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学霸笔记—苏教版
2021-2022学年苏教版数学五年级下册同步重难点讲练
(
1.
4
列方程解决两步实际问题
第一单元 简易方程
)
教学目标
1.能准确找出问题中相等关系的量，根据其数量关系列出方程。
2.使学生学会应用等式的性质解两步解的方程。
3.渗透转化思想，学习解决问题的策略。
4.注重联系生活实际，获得成功体验。
教学重难点
教学重点：使学生能熟练找出问题中相等关系的量，根据其数量关系列出方程并应用等式的性质解两步解的方程。
教学难点：渗透转化思想，学习解决问题的策略。
【重点剖析】
1．相等关系：已知数量甲比乙的几倍多(或少)几和数量甲，求数量乙的实际问题，可设数量乙为x，根据数量乙×倍数±几＝数量甲，列出形如ax±b＝c的方程进行解答。
2．形如ax± b＝c的方程的解法
ax±b＝c
解：ax±b b＝c b，ax＝c b，x＝(c b)÷a。
【典例分析1】修一条公路，总长124千米，前20天修了15.5千米．照这样计算，修完这条公路还要多少天？
想：照这样计算说明　工作效率　一定．　工作总量　和　工作时间　成比例．
解法一：设修完这条路还要x天才完成．
解法二：设修完这条路一共要x天．
根据“照这样计算”，说明是工作效率不变，工作总量和工作时间成正比例，用比例进一步解答即可．
解：（1）设修完这条路还要x天才完成，由题意得，
15.5：20＝（124﹣15.5）：x，
15.5x＝108.5×20，
15.5x＝2170，
x＝140；
（2）设修完这条路一共要X，由题意得，
15.5：20＝124：X，
15.5XZ＝124×20，
15.5X＝2480，
X＝160，
160﹣20＝140（天）．
答：修完这条路还要140天才完成．
此题考查用比例解决实际问题，关键是根据工作效率不变，工作总量和工作时间成正比例关系．
【典例分析2】王佳同学列了两个等式，不小心被墨水弄脏了，他原来列的是不是方程？说明理由．
（1）
（2）
方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．
解：观察题干可知，这两个都是等式，第一个含有未知数x，所以一定是方程，
第二个弄脏的部分不知道有没有未知数，所以不能确定是不是方程．
此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
【题干】方程和等式的关系可以用图表示：
【题干】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行50千米，6小时可以到达乙地，如果每小时行60千米，可提前几个小时到达？
解法一：设可提前x小时到达
解法二：设提速后x小时到达乙地．
【题干】根据图（1），在下面每幅图的横线上填上适当的符号或数字，使天平平衡．
你发现了什么：　在等式的两边同时加上、减去、乘上或除以一个数（0除外），等式的左右两边仍相等　．
一、单选题
1.下列式子中，方程有（ ）个。
①2x<3 ②0.5y+1=8 ③81-9=72 ④x-5
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.已知3x+2=11，那么4x-1=（ ）。
A. 9 B. 13 C. 11
3.（ ）能使方程8x=0.4左右两边相等。
A. x=3.2 B. x=0.5 C. x=0.05 D. x=0.1
4.方程3x÷12=1中未知数x=（ ）。
A. 0.25 B. 4 C. 12 D. 6
5.已知5比x的3倍少m，下列方程错误的是（ ）。
A. 3x-5=m B. m+5=3x C. 3x-m=5 D. 5-3x=m
6.桃树有45棵，比杏树的棵数的1.5倍还多3棵，杏树有多少棵？设杏树有x棵。下列方程正确的是（ ）。
A. 1.5x-3=45 B. 1.5x+3=45 C. 1.5x=45 D. 3x-1.5=45
二、判断题
7.5m=n，那么5m-2=n+2。（ ）
8.在一架平衡的天平两边同时增加5克，天平仍保持平衡。 （ ）
