当含有三个以上根式的无理方程时，其解法也是平方法，
目的是化根式方程为整式方程，只不过要多次平方，最后检验
解：移项，得/3.x一3一√2x+8=√/5.x-19,两边平方并整理，
得/(3x-3)(2x+8)=12.
两边再平方并整理，得x2+3.x一28=0.
解，得x=4或x=一7.
经检验，x=一7是增根，所以方程的根为x=4.
【检测衔接作业】
一、选择题
1.下列方程中是无理方程的是
()
Ax+=0
B.√2x十√3y=√/5
C.y2-(2-1)y=1
D./4x-3=x第4讲
根式及其运算
【归纳初中知识】
在初中，我们主要学习了二次根式的概念及其运算
1.二次根式定义中va(a≥0)是一个整体，表示非负数a的算术平方根.在实数范围内对
负数不能施行开平方运算，故a≥0这个条件必不可少
a(a>0),
2.(a)2=a(a≥0)，a2=a=0(a=0),
-a(a0).
(1)(√a)2(a≥0)的运算顺序是先求一个非负数的算术平方根，然后再平方.注意必须满足
a≥0的条件，
(2)√α的运算顺序是先平方再开方，取算术平方根.故此式对任何实数都有意义.使用公
式时注意√a2=a的应用.
(3)化简过程中一定要注意符号问题.当性质√a=一a(a<0)逆运用时应是a=一√a
(a<0),即把负数a移到根号里面时，应把“一”号留在根号外面.
3.二次根式具有非负性，即Va≥0(a≥0).
【衔接高中知识】
高中在二次根式的基础上研究次根式，学习n次根式和分数指数幂的互化以及根
式的运算，另外高中解无理方程、解无理不等式、建立圆锥曲线的方程等，都需要对二次根式的
运算非常熟练、灵活，
1.n次根式
实际上，数的平方根的概念可以推广.一般地，如果x"=a,那么x叫做a的n次方根.例
如，由于2=16和（一2）=16，我们把2或一2叫做16的4次方根.当n是偶数时，正数a的
正的n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号一a表示，也可以把两个方根合起来写作
土Va.例如16=2，一16=一2，合起来写作土16=士2.
类比二次根式的性质，我们得到n次根式的性质：
(1)(Wa)n=a(n∈N*).特别地，(Wa)2=a(a≥0)，(a)3=a(a∈R)
(2)当n是正奇数时，a"=a;当n是正偶数时，a"=|a.特别地，√a2=|a
1a,a≥0,3m=a(a∈K).
-a,a<0,
(3)a=a(a>0,>l,n∈N):2=a(a≠0，n∈N)
2.分母（分子）有理化
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化
去分母中的根号的过程.在高中数学中，有时需要把分式的分子进行
有理化，即分式的分子和分母都乘以分子的有理化因式，化去分子中
的根号.
【精讲典型例题】
例1(1)当x<0时，求|x++2x的值：
(2)若n为自然数，a=一a,求a的取值范围.
分析根据次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与
讨论。
解：(1)当x<0时，x+元+2元=x+|x+2x=一x-
x+2x=0.
(2)因为n为自然数，所以2n为偶数，于是am=a.
又因为a而=一a,所以a≤0.
例2已知a=2-3,6=2+3,计算：a十V
b+√Jab
分析我们发现像这类α，b的两根式，它们的相加的和相乘的
积都不含根式，我们称之为“共轭根式”.在解题中，我们要充分运用
“a十b和ab不含根式”这一性质，进行简化运算，
解法1：ah=1,十-=a十D==4=a
b+√ab√b(wb+√a)6√ab
2-√3.
解法2：ah=1,a十a-==十地=a1+0=a
b+√abb+1-b+1=b+1
2-√3.
