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21.3 实际问题与一元二次方程+教学设计+2024—2025学年人教版数学九年级上册
【学情分析】
一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．其中一元二次方程的应用也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点．它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型．
【教学目标】
找出实际问题中的等量关系
列一元二次方程解决实际问题
【重点难点】
学习重点：列一元二次方程解决实际问题
学习难点：找出实际问题中的等量关系
【新课导入】
引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪
分析：
1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决 (间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程 ( x（x十5）＝150 )
深入引导：方程x(x十5)＝150有人会解吗 你能叫出这个方程的名字吗？
【新课讲解】
对于问题1：找等量关系：矩形的面积—圆的面积=矩形的面积×
列出方程：200×150-3x2=200×150× ①
对于问题2：
等量关系：两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×（1+年平均增长率）2
列出方程：75（1+x）2=1082 ②
能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：
①化简，整理得x2-2500=0 ③
②化简，整理得25x2+50x-11=0 ④
讨论：方程③、④中的未知数的个数和次数各是多少？
2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支
【分析】设每个支干长出x个小分支。则主干上长出x个分支，x个分支上共长出x2个小分支。主干、支干和小分支的总数可用代数式1+x+x2表示。依题意可列方程：1+x+x2=91
解：设每个支干长出x个小分支，依题意可列方程：
1+x+x2=91
解这个方程，得：
∴x1=9 x2=-10(负根不合题意，合去)
答：每个支干长出9个小分支。
【课堂小结】
本节课的内容你都学会了那些知识.还有哪些不懂的
【布置作业】
1.如图，在一块边长为，的菱形空地ABCD上，修三条同样宽度且与菱形的边平行的道路(阴影部分)，剩下的部分进行绿化，绿化面积为.设，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
2.某展览馆计划将长60m，宽40m的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道（如图所示），求通道的宽.设通道的宽为xm，根据题意列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
3.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步.
4.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米.停车场内车道的宽都相等.停车位总占地面积为288平方米.设车道的宽为x米，可列方程为___________.
5.将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：___________（不必化简）.
6.如图,已知.一动点N从C点出发沿方向以
1 cm/s的速度向B点运动,同时另一动点M由点A沿方向以2 cm/s的速度也向B点运动,其中一点到达B点时另一点也随之停止,当的面积为时,运动的时间t为_______s.
7.如图1，将一张长，宽的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为，求该有盖纸盒的高.(单位：)
8.如图，在中，.现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动的时间为，求:
(1)用含t的代数式表示的面积S;
(2)当时，两点之间的距离是多少
(3)当t为多少秒时，
【板书设计】
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
图形的面积(或体积) 建立模型
【教学反思】
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.

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