9.如果1+2x=15，那么13x-7x=30。（ ）
10.a 比b少c，列式子是a-c=b或a-b=c。（ ）
三、填空题
11.根据下图的信息，请你列一个方程： 。
12.根据数量关系列出方程。（不用求解）
（1）爸爸今年x岁，小刚今年12岁，小刚比爸爸小26岁。
（2）果园里种着桃树x棵，杏树的棵数是桃树的3倍，杏树比桃树多90棵。
13.如果3x+5=20，那么6x-4= ， 8x-6x= 。
14.鸵鸟是世界上奔跑最快的鸟，它奔跑的速度可达76千米/时，比兔子的2倍少10千米/时，设兔子的奔跑速度是x千米/时。根据题意写出一个等量关系： ， 根据这个关系式列出相应的方程： 。
15.“五一”期间某商贸城计划举行购物抽奖活动。设两个奖项：一等奖300元，二等奖100元；共设48个中奖名额，奖金总额10000元。请你算一算，一等奖设置 个，二等奖设置 个，奖金刚好用完。
16.爷爷今年的年龄是奇思年龄的6倍，爷爷比奇思大了55岁，奇思今年 岁。
四、计算题
17.解方程。
（1）x+1.3=2.8
（2）13（x+5）=169
（3）8x-5x=105
五、解答题
18.地球上的一昼夜是1440分钟，恰好是“神舟十号”航天员在太空中度过一昼夜的16倍。“神舟十号”航天员在太空中度过一昼夜是多少分钟？
19.列出方程，并求出方程的解。
72除以一个数的商是0.9，这个数是多少？
20.用方程表示下面的数量关系。
一辆汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上还剩15人，车上原有ⅹ人。
六、应用题
21.用方程表示数量关系并求解.
一辆汽车3小时行108km，这辆汽车平均每小时行多少千米？
22.水果超市里运来m车苹果，每车装120箱，n天卖完。用含有字母的式子表示平均每天卖出多少箱苹果；当m＝4，n＝6时，利用式子求出平均每天卖出多少箱苹果。
23.服装厂做一件男上衣用2米布料，现在有42米布料，可以做多少件这样的男上衣？
一、单选题
1.六年级男生有132人，比女生多0.1，六年级有女生多少人？设女生有X人，方程不正确的是（ ）
A. X+0.1X=132 B. X﹣0.1X=132 C. （1+0.1）X=132
2.方程“2.4×6－8x=9.6”的解是（ ）
A. x=1.6 B. x=18 C. x=1.8 D. x=0.6
3.1.2x=7.2×3.5，x=( )
A. 20 B. 8 C. 21 D. 22
4.52.5除以x商是3.5，这个数是（ ）
A. 12 B. 3.5 C. 15 D. 4.2
5.鸡兔同笼，有5个头、14条腿，那么( )。
A. 鸡2只兔3只 B. 鸡3只兔2只 C. 鸡1只兔4只 D. 鸡4只兔1只
6.用一根长48厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长是18厘米，宽是多少厘米？列出方程正确的是（ ）
解：设长方形的宽是x厘米．
A. (18＋x)×2=48 B. 48－x=18 C. 18＋x=48 D. (18＋x)÷2=48
二、判断题
7.方程两边同时除以一个不等于0的数，左右两边仍然相等．（ ）
8.等式的两边同时乘或除以5，所得结果仍是等式． （ ）
9.方程3x+3=27与4x-4=30的解相同。（ ）
10. 0.6＋0.4=1是等式，不是方程．（ ）
三、填空题
11.如果a ＝ a ，那么a＝ 。
12.一个数(用x表示)的2倍加上3乘5的积，和是20.8，用方程表示为________。
13.一根木料锯成两段用x分钟，如果锯成6段需要________分钟。
14.京杭大运河全长1794千米，比苏伊士运河全长的10倍还多74千米．苏伊士运河全长 千米？
15.小强试骑一种新式自行车，这种车的前轮周长是260厘米，后轮的周长是190厘米．小强骑此车从A地到B地，后轮比前轮多转1001圈，则A、B两地相距 米．
16.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．问怎样调运，使总运费正好为900元．
解：如图
（1）设从乙库调往A县x辆农用车，那么由乙库到A县的运费为________元．