例3有理化下列各式的分子：
(1)x+I+
√x十I-√元
(2)4=1+a(a>1).
a+1+√a2-1
分析√x十1十√x有理化因式为√x十1一√x,(2)可先化简
约分
解：(1)原式=+十@)+1-)
(Wx+1-√x)2
x+1-x
(Wx+1-√x)2(Wx+I-√x)2
(2)a-1ha2-1
a+1+/a2-1
=(a-1)2+(a十1)(a-1)
√/(a+1)2+√/(a+1)(a-1)第9讲
一元二次不等式
【归纳初中知识】
在初中，我们已经掌握了一元一次不等式（组）的解法，但高中阶段数学很多模块内容都
要用到一元二次不等式和分式不等式的知识，虽然高中新课程数学必修5有系统学习，但是为
了大部分学生能顺利完成高中新课程各模块学习以及少部分学生提前学习（数学竞赛等），很
有必要对一元二次不等式基本知识先作一个介绍.
一元一次不等式ax>b的解集：
(1)当a>0时，不等式的解集为x>b
(2)当a=0时，若b≥0，则不等式无解；若b0时，则不等式的解集为全体实数.
(3)当a<0时，不等式的解集为x<2
【衔接高中知识】
解一元二次不等式有两种方法，一种是利用乘积的符号法则求解；另一种是利用二次函数
图象，数形结合进行求解
一、可把ax2十bx十c分解因式的一元二次不等式的解法，
设a.x2十b.x十c=a(x十x1)(x十x2)(a>0)
则解不等式ax2十bx十c>0,即解a(x十x1)(x十x2)>0,
根乘积的符号法则，可得
x十x1>0,
x十1<0，
(I)或
(Ⅱ)
x十x2>0,
x十x2<0.
方程组(I),(Ⅱ)的解集即为原一元二次不等式的解集.
同理，我们可以利用同样的方法求得a(x十x1)(x十x2)0(a>0)的解集
二、一般的一元二次不等式ax2+bx十c>0(或<0)(a0)的解法.
我们知道，对于一元二次方程a.x2+b.x十c=0(a>0),设△=仔一4ac,它的解按照△>0，△=
0,△0可分为三种情况，相应地，二次函数y=a.x2十b.x十c(a>0)的图象与x轴的位置关系，
也分为三种情况，因此，我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式a.x2十bx十c>0
(或<0)（α>0）的解集，以下列表分类表示：
△=bB-4ac
△>0
△=0
△0
y=a.x2+hx十c(a>0)
的图象
a.x2+bx十c=0(a>0)
有两不相等
有两个相等
没有实数根
的根
实根，g
实根x1=2
ax2+bx+c>0(a>0)
xx2
全体实数
的解集
品
a.x2十br十c<0(a>0)
x无解
无解
的解集
【精讲典型例题】
例1解不等式x2一2x3>0.
分析x2一2x一3可以分解因式为(x一3)(x十1)，然后利用乘积的符号法则求解.
解：不等式可化为(x一3)(x十1)>0.
'原不等式可变形为
x-3<0,
(IX
(Ⅱ)
x+1>0;
x+1<0.
解(I)得x>3,解（Ⅱ）得x<一1.
原不等式的解集为x<一1或x>3.
例2试利用函数知识，解不等式：2x2一5x>一3.
解：原不等式可化为2x2-5.x+3>0.
画出函数y=2x2一5.x十3的图象.
解方程2x-5x十3=0，得x=1或x=是
观察函数的图象可得，
当且仅当<1或x>时，图象上的点都在x轴的上方，第13讲
分段函数
【归纳初中知识】
在初中，我们学习函数的概念以及一些特殊的函数.
初中函数的概念：设在某种变化过程中，有两个变量x,y,如果
给定一个x的值，相应就确定了一个y值，那么我们称y是x的函
数，其中x是自变量，y是因变量，
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的解析式、图象
及性质见第12讲的“归纳初中知识”.
【衔接高中知识】
从初中知识的回顾中，我们知道初中学习的函数只有一个表达
式（解析式）.事实上，在高中，我们还经常学习到另一类形式的函数
—一分段函数.
