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《利用相似三角形测高》教学设计
《利用相似三角形测高》是义务教育教科书北师大版九年级数学上册第四章 《图形的相似》中第六节教学内容。本节课利用相似三角形测高，将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，借助学生已有的相似三角形的知识，探究并归纳不同的解决问题的方案加以解决。
一、设计思路：
1、指导思想
本教学设计以新课程理念为指导，以素质教育为目标，发展学生分析讨论、合作探究、实践操作能力为手段，通过应用相似三角形的性质和判别条件，归纳利用相似三角形测高的一般方法进行教学设计，为提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力奠定基础，以便有效的积累数学活动经验，应用数学知识为现实生活服务。
学生状况分析
知识技能基础：通过对相似三角形的判定和性质的学习，学生已经初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备了利用三角形相似来解决现实问题的基础知识。但是，学生综合运用相似三角形知识解决问题不一定熟练，将实际问题抽象为数学问题的能力也比较差，因此要在本节课进行有意识的培养。
活动经验基础：学生平时学习过程中经历过一些测量活动，解决过一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验，已经养成了分组活动、小组合作、全班交流研讨的习惯，具有了一定的合作学习的经验以及合作与交流的能力。
教学内容分析
本节课的内容是对相似三角形的性质和判别条件的复习以及实际应用，将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，借助学生已有的相似三角形的知识，探究不同的解决问题的方案加以解决。
生活中的一些不同情境的实际问题常常可以归纳为同一数学模型，本节利用相似三角形测高就是相似三角形数学模型，由题意所画出的图形和解题思路都是相似的，只要掌握了基本图形和解法，就会融会贯通，将问题迎刃而解。通过本节课的学习，归纳测高的一般方法，有着较强的实践性与探究性。同时渗透数学建模思想，从而提高学生认知能力和解决实际问题的能力，增强数学应用意识。
2、教学目标：
1）知识与技能：使学生进一步熟悉三角形相似的判定条件和性质，掌握测量的原理和方法，会实地测量并计算一些物体的高度或长度，积累数学活动经验，运用数学知识解决实际一些问题。
2）过程与方法：学生经历“观察发现—活动探究—归纳拓展—分组实践—交流总结”的过程，把实际问题转化成相似三角形的数学模型，培养学生的建模思想和分析问题、解决问题的能力，提高合作交流的意识。
3）情感与态度：实践中感受数学与生活的密切联系，体会数学的应用价值。培养学生积极进取的精神，增强学数学的自信心。
3、教学重、难点：
重点:掌握测量的原理和方法，综合运用相似三角形判定、性质解决问题。
难点：指导学生注意把实际问题转化成相似三角形的数学模型，在操作过程中以便理论和实践相结合。
教学方法：合作探究法
教学时间：一课时
二、教学准备 ：
多媒体课件、三角板、科学计算器；皮尺（或卷尺）、标杆、活动记录表。
教师运用多媒体课件展示教学内容、相关图片和练习题, 学生借助三角板、科学计算器完成课堂学习任务，课后准备皮尺（或卷尺）、标杆、科学计算器等进行实际测量和计算，并填写测量活动记录表。
三、教学过程分析
本课通过“情境导入、探究发现、归纳应用、课堂小结、课后作业”五个环节展开教学。学生先通过课堂自主探究、合作交流、合情推理、归纳验证等过程，明确了测量物体高度的原理，确定了解决问题的方案，之后运用已有知识实际操作测量，并收集数据进行相关计算，从而解决测量物体高度的实际问题。具体过程如下：
（一）情境导入
李明和王华同学想知道我们学校的旗杆有多高，他俩拿一根皮尺，利用旗杆在阳光下的影子就测量到了旗杆的高度。你知道他们是怎么做的吗？其中的理论依据又是什么？（学生猜想并表达）
本节课我们一起探究测量旗杆高度的方法。（板书课题）
（二）活动探究（运用多媒体课件）
1.教师出示图1，提出问题：李明和王华测量旗杆高度的方法示意图如下，
①图中哪些条件是已知的，哪些数据可以直接测量得到？（引导学生观察、交流）
