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第一章 反比例函数
湘教版九年级（初中）数学上册
授课老师：xx
1.2.3 反比例函数的图象与性质
学习目标
重点难点
前言
1.进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质；
2.灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题；
3.领会反比例函数的解析式与图象的联系，体会数形结合与转化的思想方法；
4.体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，激发学习兴趣.
1.会运用反比例函数的图象和性质解决问题；
2.领会反比例函数的解析式与图象的联系，体会数形结合与转化的思想方法.
导入新课
请你说一说反比例函数的图象与性质.
反比例函数
双曲线
函数图象分别位于第一、三象限；
函数图象分别位于第二、四象限；
导入新课
【做一做】
下列反比例函数：
①；②；③；④.
（1）图象位于第一、三象限的是 ；
（2）图象位于第二、四象限的是 ；
（3）若，则的函数是 ；
（4）若，则的函数是 ；
②④
①③
①③
②④
新知探究
例1 已知反比例函数的图象经过点.
（1）求的值，并写出该函数的表达式；
（2）判断点是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而如何变化？
解析：因为反比例函数的图象经过点，那么点的坐标满足这一函数的表达式.
新知探究
例1 已知反比例函数的图象经过点.
（1）求k的值，并写出该函数的表达式；
解：设该函数的表达式为，
在反比例函数图象上，
，解得
因此，该反比例函数的表达式为
设
代
解
写
求反比例函数表达式步骤
注意：用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一组对应值，解一元一次方程.
新知探究
例1 已知反比例函数的图象经过点.
（2）判断点是否在这个函数的图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而如何变化？
解析：判断点是否在反比例函数的图象上的方法：计算该点的横坐标和纵坐标的乘积是否等于.若等于，则该点在反比例函数的图象上，若不等于，则该点不在反比例函数的图象上.
新知探究
例1 已知反比例函数的图象经过点.
（2）判断点是否在这个函数的图象上；
解：，
点在反比例函数的图象上.
同理，，
不在反比例函数的图象上.
新知探究
例1 已知反比例函数的图象经过点.
（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而如何变化？
解：，
这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小.
新知探究
练习1 已知是的反比例函数，当时，.求该函数的表达式.
解：设和之间的函数表达式为，
当时，，
，解得.
因此，和之间的函数表达式为
注意：若明确给出条件“是的反比例函数”或“与成反比例关系”，则可直接设函数的表达式为为常数，
新知探究
例2 下图是反比例函数的图象.根据图象，回答下列问题：
（1）的取值范围是还是？说明理由.
（2）如果点，是该函数图象
上的两点，试比较， 的大小.
解：（1）由右图可知，反比例函数的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，因此，.
（2）因为点，是该函数图象
上的两点，且，，所以点，都位于第三象限.又因为，由反比例函数图象的性质可知：
新知探究
例3 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点.试求出他们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为，，其中，为常数，且均不为零.
由于这两个函数的图象交于点，则点这两个函数图象上的点，即点的坐标分别满足这两个表达式.
因此.
解得 ，.
因此，这两个函数的表达式分别为，，它们的图象如右图所示.
新知探究
例4 如图，是反比例函数图象的一支上的一点，过点作轴于点，作轴于点，矩形的面积为2，求这个反比例函数的表达式.
解：这个反比例函数的表达式为
，点的坐标为，
则，所以
因为函数图象的一支在第一象限，所以
因此，反比例函数的表达式为
新知探究
（1）若过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，则两条垂线和轴、轴所围成的矩形的面积为，即
（2）若过双曲线上任意一点作轴（或轴）的垂线，并将该点与原点连接，则这条垂线、该点与原点的连线、 轴（或轴）所围成的三角形的面积为，即.
反比例函数中比例系数的几何意义
课堂练习
1.已知反比例函数的图象经过点，则 .
2.一次函数的图象经过点则反比例函数的图象经过点
.
3.已知一次函数与反比例函数的
图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）.
课堂练习
4.如图，已知与是反比例函数图象上的两个点，点C是直线AB与x轴的交点，则点C的坐标是 .
课堂练习
5.如图，若A是反比例函数的图象上的一点，过点A作 ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，则 的面积为（ ）.
能力提升
A.1 B.3 C.6 D.12
课堂小结
反比例函数的图象与性质
待定系数法：设、代、解、写
反比例函数k的几何意义：若过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，则两条垂线和轴、轴所围成的矩形的面积为.
作业
课堂作业：教材第11页练习第1题
课后作业：《学法》
第一章 反比例函数
湘教版九年级（初中）数学上册
授课老师：xx
课程结束湘教版初中数学九年级上册
《1.2.3 反比例函数的图象与性质》教学设计
课题 1.2.3 反比例函数的图象与性质 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级上册
教学目标 知识与技能： 进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质，灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题； 过程与方法：领会反比例函数的解析式与图象的联系，体会数形结合与转化的思想方法 情感、态度与价值观：体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，激发学习兴趣.