高中函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意
数x,按照确定的法则∫，都有确定的数y与它对应，这种对应关系叫
做集合A上的一个函数，记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量，
自变量取值的范围（数集A)叫做这个函数的定义域：
分段函数：在函数的自变量的取值范围内，对于自变量x的不同
取值范围，有着不同的表达式，这样的函数通常叫做分段函数，
例如y=
x(x0),
x+1(x>1),
-x<0.y=2(1.
特别提示：(1)分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而
是一个函数在不同范围内的表示方法不同，
(2)在解决分段函数的问题时，一定要根据自变量的取值范围选
择不同的表达式进行求解。
【精讲典型例题】
例1已知一个函数y=f(x)的自变量x的取值范围是0≤x≤
2,当0≤x≤1时，表达式为y=x,当1x,试写出函数y=f(x)的表达式，并画出图象
分析根据分段函数的定义，将自变量不同范围上的表达式写
在一起即可.
解：已知的函数y=f(x)的表达式为
x,0x1,
y=
2-x,1用图象表达这个函数，它由两条线
段组成，如图
x+2(x≤-1)，
例2已知函数f(x)=x2(一12x(x≥2).
分析本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于
自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能范围逐段进行讨论，
解：(1)当a≤-1时，f(a)=a十2，又f(a)=3,.a=1(舍去).
(2)当-1a2时，fa)=a2,又f(a)=3,
∴a=士√，其中负值舍去.∴a=√3.
(3)当a≥2时，f(a)=2a,又f(a)=3,
:u=号（含去，
综上所述，a=√3】
例3作出下列函数的图象，
(0(1)y=|x-1;(2)y=
(x≥1)
分析绝对值函数实质为分段函数，可结合一次函数、反比例函
数等函数的图象特征来画图.
解：()函数y=x一1写成分段函数)y=-1(x≥1)，
1-x(x<1),
此函数的图象是端点为(1,0)的两条射线（俗称“天线”），如
图(1).
(2)这个函数的图象由两部分组成[如图(2)]：
当0当x≥1时，为直线y=x的一段.
图(1)
图(2)第6讲
分式方程
【归纳初中知识】
初中我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法.
一、解分式方程的基本思路：
去分母化分式方程为整式方程求解，
二、解分式方程的基本步骤：
1.各分式的分母分解因式（若题中已分解好了，这一步可省去）：
2.方程两边同时乘以分母的最小公倍数；
3.去括号、移项、合并同类项，得一元整式方程；
4.解一元整式方程；
5.验根、写答案.
三、验根的方法：
1,求得解代入最小公倍式，会使公倍式为零的为原方程的增根：
2.求得解代入原方程分母是否为零，会使分母为零的为增根；
3.求得解代入原方程左右两边是否相等，会使方程左右两边相
等的解为原方程的根.
其中方法1、2用来剔除增根，方法3用来证实原方程的根。
【衔接高中知识】
对分式方程中的分式不止两个或化简后的次数高于二次的分式
方程，初中没有要求，而在高中新课标中的函数、不等式、数列及平面
解析几何学习中又常常用到，为了适应用新课标的高中课程学习，我
们必须掌握一些较复杂的分式方程的解法和应用
【精讲典型例题】
例1解方程二4xx-2十2三0
分析将分式方程的分母进行因式分解，从而确定最简公分母
是x(x+2)(x一2).
解：原方程分母分解因式为
2
1
1
(x-2)(x+2)-x(x-2)+x(x+2=0.
去分母，两边同时乘以x(x十2)(x一2)，
得2.x-(.x十2)十(x-2)=0,
去括号、移项、合并同类项得2x=4,
解方程得x=2.
检验：把x=2代入最简公分母，得x(x十2)(x一2)=0，
x=2为原方程的增根，
原分式方程无解
例2解方程8±2四+3C》-11
x2-1
x2+2x
分析按一般解法，应先去分母，整理后为一元四次方程，结果
较繁观察方程，左边的两个分式十和)互为倒数，可以通
x2-1x2+2x
过“换元”，将方程化简
解：设生=y则2于是原方程变形为8y十号
x2-1
11.
方程两边同乘y,得8y2一11y+3=0.