（2）从乙库调往B县________辆农用车，其运费为________元．
（3）从甲库调往A县________辆农用车，其运费为________元．
（4）从甲库调往B县________辆农用车，其运费为________元．
所以表示总运费的式子为：________
可列方程为：________
四、计算题
17.解方程
5x-5×13=0.8．
五、解答题
18.列出方程，并求出方程的解。
甲数是9.6，是乙数的4倍，乙数是多少？
19.用方程表示下面的数量关系。
一辆汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上还剩15人，车上原有ⅹ人。
20.看图列方程．
六、应用题
21.某工厂五月份用煤125吨，是四月份用煤量的5倍，四月份和五月份共用煤多少吨？
当x ＝ 6 时，x2和 2x 各等于多少？ 当x 等于多少时，x2 和 2x 相等？
23.服装厂做一件男上衣用2米布料，现在有42米布料，可以做多少件这样的男上衣？
【变式训练1】等式是指用“＝”号连接的式子，而方程是指含有未知数的等式，所以等式包含方程，方程只是等式的一部分．根据方程的意义，可知方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．
解：见下图：
故答案为：方程，等式，未知数．
此题考查方程与等式的关系：等式包含方程，方程是等式的一部分；也考查了方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．
【变式训练2】解法一：设可提前x小时到达，根据甲地到乙地的距离相等列并解方程；解法二：设提速后x小时到达乙地，根据甲地到乙地的距离相等列并解方程即可．
解：（1）设可提前x小时到达，由题意得，
60×（6﹣x）＝50×6，
60x＝60，
x＝1；
（2）设提速后x小时到达乙地，由题意得，
60x＝50×6，
x＝5，
可提前：6﹣5＝1（小时）．
答：可提前1个小时到达．
此题考查方程的意义，关键是找准题中的等量关系，列并解方程即可．
【变式训练3】等式的性质：在等式的两边同时加上、减去、乘上或除以一个数（0除外），等式的左右两边仍相等；据此根据天平一边的变化，确定出另一边的变化．
解：见下图：
故答案为：在等式的两边同时加上、减去、乘上或除以一个数（0除外），等式的左右两边仍相等．
此题考查对等式性质的理解和灵活运用．
基础达标练答案解析
一、单选题
1.B
【解析】解：这些式子中，方程有1个，也就是②。
故答案为：B。
方程是指含有未知数x的等式，据此作答即可。
2.C
【解析】解：3x+2=11
3x=11-2
x=9÷3
x=3
则4x-1=4×3-1=11。
故答案为：C。
解方程先求出x的值，然后把式子中x的值代换后计算出式子的值即可。
3.C
【解析】解：8x=0.4
8x÷8=0.4÷8
x=0.05
故答案为：C。
在解题中的方程时，运用等式的性质2解方程即可。
4.B
【解析】解：3x÷12=1
3x=12
3x÷3=12÷3
x=4
所以解得x=4。
故答案为：B。
解方程时，先把相同的项放在一起计算，即把含有x的项放在等号的左边，把常数项放在等号的右边，然后等号两边同时除以x前面的系数，就可以解得x的值。
5.D
【解析】解：方程错误的是5-3x=m。
故答案为：D。
5比x的3倍少m，说明3x-5=m，然后移项即可。
6.B
【解析】解：设杏树有x棵，那么方程正确的是1.5x+3=45。
故答案为：B。
题中存在的等量关系是：杏树的棵数×套数是杏树的倍数+还多的棵数=桃树的棵数，据此代入数值作答即可。
二、判断题
7. 错误
【解析】解：5m=n，则5m-2=n-2。
故答案为：错误。
等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
8.正确
【解析】解：在一架平衡的天平两边同时增加5克，天平仍保持平衡。
故答案为：正确。
天平两端同时增加相同质量的物体，天平仍保持平衡。
9.错误
【解析】解：1+2x=15，解得x=7，所以13x-7x=13×7-7×7=42≠30。