教学重点 会运用反比例函数的图象和性质解决问题
教学难点 领会反比例函数的解析式与图象的联系，体会数形结合与转化的思想方法.
教学方法 讲授法
教学准备 教师准备：课件 学生准备：教材、草稿纸、作图工具
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 请你说一说反比例函数的图象与性质. 【做一做】 下列反比例函数： ①；②；③；④. （1）图象位于第一、三象限的是②④； （2）图象位于第二、四象限的是①③； （3）若，则的函数是①③； （4）若，则的函数是 ②④. 学生独立思考，举手回答. 学生举手回答. 复习已学知识，为学习新知作铺垫. 本题复习反比例函数图象所在象限和性质.
讲授新课 【新知探究】 例1 已知反比例函数的图象经过点. （1）求的值，并写出该函数的表达式； （2）判断点是否在这个函数的图象上； （3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而如何变化？ （1）解析：因为反比例函数的图象经过点，那么点的坐标满足这一函数的表达式. （1）解：设该函数的表达式为， 在反比例函数图象上， ，解得 因此，该反比例函数的表达式为 【求反比例函数表达式步骤】设、代、解、写 【注意】用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一组对应值，解一元一次方程. （2）解析：判断点是否在反比例函数的图象上的方法：计算该点的横坐标和纵坐标的乘积是否等于.若等于，则该点在反比例函数的图象上，若不等于，则该点不在反比例函数的图象上. （2）解：， 点在反比例函数的图象上. 同理，， 不在反比例函数的图象上. （3）解：， 这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小. 练习1 已知是的反比例函数，当时，.求该函数的表达式. 解：设和之间的函数表达式为， 当时，， ，解得. 因此，和之间的函数表达式为 注意：若明确给出条件“是的反比例函数”或“与成反比例关系”，则可直接设函数的表达式为为常数， 例2 下图是反比例函数的图象.根据图象，回答下列问题： （1）的取值范围是还是？说明理由. （2）如果点，是该函数图象 上的两点，试比较， 的大小. 解：（1）由右图可知，反比例函数的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，因此，. （2）因为点，是该函数图象上的两点，且，，所以点，都位于第三象限.又因为，由反比例函数图象的性质可知： 例3 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点.试求出他们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象. 解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为，，其中，为常数，且均不为零. 由于这两个函数的图象交于点，则点这两个函数图象上的点，即点的坐标分别满足这两个表达式. 因此. 解得 ，. 因此，这两个函数的表达式分别为，，它们的图象如图所示. 例4 如图，是反比例函数图象的一支上的一点，过点作轴于点，作轴于点，矩形的面积为2，求这个反比例函数的表达式. 解：这个反比例函数的表达式为，点的坐标为， 则，所以 因为函数图象的一支在第一象限，所以 因此，反比例函数的表达式为 【反比例函数中比例系数的几何意义】 （1）若过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，则两条垂线和轴、轴所围成的矩形的面积为，即 （2）若过双曲线上任意一点作轴（或轴）的垂线，并将该点与原点连接，则这条垂线、该点与原点的连线、 轴（或轴）所围成的三角形的面积为，即. 【课堂练习】 1.已知反比例函数的图象经过点，则-2. 2.一次函数的图象经过点则反比例函数的图象经过点. 3.已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（D）. A.B.C.D.或
4.如图，已知与是反比例函数图象上的两个点，点C是直线AB与x轴的交点，则点C的坐标是 (1,0) . 5.如图，若A是反比例函数的图象上的一点，过点A作 ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，则 的面积为（C）. A.1B.3C.6D.12
教师引导学生思考，学生独立完成作答. 学生独立思考，利用之前判断该点是否在一次函数图象上的经验，来进行作答，探索、归纳判断点是否在反比例函数图象上的办法. 教师提出问题，让学生思考，得到矩形的面积，发现与反比例函数的比例系数一致，教师点拨并提问：是否这样的矩形的面积都等于反比例函数的比例系数. 学生独立思考问题，尝试完成, 教师引导学生回忆在一次函数中学习的待定系数法得出第（1）小问的做法，在这一活动中，学生的知识不是从老师那里直接复制或被老师灌输到头脑中的，而是自己去类比得出的. 通过提出问题，让学生积极参与到课堂中来，并且引导学生自主探索，发现规律，归纳判断点是否在图象上的办法. 从题目出发，学生通过做题过程发现的几何意义 加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础题为主，让学生灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结
板书设计 1.2.3 反比例函数的图象与性质
课后作业 课堂作业：教材第11页练习第1题 课后作业：《学法》
课后反思 亮点：课堂导入恰当，题目内容选择合适 不足之处：题目量过大，可适当删减 教学建议：部分题目讲解时，可以在黑板上板书说明，学生更容易理解.

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