解得1=1，%=8
3
经检验=1，%=冬都是方程8y十号=11的根。
当y=1时兰=1，去分母，整理得r+2=-
解得x=一
当y厂时，土名-去分好，整理，得5r+16十3
0.
解得x2=一3，x=-号
51
检验：把=一合=一3=一号分别代入原方程的分
母，各分母都不为零
所以，原方程的根是=一合=一3。=一青
例3试确定实数m的值，使关于x的方程十马
有增根
分析分式方程化为整式方程后求得的根，若使原方程的分母
为零，则为增根，由此我们可以得到如下解法，
解：原方程去分母，两边同时乘以x(x一1)，
得3(x-1)+3.x=x+m,
去括号、移项、合并同类项得5.x=3十m,
解方程得x=3十
5第3讲
分式及其运算
【归纳初中知识】
在初中我们学习了分式，了解了分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会
进行简单的分式的加、减：
1.分式：用A,B表示两个整式，如果B中含有字母，式子合叫做分式，其中B≠0.
2分式性质：会-合0合-含产放M为不等于学的路式.
3分式运算：(1同分母加减是士名-，（②）异分母加减号士与-沿±后-陆产（关
bd
键在于先找到最简公分母)
【衔接高中知识】
在高中学习中，我们还会遇到更多复杂的分式的运算、化简、求值和证明.因此掌握分式的
有关知识及变形是继续学习高中数学必需的基本技能
一、分式运算的方法和技巧
分式的运算以分式的概念、基本性质、运算法则为基础，其中分式的加减运算是难点，解决
这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，并以整式变形、因式分解为工具进行运算.通
分一般有以下技巧：
1.等式中含有整式，其分母可看做1.
2.当分子的次数高于或等于分母次数时，可将其分离为整式与真分式之和.
3.先约分，后通分，可简化计算.
4.合理搭配，分组通分，化整为零
5.拆项相消后通分
6.分步通分，逐步计算，
7.换元后通分
二、有条件的分式的化简与求值
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件；既要根据目标变换条
件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：
1.恰当引人参数进行换元：
2.取倒数或利用倒数关系；
3.拆项变形或拆分变形：
4.整体代入：
5.利用比例性质等.
三、分式的证明
1.一般恒等式证明的途径：
(1)由繁到简，即从等式较复杂的一边入手，经过配方、因式分
解、换元、降次等多种变形，逐步推到另一边：
(2)将等式两边同时变形为同一个代数式，即“相向趋进”，推出
一个中间相等的结果
2.条件恒等式证明的途径：
(1)从条件出发，逐渐推出结论（由因索果）；
(2)当所给条件较简单，可先将结论变形，然后将条件代入（执果
索因)
【精讲典型例题】
例1计算.a+7a+10×,a+1÷a+1
a2-a+1a2+4a+4'a+2
分析分式乘除运算与约分相关，应考虑将各分式的分子分母
分解因式：
解：原式=(a+2)a+5)xa+1)(a2a+D×a+2
a2-a+1
(a+2)2
a+1
=a+5.
例2若-1=4，求2m二3m”一2的值。
m n
m-2mn-n
分析观察已知条件和要求分式的结构特点，可将分式的分子
分母同时除以mn.
2-3-2
-2(1-1)-3
解：原式=”
m
m n'
Γ1-2-1
-(1-1)-2
m
m n
=-2×4-3_11
-4-26
例3已知abc=1,求证：ab+a十+c+6++ac+c+=1
分析此题直接通分太繁，不可取.观察求证式子的左边，发现
作轮换a→b→c→a,可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以
有以下两种策略
解法1：因为abc=1,所以a,b,c均不为零
ab
原式=ab+a+十abcb+T+ab(ac+c+d
ab
abc
ab Fa+1abc +ab-a abac +abc+ab
ab+
1
ab+ta+11+ab+aa+1+ab
--1第8讲
简单的二元二次方程组
【归纳初中知识】
在初中，我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握用
代入消元和加减消元两种方法解二元一次方程组，但对二元二次方程组的解法并没有作系统
的介绍.