故答案为：错误。
先解出1+2x=15的值，然后将x代入13x-7x=30的左边，最后观察左边与右边是否相等。
10. 错误
【解析】 a比b少c，列式子是b-a=c或b-c=a，原题说法错误。
故答案为：错误。
求一个数比另一个数少几，用减法计算，据此解答。
三、填空题
11. x-116=998
【解析】解：根据题中信息，列出的方程为x-116=998。
故答案为：x-116=998。
根据题目信息，可得题中的等量关系为原价-优惠的价格=现价，代入数值即可得出方程。
12.（1）x-12=26
（2）3x-x=90
【解析】解：（1）列出的方程可以是：x-12=26；
（2）列出的方程可以是：3x-x=90。
故答案为：（1）x-12=26；（2）3x-x=90。
（1）题中存在的等量关系是：爸爸今年的岁数+小刚比爸爸小的岁数=小刚今年的岁数，据此列方程作答即可；
（2）题中存在的等量关系是：杏树的棵数-桃树的棵数=杏树比桃树多的棵数，据此列方程作答即可。
13. 26；10
【解析】解：3x+5=20，解得x=5，所以6x-4=6×5-3=26，8x-6x=8×5-6×5=10。
故答案为：26；10。
先根据3x+5=20，解得x的值，然后将x的值代入6x-4和8x-6x进行计算即可。
14. 兔子的奔跑速度×2+10=鸵鸟的奔跑速度；2x-10=76
【解析】 鸵鸟是世界上奔跑最快的鸟，它奔跑的速度可达76千米/时，比兔子的2倍少10千米/时，设兔子的奔跑速度是x千米/时。根据题意写出一个等量关系：兔子的奔跑速度×2+10=鸵鸟的奔跑速度 ，根据这个关系式列出相应的方程： 2x-10=76。
故答案为：兔子的奔跑速度×2+10=鸵鸟的奔跑速度 ； 2x-10=76。
根据条件可得等量关系：兔子的奔跑速度×2+10=鸵鸟的奔跑速度，设兔子的奔跑速度是x千米/时，根据等量关系列方程解答。
15. 26；22
【解析】解：设一等奖设置x个，则二等奖设置（48-x）个。
300x＋100（48-x）=10000
300x＋4800-100x=10000
200x=10000-4800
200x=5200
x=5200÷200
x=26
48-x=48-26=22
故答案为：26；22。
依据等量关系：一等奖的个数×一等奖奖金金额＋二等奖的个数×二等奖奖金金额=奖金总额，列方程，解方程。
16. 11
【解析】解：设奇思今年x岁。
6x-x=55
5x=55
x=55÷5
x=11
故答案为：11。
等量关系：爷爷的年龄-奇思的年龄=55岁，先设奇思今年x岁，则爷爷就是6x岁，根据等量关系列方程解答即可。
四、计算题
17.（1）x+1.3=2.8
解：x+1.3-1.3=2.8-1.3
x=1.5
（2）13（x+5）=169
解：13（x+5）÷13=169÷13
x+5-5=13-5
x=8
（3）8x-5x=105
解：3x=105
x=105÷3
x=35
解方程要掌握等式的性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，等式两边仍然相等。
五、解答题
18. 解：设“神舟十号”航天员在太空中度过一昼夜是x分钟，则16x=1440，
解得：x=90
答：“神舟十号”航天员在太空中度过一昼夜是90分钟。
“神舟十号”航天员在太空中度过一昼夜所需的时间×16=地球上的一昼夜的时间，据此列方程即可。
19. 解：设这个数是x。
72÷x=0.9
72÷x×x=0.9×x
72=0.9x
0.9x=72
x=72÷0.9
x=80
等量关系：被除数72÷除数x=商0.9，利用等式性质2解方程；等式性质二：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等。若a=b ，那么有a·c=b·c 或a÷c=b÷c （a,b≠0 或 a=b ，c≠0）。
20. 解：x-5+8=15
车上原有的人数-下车的人数+上车的人数=车上现有的人数，代入对应的数字与字母，即可得出答案。
六、应用题
21. 解：设这辆汽车平均每小时行x千米，3x＝108 x=108÷3 x＝36答：这辆汽车平均每小时行36千米.