②如何利用测量得到的数据计算旗杆的高度？（学生观察、猜想、交流，代表发言，集体补充。）
图1
生：人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB＝90°；太阳的光线看成是平行的，即AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD。人的身高AB、人的影长EB、旗杆的影长BD都可以测量得到。
师：很好，请同学们说说运用学过的哪些知识解决问题？
生：可以先证明△ABE∽△CBD，根据“相似三角形的对应边成比例”，计算得到旗杆的高度CD。
师：请写出推理计算过程。（指名板演，集体评价）
解∵AE∥CB，　　
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵ＡＢ⊥ＥＢ，ＣＤ⊥ＢＤ，
∴∠ABE＝∠CDB＝90°，
∴△ABE∽△CBD
∴ 即CD=
师生归纳：
方法一、“影子妙用” —利用阳光下的影子测量物体的高度。（教师板书）
练一练：在阳光下，身高1.6米的小明某一时刻在地面上的影长为1.2米，测得同一时刻旗杆在地面上的影长为7.5米，试求旗杆的高度。
2、联系拓广：爱动脑筋的王华想借助标杆和皮尺测量旗杆的高度，猜想他可能用什么办法？（学生交流、发表意见后，教师出示图2，引导观察。）
教师点拨：如果你是这名观测者，在你和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，当你前后调整自己的位置，使你的眼睛（点A）、标杆顶端（点E）、旗杆顶部（点G）恰好在同一直线上时，同伴开始测量你的脚与标杆底部、脚与旗杆底部的距离，再加上你的身高数据，即可求出旗杆的高度。
请同学整理推理、计算过程（指名学生书写或表达，同伴评价）
图2
解 如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M，
∵AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，
∴EF ∥CN，AN ∥BD，
∴四边形ABFM、ABDN、MFDN均为矩形，
∴ AM=BF， AN=BD，AB=MF=ND
∵∠AME＝∠ANC＝90°
∠EAM＝∠CAN（公用角），
∴△AME∽△ANC，
∴
且EM = EF- MF = EF - AB，DN＝AB ，只要求出CN，可得旗杆的高度
CD = CN + DN = CN + AB
方法归纳：
方法二、“三点共线” —利用标杆测量物体的高度。（教师板书）
练一练：如上图，AB=1.6m，EF=2m，,BF=1m，FD=15m,求旗杆的高度CD。
3.问题拓展：如果只有一个小镜子和皮尺，你能想出测量旗杆高度的办法吗 （学生分组讨论，教师适当点拨，代表发言。）
生：选一名学生作为观测者，在他与旗杆之间的平地上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端。同伴此时测量他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离、眼睛离地面的高度，就能求出旗杆的高度。
师：说的很好！你能写出具体的推理和计算过程吗？（指名学生表达，集体整理）
图3
解：∵∠AEB与∠CED 分别是入射角、反射角的余角，入射角＝反射角，
∴∠AEB＝∠CED
∵人、旗杆都垂直于地面，即AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠B＝∠D＝90°
∴△AEB∽△CED ∴
BE、 DE、 AB是已测量的数据，因此可以求出旗杆CD的高度。
方法归纳：
方法三、“镜子反射”—利用镜子的反射原理测量旗杆的高度。（教师板书）
练一练：身高1.6米的亮亮在离镜子1米远的地方刚好看到旗杆顶端在镜子中的像，此时镜子与旗杆底部的距离为6米，如果眼睛到头顶的距离忽略不计，求旗杆的高度。
（三）归纳应用
1、说一说：目前你有哪些测量物体间距离的方法？基本理论依据是什么？（学生自由发言，集体归纳）
①全等三角形测距离---构造全等三角形---“全等三角形对应边相等”；
②相似三角形测高（或距离）--构造相似三角形—相似三角形对应边成比例。
