资源简介

椭圆的标准方程教学设计
一、教材分析
1、地位：本章是北师大版选修第一册第二章《圆锥曲线》，是高中数学解析几何的第二大部分。学生已掌握了研究直线和圆的方法，本章教材进一步利用三种基本圆锥曲线深化代数与几何的关系。
2、顺序：本章教材内容的顺序是：椭圆→抛物线→双曲线→直线与圆锥曲线的位置关系。在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想。
3、作用：教材以椭圆为基础和重点说明了求方程并利用方程讨论几何性质的一般方法，在认知抛物线和双曲线中得到了巩固和应用，因此《椭圆及标准方程》这一节课起到了承上启下的作用。
二、目标分析
1、教学目标：
（1）、理解椭圆的定义，达到直观想象与数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。
（2）、理解椭圆的标准方程的推导，掌握椭圆标准方程的求法，达到逻辑推理与数学运算核心素养学业质量水平二的层次。
2、教学重点难点：
（1）、重点: 椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式
（2）、难点：椭圆的标准方程的推导
三、教法学法
1、教法设计：引导发现法、探索讨论法
（1）、引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义.
（2）、探索讨论法：由学生通过联想、归纳和知识迁移，让学生对知识进
行主动建构；突出重点，突破难点，发挥其创造性.
2、学法指导：仔细观察——分析讨论——抽象出概念——推出方程.发
挥学生学习的主动性，将学习过程变成在教师引导下的“再创造”过程.
四、学情分析
1、在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解
用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
2、在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学
生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
五、教学过程及设计意图
　　（一）、创设情景，导入新课
1、通过圆锥曲线的由来的动画演示，激发学生的兴趣，展示行星在太阳系中的运动轨迹和仙女座星系，由此看出一个共同的数学图形“椭圆”。
　　2、从实际生活中有关椭圆例子出发，通过实际例子创设情景，可使引入自然，易于接受，又使教学内容亲切，激发学生的学习热情，促使学生萌发解决问题和学习新知识的欲望．
　 （二）、椭圆的定义（分环节）
1、画一画（画椭圆）
（1）、提出思考，回忆圆的绘制，思考椭圆的画法？
（2）、给出椭圆画法的具体步骤，让学生以小组为单位利用手中的画板、绳子和笔尝试绘制椭圆。同时展示学生们的成果，并给以及时的肯定。
　　　通过学生们的动手演示，提高学生的动手能力，同时激起学生学习本节课的兴趣。
（3）、动画演示作图过程
　 2、认一认（实验总结）
提出问题：作图时笔尖的运动过程中，什么量是不变的？
通过学生观察，总结得出：不论点M运动到何处，绳长(2a)是不变的！
即轨迹上任一点M与两个定点距离之和为同一常数2a，即：　
　　3、说一说（总结定义）
提出问题：实验中的绳长2a和两定点间的距离2c有什么关系？（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）
提出问题：出现的每一种情况对应的轨迹是什么？（让学生尝试改变绳长，再次探究结果，鼓励学生积极发言）
通过演示得到三种不同的轨迹，让学生体会数学是严谨、严密的，要多琢磨!多培养自己的严谨意识！
通过思考练一练及变式，加深学生对三种不同情况的轨迹辨识。
提出问题：请学生归纳出椭圆的定义，它应该包含几个要素？
由学生归纳总结
（1）由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离和是个定值
（2）点M到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离
引导学生归纳出椭圆的定义及符合表述。
我们把平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的集合叫作椭圆。
两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点，间的距离叫作椭圆的焦距。
　　设计意图：1、给学生提供一个动手、动脑的学习机会；
　　2、学生可通过动手实践的过程去体会“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”，从而对椭圆定义中的条件有直观深刻的认识。
　　3、通过问题的设置，为学生从画法中发现椭圆的几何特征奠定基础。
　　4、通过三个典型的问题，让学生更深刻地理解椭圆的定义
5、使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风。
（三）、椭圆的标准方程
1、求一求（推导椭圆的标准方程）
提出问题：如何建立椭圆的方程？教师引导类比圆的方程的建立，得出以下步骤。
①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）椭圆具有一定的对称美，故所求的式子最好简洁工整）
　　以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系、
②设点：设焦距为2c，则设P为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为2a。
　　③列式：动点满足的几何约束条件:
　　根据两点间距离公式得到方程
④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号
让学生以小组为单位开始讨论，探索化简过程，通过投影仪展示学生的化简过程。并展示移项化简法和较为简单的和差术化简法，拓展学生的思路，展示科学家推导椭圆的标准方程的方法。
设计意图：让学生以小组为单位合作探究多种化简方法，通过展示科学家推导椭圆的标准方程方法，肯定学生的方法，从而拉近学生与科学家之间的距离，增强学生学习数学的信心，从而提高学生分析、思考、归纳、整理的能力。
2、问一问
　　提出问题：焦点在y轴上的椭圆的标准方程是什么？
　　通过焦点在x轴上和y轴的图像类比，约束条件类比，得到焦点在y轴上的椭圆方程。从而体会数学的对称，简洁。让学生归纳两类方程的不同点和相同点，进行课堂整理，为解决数学问题奠定基础　　
（四）、课堂整理，解决问题
1、带领学生通过对比总结本节课知识点，辨析相同点和不同点，加强学生记忆，通过学生默写检验学生的掌握情况。
2、通过极速练习、例题研讨、当堂清、 链接高考 多角度多维度层层递进的练习，考查学生对知识点的应用，给学生限定做题时间，及时统计学生的做题情况，评价学生的本节课知识的掌握程度。
设计意图：通过椭圆的定义和方程特征的整理，进而解决相关的数学问题，借助针对性的极速练习、例题分析、当堂清来巩固椭圆的定义，椭圆标准方程的两种求法，养成求先看焦点位置的良好习惯。进而完成本节课的教学任务，通过链接高考使本节课的知识点的应用达到新高度。
（五）、课堂小结
总结本节课的教学内容，加强学生的记忆。
（六）、作业布置　　
分层次的作业布置，启发学生思考　　
板书设计
椭圆及标准方程
(一)、椭圆的定义：　　
　　 注明：①若2a=2c，则轨迹为线段；
　　 ②若2a<2c，则点的轨迹不存在
(二)、椭圆的标准方程
焦点在x轴上时，
焦点在y轴上时，
(三)、 求椭圆方程的方法
1、 定义法
2、待定系数法
七、教学设计说明
椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。但也是本节的难点，为突破难点，课前我以思考题形式给学生进行了方法的渗透，使课堂时间比较宽裕，有助于对概念认识深刻，理解透彻。为强化了本节的难点内容，在核心素养的指引下授课，让学生积极参与课堂，提高自主学习的能力。
本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。
椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。
设计例题、多种类型的习题，为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野。

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