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15.1.2 分式的基本性质 教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握分式的基本性质．
2.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形．
3.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
二、教学重、难点：
重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键.
难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形.
三、教学过程：
复习回顾
1.下列各式中，属于分式的是( )
A. B. C. D.
2.当x____时，分式有意义.
3.当x____时，分式的值为零.
4.的依据是什么？
分数的基本性质：
一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变.
5.由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么，.
一般地，对于任意一个分数，有，(c≠0)，其中a，b，c是数.
知识精讲
思考：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
，(C≠0)其中A，B，C是整式.
典例解析
例1.填空：
(1) ，； (2) ，(b≠0).
看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化.
解：(1) ，
(2) ，
想一想：（1）中为什么不给出x≠0,而（2）中却给出了b≠0
【针对练习】填空：
(1) (2) (3) (4)
例2.不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
； ② ； ③ ； ④．
解：①；
②；
③；
④
【针对练习】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号．
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）（2）（3）（4）
例3.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
(1) ； (2) .
（1）解：分子分母同时乘以60得：；
（2）解：分子分母同时乘以100得：．
【针对练习】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
；② ；③ ；④ ．
解：①，
②，
③，
④
知识精讲
思考：联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分吗？
与分数的约分类似，在例1(1)中，我们利用分式的基本性质，约去的分子和分母的公因式3x，不改变分式的值，把化为.像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式. 像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使得结果成为最简分式或者整式.
典例解析
例4.约分：
(1) (2) (3)
分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法：
（1）分子、分母系数的最大公约数；
（2）分子、分母公共字母的最低次幂.
解：(1)
分析：约分时,分子或分母若是多项式，能分解则先进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分.
(2)
(如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？)
(3)
约分的基本步骤：
(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂；
(2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
【针对练习】将下列分式约分:
（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）=﹣；
（2）=﹣；
（3） =；
（4） =．
知识精讲
思考：联想分数的通分，由例2你能想出如何对分式进行通分吗？
与分数的通分类似，在例2(2)中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把和化成分母相同的分式. 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
注意：确定最简公分母是通分的关键.
典例解析
例5.通分：
(1) 与 (2) 与 (3)
分析：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
解：(1) 最简公分母是_______.
，
(2) 最简公分母是__________.
，
（3）最简公分母是x(x+y)(x-y).
确定几个分式的最简公分母的一般步骤：
（1）分母为多项式的先因式分解；
（2）系数：各分式分母系数的最小公倍数；
（3）字母：各分母的所有字母的最高次幂；
（4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂；
（5）写成积的形式.
【针对练习】将下列各分式通分：
（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
它们的共同点：
1.分子和分母同乘(或除以)的都是同一个数或整式；
2.并且同乘(或除以)不能是0.
根据：
分数的通分和约分根据的是分数的基本性质；
分式的通分和约分根据的是分式的基本性质.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1．分式，，，中最简分式的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．使等式自左到右变形成立的条件是（ ）
A． B． C． D．且
3．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
7．下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为零，则的值为±2
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
8．（1）；（2）；（3）.
9．化简分式＝_____．
10．下列分式，，通分的最简公分母是_________．
11．分式 ， ，的最简公分母是_______________.
12．若分式 的值为，则把的值均扩大为原来的倍后，这个分式的值为____．
13．已知，则________．
14．约分：(1) (2)
15．通分：
（1）与；（2）与；（3）与；（4）与．
【参考答案】
B
C
B
D
A
D
C
2-x,5y,xy-y+2x-2
ab(a+b)(a-2b)
8
-
14.解：（1）原式；
（2）原式．
15.解：（1）∵与的最简公分母是6，
∴ = ， = ；
（2）∵与的最简公分母是3，
∴ = ， = ；
（3）∵与的最简公分母是2，
∴ = ， = ；
（4）∵与的最简公分母是，
∴ = ， = ．
四、教学反思：
本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则. 在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习，一步一步的来完成既定目标，整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效.

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