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13.1.3 三角形中几条重要线段
本节课知识框架：
知识点1：三角形的角平分线
知识点2：三角形的中线
知识点3：三角形的高
本节课重难点：
重点：三角形的角平分线、中线、高线
难点：三角形的角平分线、中线、高线
本节课学习目标：
1、了解三角形的角平分线、中线、高线的概念
2、会用量角器和刻度尺画出任意三角形的角平分线、中线、高线







知识点1：三角形的角平分线
定义　三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 .
几何语言： 如图 13.1.3-1，
(1) AD 是△ ABC 的角平分线；
(2) AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D；
(3)∠ BAD= ∠ CAD=∠ BAC.


例题1：如图 13.1.3-2， D 是△ ABC 中 BC 边上的一点， DE ∥ AC 交 AB 于点 E， DF ∥ AB 交 AC 于点 F，且∠ ADE= ∠ ADF， AD 是△ ABC 的角平分线吗？说明理由．、







牛刀小试：
第一题： 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　 　)
A.BD 是△ ABC 的角平分线
B.CE 是△ BCD 的角平分线
C.∠3＝ ∠ ACB
D.CE 是△ ABC 的角平分线

第二题：如图， AE 是△ ABC 的角平分线， AD 是△ AEC 的角平分线.若∠ BAC ＝80°，则∠ EAD ＝ ?.





知识点2：三角形的中线
1. 定义:三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线 .
几何语言： 如图 13.1.3-3，(1)AD 是△ ABC 中 BC 边上的中线；(2) D 是 BC 边的中点； (3) BD=DC， BD= BC，DC=BC 或 BD=DC= BC.

2. 三角形的重心 : 三角形的三条中线相交于一点 . 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如图 13.1.3-4 中的点 O)，重心在三角形内部 .





例题2：如图 13.1.3-5，在△ ABC 中， AD， BE 分别是△ ABC，△ ABD 的中线 .
(1)若△ ABD 与△ ADC 的周长之差为 3，AB=8，求 AC 的长；
(2)若 S △ ABC=8，求 S △ ABE.

















牛刀小试：
第一题：如图， AD 是△ ABC 的中线，则下列结论正确的是(　 　)
A. AD ⊥ BC B. ∠ BAD ＝∠ CAD
C. AB ＝ AC D. BD ＝ CD

第二题：如图，已知 P 是△ ABC 的重心，连接 AP 并延长交 BC 于点 D ，若△ ABC 的面积为20，则△ ADC 的面积为 ?.





知识点3：三角形的高
1.三角形的高的定义和性质
定义 从△ ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫做△ ABC 的边 BC 上的高
图形
性质 因为 AD 是△ ABC 的边 BC 上的高(已知)，所以 AD ⊥ BC 于点 D(或∠ ADB= ∠ ADC=90°)
判定 因为 AD ⊥ BC 于点 D(或∠ ADB= ∠ ADC=90°)(已知)，所以线段 AD 是△ ABC 的边 BC 上的高(高的定义)
2.三角形三条高的位置
高的位置 交点位置 交点名称 示图
锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内一点 垂心
直角三角形 其中两条高恰好是直角边 直角顶点
钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三角形外一点


例题3：如图 13.1.3-9， AE ⊥ EC 于点 E， CD ⊥ AD 于点 D，AD 交 EC 于点 B.
(1)△ ABC 的边 BC 上的高为______ ，边 AB 上的高为 ________；
(2)若 AB=5， BC=2， CD= ，则 AE=________.






牛刀小试：
第一题：如图，一块三角形试验田 ABC ，需要平均四份，种植四种不同的作物，请你说3种方案在图上进行分割.

第二题：在△ ABC 中，∠ BAC 是钝角，下列图中画 AC 边上的高线正确的是(　 　)



课后作业
第一题：如图， AD 是△ ABC 的高， BE 平分∠ ABC 交 AD 于点 E . 若∠ C ＝76°，∠ BED ＝64°，则∠ BAC 的度数是


第二题：如图， BD ， CE 是△ ABC 的高， BD 和 CE 相交于点 O .
(1)图中有哪几个直角三角形？



(2)图中有与∠2相等的角吗？请说明理由.



(3)若∠4＝55°，∠ ACB ＝65°，求∠3，∠5的度数.





第三题：如图， AC ⊥ BC 于 C ， CD ⊥ AB 于 D ，则图中可以作为三角形“高”的线段有(　 　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 5条


第四题：如图，在锐角三角形 ABC 中， BC 边上有 E ， D ， F 三点， BD ＝ CD ，∠ BAE ＝∠ DAE ， AF ⊥ BC .
(1)以 AD 为中线的三角形有 ；以 AE 为角平分线的三角形有 ；以 AF 为高的钝角三角形有

(2)若∠ BAC ＝88°，∠ B ＝35°，求∠ CAF 的度数.









第五题： 如图，已知 AD ， AE 分别是△ ABC 的高和中线， AB ＝6 cm， AC ＝8 cm， BC ＝10 cm，∠ CAB ＝90°.试求：
(1) AD 的长为 ?；

(2)△ ABE 的面积；






(3)△ ACE 和△ ABE 的周长的差.










第六题： 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 平分∠ BAC ，∠ B ＝70°，∠ C ＝30°.
(1)∠ BAE 的度数为 ?.
(2)求∠ DAE 的度数.






(3)探究：小明认为如果条件∠ B ＝70°，∠ C ＝30°改成∠ B －∠ C ＝40°，也能得出∠ DAE 的度数.你认为能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.




第七题： 如图，△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8 cm， BC ＝6 cm， AB ＝10 cm，若动点 P 从点 C 开始，按 C → A → B → C 的路径运动，且速度为每秒3 cm，设运动的时间为 t s.
(1)当 t ＝ 时， CP 把△ ABC 的周长分成相等的两部分.
(2)当 t ＝ 时， CP 把△ ABC 的面积分成相等的两部分.
(3)当 t 为何值时，△ BCP 的面积为18 cm2？

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