【衔接高中知识】
在高中新课标必修2中直线与圆，必修5中数列，选修1一1和选修2一1中圆锥曲线等部
分内容都涉及怎样求解二元二次方程组，怎样判断二元二次方程组的解的个数，怎样通过方程
来研究曲线的形状等情况，所以需要补充二元二次方程组的基本类型及解法，
1.由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般形式是
ax2+bxy+ciy2+dxtey+f=0,
azx2+b2xy+czy2+dzx+ezy+f2=0,
这里a1,b1,c不同时为零，a2,b2,c2不同时为零
2.解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元和降次”.基本方法有代入法、因式分解
法、利用一元二次方程根与系数关系、加减法、换元法等方法.简单的二元二次方程组主要有两
类：第一类是由一个二元一次和一个二元二次方程组成的方程组，第二类是由一个二元二次方
程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组
(1)解第一类的主要思路是将二元一次方程变形后，用代人消元法将二元二次方程转化为
元二次方程，从而求解。
(2)解第二类的主要思路是想办法将可分解为两个二元一次方程的二元二次方程分解出
来，从而转化为简单的二元二次方程组的解法（第一类）或直接转化为二元一次方程组.
3.特殊的二元二次方程组的解法
(1)解特殊的二元二次方程组主要是用消常数项法、加减法、换元法等，
(2)解可化为二元二次方程组的分式方程组和无理方程组主要是用换元法，
4.解特殊的三元二次方程组的主要思路是先消元转化为二元二次方程组.
【精讲典型例题】
x2十y2=1,
①
例1解方程组
x+y-1=0.②
分析解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，其解法是先由二元一
次方程出发，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再把这个式子代入二元二次方程，达
到消元的目的，转化为一元二次方程求解。
解：由方程②，得y=1一x.③
把方程③代人方程①，得x2十(1一x)2=1.
整理，得x2一x=0.
解得x1=0,2=1.
把x=0代入方程③，得y=1:
把x=1代入方程③，得y=0.
x1=0,x2=1,
原方程组的解是
1y=1;y2=0.
①
例2解方程组
x2+y2=10,
x2-4xy+3y2=0.②
分析方程②分解因式得两个二元一次方程x一3y=0和x一y
1x-3y=0,x-y=0,
0,分别与方程①组成两个方程组
x2+y2=10;x2+y2=10.
解这两个
方程组即可.
解：由方程②因式分解，得(x-3y)(x一y)=0,即x一3y=0或
x-y=0.
.原方程组可化为两个方程组
x2+y2=10,x2+y2=10,
或
x-y=0;
x-3y=0.
用第一类型代入消元法解这两个方程组，得原方程组的
解为
1=√5，x2=-√5，x3=3,x4=-3,
y=5;y2=-√5；为=1；4=-1.
例3解方程组V一1一√y+2=0,0
2x-y+12=0.
②
分析方程①是根式方程，将其移项，再两边平方得x2一1一
y十2.这样，方程组就转化为前面已有的形式：
解：把方程①移项，再两边平方，得x2一1=y十2.
整理，得x2-y-3=0.③
方程③-②，得x2-2x-15=0.
解得x1=5,x2=一3.
把x=5代入方程②，解得y=22;
把x=一3代入方程②，解得y=6.
将/6，
x=一3，
分别代人原方程组检验，它们都是原
y=22:y=6
方程组的解
原方程组的解是(
x1=5,x2=-3,
y1=22;y2=6.第15讲
角平分线性质定理与射影定理
【归纳初中知识】
在初中我们学习了三角形相似的有关知识，但很多相关的，有用的定理如三角形内（外）
角平分线性质定理、射影定理都没有介绍，因此，我们有必要进一步探索它们之间的数量关系，
并学会初步运用.
1.相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似的三角形对应边的比，叫做相
似三角形的相似比，或称相似系数，常用k表示，
2.相似三角形的判定
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形
与原三角形相似
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三
角形相似
判定定理2：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，
那么这两个三角形相似.