等量关系：速度×时间=路程，先设出未知数，然后根据等量关系列方程解答即可.
22. 解：超市共运进苹果：120×m＝120m箱n天卖完，所以每天卖120m÷n箱＝当m＝4，n＝6时，＝80箱答：每天卖出的苹果用式子表示为，当m＝4，n＝6时，每天卖出80箱。
根据题意先用带字母的式子表达出每天卖多少，然后带进数据求出答案
23. 解：设可以做x件这样的男士上衣2x＝42x＝21答：可以做21件这样的男上衣。
做关于方程的应用题，第一步要设出未知数，第二步在进行求解
强化提优练答案解析
一、单选题
1. B
【解析】解：设女生有x人，根据题意可得方程：
（1+0.1）x=132，或x+0.1x=132，
所以列出方程错误的一项是B．
故选：B．
根据题干，设女生有x人，把女生人数看做单位“1”，则男生人数就是女生人数的（1+0.1），根据等量关系：女生人数×（1+0.1）=男生人数，列出方程：（1+0.1）x=132，去掉括号可得x+0.1x=132，据此即可选择．此题考查基本数量关系：女生人数×（1+0.1）=男生人数，是关于求单位“1”的问题，这样的问题用列方程比较简单．
2. D
【解析】解：2.4×6-8x=9.6
14.4-8x=9.6
8x=14.4-9.6
x=4.8÷8
x=0.6
故答案为：D
先计算方程左边能计算的部分，再根据等式的性质结合数字特点解方程求出未知数的值即可.
3. C
【解析】1.2x=7.2×3.5
x=25.2÷1.2
x=21
故答案为：C
观察方程中的数字特点，根据等式的性质，把方程左右两端同时除以1.2即可求出x的值.
4. C
【解析】解：52.5÷x=3.5
x=52.5÷3.5
x=15
故答案为：15
根据文字叙述的顺序列出方程，根据等式的性质解方程求出未知数的值即可.
5. B
【解析】设鸡有X个，2X+（5-X）4=14，X=3
故答案为：B
设出未知数，根据题意列出方程。
6. A
【解析】 解：设长方形的宽是x厘米，可以列出方程：（18＋x）×2=48.
故答案为：A.
用一根长48厘米的铁丝围成一个长方形，铁丝的长度就是长方形的周长，设长方形的宽是x厘米，依据公式：（长+宽）×2=长方形的周长，据此列方程解答.
二、判断题
7. 正确
【解析】根据等式的基本性质可得方程两边同时除以一个不等于0的数，左右两边仍然相等的说法正确。
故答案为：正确。
熟记等式的基本性质：等式的两边同时加上或减去一个数，同时乘或除以一个非零数，等式仍然成立.
8. 正确
【解析】解：等式的两边同时乘或除以5，所得结果仍是等式说法正确．
故答案为：正确．
根据等式的性质，可知在等式的两边同时乘或除以一个不为0的数，所得等式才能仍是等式；据此判断．此题考查等式的性质，要注意：除以一个相同的数时，必须此数不等于0．
9. 错误
【解析】3x+3=27
3x=27-3
3x=24
x=8；
4x-4=30
4x=30+4
4x=34
x=8.5；
故答案为：错误。
分别解出两个方程的解，看它们是否相等。
10. 正确
【解析】这是个等式，不含未知数，就不是方程；原题说法正确.
故答案为：正确
表示两边相等的式子叫做等式，含有未知数的等式叫方程，由此根据等式和方程的定义判断即可.
三、填空题
11.1或0
【解析】 a ＝ a
a×a＝a
a＝1或0
考察简单的解方程
12. 2x+3×5=20.8
【解析】一个数(用x表示)的2倍加上3乘5的积，和是20.8，用方程表示为：2x+3×5=20.8。
故答案为：2x+3×5=20.8。
根据题意可知，求一个数的几倍，用乘法计算，求两个数的积，将这两个数直接相乘即可，两个积相加等于20.8，据此数量关系列方程即可.