2、随堂检测（出示练习题，学生自主完成后，交流方法和结果）
①如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=9m，求树高AB。
②如图，在一次数学测验活动中，小明到操场测量旗杆AB的高度。他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）。当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔、旗杆的顶端M、A共线，同时，眼睛C与它们的底端N、B也恰好共线。此时测得DB=50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.65m，铅笔MN的长为0.16m，请你帮助小明计算出旗杆AB的高度（结果精确到0.1m）。
教师点拨：过点C作CF⊥AB于Ｆ，交ＭＮ于点E，利用“相似三角形对应边上的高度之比等于相似比”来计算。
（四）、课堂小结 本节课你有哪些收获和感悟？向同伴说说。
（1）学习了根据相似三角形的性质和判别方法如何测量不能直接到达顶部的物体高度的方法，如①“影子妙用”；②“三点共线”；③“镜子反射”。还可以借鉴练习题中小明的方法测量物体的高度等等。
（2）数学知识可以解决许多生活实际问题，要多动脑筋，勤于探究，坚持合作学习，才能学好数学，用好数学。
（五）、课后作业
结合本节所学方法测量操场上的旗杆、大树、路灯、篮球架等不能直接测量的物体的高度，并填写“小组活动记录表”。（注意作业完成后教师要及时予以点评，小组汇报总结时讨论比较各种方法的优点和缺点，寻求最优化方案；自评、互评实践过程的表现。）
附 板书设计
4.6 利用相似三角形测高
方法1. “影子妙用”（图）
方法2. “三点共线”（图）
方法3. “镜子反射”（图）
学习方法：观察测量、收集数据、数学建模、推理计算
理论依据：相似三角形对应边成比例
附 《利用相似三角形测高》活动记录表一
第___小组 组长： 组员：
测量对象____ 测量图示 计算过程 计算结果
数据 人的身高____m 物体高度____m
人的影长____m
物体影长____m
收获与感悟
《利用相似三角形测高》活动记录表二
第___小组 组长： 组员：
测量对象___ 测量图示 计算过程 计算结果
数据 眼睛离地面的高度___m 物体高度 __ m
标杆长度____ m
人与标杆间距离____m
人与物体间距离____m
收获与感悟
《利用相似三角形测高》活动记录表三
第___小组 组长： 组员：
测量对象___ 测量图示 计算过程 计算结果
数据 眼睛离地面的高度___ m 物体高度___m
人与镜子间距离____m
物与镜子间距离____m
收获与感悟
四、教学反思
本节课的内容是对相似三角形的性质和判别条件的复习以及实际应用。它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，借助学生已有的相似三角形的知识，探究不同的解决问题的方案加以解决。探究过程中渗透数学知识和建模思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识。
1. 本节课的教学设计力求以学生为主体，以活动为手段，学生的能力发展为目的，采用分组活动、小组合作、全班交流研讨的探究方法进行教学，充分调动了学生原有的生活经验和知识基础，去解决生活中的实际问题，学生学习积极性很高。为了让学生通过合作探究，感悟知识，自我发现，得出结论，我分层次设置问题，为学生展现才华提供机会，使他们体验成功的喜悦，轻松愉快地学习数学，在情境中提高了他们应用数学的意识，感受到了数学的应用价值。
2. 在教学内容的安排上，为了让学生有足够的观察、思考、交流的空间，领悟测量的原理和方法，“慢”中求真、求实，我把理论积淀作为课堂教学重点内容，把实践活动作为课后作业进行安排。由于分组合作，可操作性强，学生们人人参与，每个人的知识和能力都得到提升。既积累了生活经验和数学活动经验，提高了理论联系实际的能力，同时为学生拓展思维、培养创新能力创造了条件。
3. 在教学前和教学过程中，要充分设想学生在探究测量原理和实际测量时可能出现和遇到的问题及需要注意的事项，并给予详细的解答。

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