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个
三角形相似，
判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一
条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似：
3.相似三角形的性质定理
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
(2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
【衔接高中知识】
在高中阶段，三角形内（外）角平分线定理，射影定理都有着广泛的应用，如必修2，选修
2一1中的立体几何，选修2一1中的解析几何，都要经常用到这两个定理，
一、三角形内（外）角平分线性质定理
如图(1)，AD平分∠BAC,过D作DE∥AB交AC于E,则
AE BD
EC DC
∠BAD=∠DAC=∠ADE,AE=DE.
A
D
C
0
图(1)
图(2)
器肥
①
由△DECn△ABC,得R-%,即瓷-是
②
由①@得把肥
DC
如图(2)，AD为△ABC的外角平分线，过C作CE∥AB交AD于E,则
AB BD
CE CD
∠CD=∠DAF=∠AEC..AC--CE÷A8-80
由此得到三角形内（外）角平分线性质定理：
三角形内（外）角的平分线内（外）分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例.
二、射影定理
从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.在图(3)中，AA'」
MV,垂足A'是点A在直线MN上的正射影.如果点A是MN上的点，那么A在MN上的正
射影就是它本身
条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.在图
(4)中，线段AB的两个端点A和B在直线MN上的正射影分别是A'和B',线段A'B'是线段
AB在直线MN上的正射影
点和线段的正射影简称为射影，
B
A'
M A
B N
M
图(3)
图(4)
图(5)
如图(5)，△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高.在这个图形中，由于线段AD与
CD,BD与CD,BC与AC等相互垂直，因此可以从射影的角度来考察它们的关系.你能发现
这些线段之间的某些关系吗？
实际上，有些关系是非常明显的.例如，由△BDC为直角三角形可知BDSm=2AC·BC=CD·AB,所以AC.BC=CD·AB;等等.
考察Rt△ACD和Rt△CBD:
因为∠ACD=90°-∠BCD,∠B=90°-∠BCD,所以∠B=∠ACD.
于是△ACD∽△CBD
因此0品
即CD=AD·BD.
①第12讲
函数图象与变换
【归纳初中知识】
在初中，我们学习了正比例函数、反比例函数、一次函数以及二次函数等特殊的函数，了
解了这些函数的图象特征，
函数
图象
性质
①过点(0,0)；②k>0时，图象是过
-kx(k>0)
正比例函数
I、Ⅲ象限的直线，且x增大时，y
y=k.x(k≠0)
增大；k<0时，图象是过Ⅱ、V象限
的直线，x增大时，y减小
①k>0时，图象位于I、Ⅲ象限，且
x>0时，y随x增大而减小；x<0
反比例函数
时，y随x增大而减小.②k<0时，
y=(k≠0)
x
图象位于Ⅱ、N象限，且x>0时，y
随x增大而增大；x<0时，y随x
增大而增大
4/=kr+b(>0)
①过点(0，b).②k>0时，y随x增
一次函数
大而增大；k<0时，y随x增大而
y=kx十b(k≠0)
o
减小.③图象位置与k,b有关
二次函数
见第11讲
y=a.x2十bx十c(a≠0)
【衔接高中知识】
函数图象是函数性质的直观反映，是研究函数的重要工具因此，在高中阶段，我们更多地
利用函数图象的直观性来解决数学问题（图象法）.利用图象解决数学问题是数形结合思想的
重要体现，另一方面，利用已知函数的图象，通过适当的变换得到较复杂函数的图象，也是高中
学习的一个重点.