13. 5x
【解析】解：x×（6-1）=5x
所以锯成6段需要5x分钟。
故答案为：5x。
将木料锯成2段需要锯1次，锯成6段则需要锯6-1次，锯成6段需要的时间=锯1次需要的时间×锯的次数，代入数值计算即可。
14. 172
【解析】解：设苏伊士运河全长x千米，
10x+74=1794
10x=1794-74
x=1720÷10
x=172
故答案为：172
可以用列方程的方法解答，等量关系：苏伊士运河长度×10+多的长度=京杭运河的长度，设出未知数，根据等量关系列方程解答即可。
15. 7064.2
【解析】设前轮共转了x圈，则后轮转了(x＋1001)圈
260x＝190×(x＋1001)
260x＝190x＋1001×190
70x＝190190
x＝2717
则A、B两地的距离为：
260×2717÷100
＝706420÷100
＝7064.2(米)
故答案为：7064.2.
解答本题的关键是明确自行车的前轮与后轮所走的路程相等这个等量关系，解答本题时还要注意单位的统一.
16. （1）30x
（2）(6－x)；50(6－x)
（3）(10－x)；40(10－x)
（4）[12－(10－x)]；80[12－(10－x)]；30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80[12－(10－x)]；30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80[12－(10－x)]=900
【解析】(1)乙库到A县的运费：30×x=30x；
(2)乙库调往B县的辆数：6-x(辆)，运费：50(6-x)；
(3)甲库调往A县的辆数：10-x；运费：40(10-x)；
(4)甲库调往B县的辆数：[12-(10-x)]，运费：80[12-(10-x)]；
总费用：30x+50(6-x)+40(10-x)+80[12-(10-x)]；
列方程：30x+50(6-x)+40(10-x)+80[12-(10-x)]=900.
故答案为：(1)30x；(2)(6-x)；50(6-x)；(3)(10-x)；40(10-x)；(4)[12－(10－x)]；80[12－(10－x)]；30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80[12－(10－x)]；
30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80[12－(10－x)]=900
(1)用一辆的运费乘辆数，用字母表示即可；(2)用6减去乙库调往A县的辆数就是调往B县的辆数；用辆数乘每辆的运费就是总费用；(3)用10减去乙库调往A县的辆数就是甲库调往A县的辆数，再乘一辆的运费就是总运费；(4)用甲库的总数减去甲库调往A县的辆数就是调往B县的辆数，再乘一辆的运费就是总运费；把所有的运费相加就是总运费，根据总运费是900元列出方程即可.
四、计算题
17. 解：5x-5×13=0.8
5x-65=0.8
5x=0.8+65
x=65.8÷5
x=13.16
先计算5×13=65，然后根据等式的性质把方程两边同时加上65，再同时除以5即可求出未知数的值.
五、解答题
18. 解：设乙数是x，
4x=9.6
4x÷4=9.6÷4
x=2.4
答：乙数是2.4。
等量关系：乙数×4=甲数，设出未知数，根据等量关系列方程解答即可。
19. 解：x-5+8=15
车上原有的人数-下车的人数+上车的人数=车上现有的人数，代入对应的数字与字母，即可得出答案。
20. 解：列出的方程为：3x+23=70。
观察题目中的图形可得等量关系式为：每本书的价格×书的本数+一只小熊玩具的价钱=数和小熊玩具的总价钱，代入数值即可。
六、应用题
21. 解：设四月份用煤x吨所以五月份用煤＝5x＝125解得：x＝25则四月份和五月份共用煤125＋25＝150（吨） 答：四月份和五月份共用煤150吨。
解应用题设方程的时候一般设的是要求的量，但有时候需要设关键量，比如题中的四月份用煤
22. 解: x ＝ 6 时，x2 ＝6×6＝36， 2x＝2×6＝12；
令x2＝2x，解得x＝2，所以 当x＝2时，x2和 2x相等。
求带字母的式子相等时，可以利用方程的知识列出等式求解
23. 解：设可以做x件这样的男士上衣2x＝42x＝21答：可以做21件这样的男上衣。
做关于方程的应用题，第一步要设出未知数，第二步在进行求解。

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