一、图象变换
1.平移变换：所谓平移变换，就是将图形上的所有点，沿同一个方向移动相同的距离，得到
一个新的图象.[f(x)表示以x为自变量的函数]
y=f(x)a>0时，向左平移a个单位
a<0时，向右平移1a个单位y=f(x十a)
2.对称变换：所谓对称变换，就是将一个图形上的每一个点沿一条直线翻折得到一个新的
图形.即两个图形关于此直线对称
(1)y=f代x)保留y=f化r在x轴上方部分x轴下方
→y=f(x)
图象绕x轴翻折上去
(2)y=f(x)保稻一f在，轴右侧部分，并把右y=fz)
侧图象绕y轴翻折到左侧
(3)y=f(x）将y=f八)图象绕y轴翻折180
y=f(-x)
(4)y=f(x)-
将y=f(.x)图象绕x轴翻折180
y=一f(x)
二、二次函数“恒成立”问题
结合二次函数图象可知：
当a>0且△<0时，a.x2十bx十c>0恒成立；
当a<0且△<0时，a.x2十h.x十c<0恒成立.
【精讲典型例题】
例1（1)函数)=3的图象可以由函数y=的图象如何变换得到
(2)函数y=上一3的图象可以由函数y=上的图象如何变换得到？
解：(1)通过列表描点画出两个函数的图象.设点(a,b)
4
:
是函数y=1图象上的任意一点，
则b=,由此可得b=(a+3)-3'
即点(a十3，b)在函数y=二3的图象上.
3!
因此，将函数y=】图象上的所有点，沿x轴向正方
向（右）平移3个单位，得到函数)一3的图象
(2)通过列表描点画出两个函数的图象，
设点(a,b)是函数y=图象上的任意一点，则b=三，由此可得b-3=】一3，第10讲
分式不等式与简单的高次不等式
【归纳初中知识】
在初中，我们学习了分式以及一元一次不等式（组）的解法，但是在高中的学习中我们还
要大量涉及分式不等式以及高次不等式，为此我们必须把这部分的知识衔接上，掌握分式不等
式和高次不等式的解法
1.不等式的有关性质
如果a>b,b>c,那么a>c:
如果a>b,那么a十c>b十c;
如果a>b,c>0,那么ac>bc,a>b
如果a>6.c<0.那么ac2.分式
分子和分母都是整式，而且分母中含有字母的式子叫做分式，分式中分母的字母取值范围
是有限制的，分母不能为零，否则这个分式无意义，
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不
变.这是分式最重要的性质，约分通分就是依据它进行的
分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变
【衔接高中知识】
一、分式不等式
1分式不等式：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式，如>0，马>2等
2.分式不等式解法的基本思路：
将分式不等式转化为整式不等式，即
f得>0eg>0.0erg<0
g(x)
二、一元高次不等式的解法
次数大于2的整式不等式，称为高次不等式，高次不等式通过分解因式处理后，可化为如
下形式（设a>0):
a(x-x1)(x一x2)…(x-xm)>0
①
a(x-x1)(x-x2)…(x-xm)<0②
不妨设x1(一∞1)，(x1,x2),…,(xm-1,xn),(xm,十∞).然后画波浪线，具体方法是从数轴右上方开
始，波浪线依次穿过x1,2,·,xn对应的点，
不等式①的解集为取数轴上方区间的并集.
不等式②的解集为取数轴下方区间的并集，
【精讲典型例题】
例1解不等式<0，
解法1：对分母x十1的正、负情况进行讨论
(1)当x十1>0，即x>一1时，不等式两边同时乘以(x十1)，
原不等式化为
x+1>0,
3.x-1<0.
解得-1<<号
(2)当x十1<0，即x<一1时，不等式两边同时乘以(x十1)，
原不等式化为
x+1<0
此不等式组无解.
3.x-1>0,
综上(1).(2)所述，原不等式的解集为-1解法2：由商的符号法则，可将分式不等式转化为一元二次不等式
原不等式化为(x+1)(3.x一1)<0.
由一元二次不等式的解集可知一1<<号
故原不等式的解集为-1<<分
例2解不等式干号>1
分析将不等式右边的1移至左边，再通分，转化为例1的形式求解。
解：由+31，得+3-120，行青0，
1(x-4)(x十3)≥0，
以上不等式等价于
lx十3≠0，
解得x<一3或x≥4.
故原分式不等式的解集为x<一3或x≥4.
例3解不等式(x十2)(x2一x-12)>0.

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