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第六章 立体几何初步
6.4.2 平面与平面平行(2)
1.借助长方体，通过直观感知、操作确认，理解平面与平面平行的判定定理，并会初步运用；
2.能运用有关平行的判定定理和性质定理，论证线线平行、线面平行、面面平行；
3.让学生在发现中学习，培养学生抽样概括、推理论证等素养．
教学重点：平面与平面平行的判定定理．
教学难点：平面与平面平行的判定定理的应用．
一、新课导入
回顾：如何判断一条直线与一个平面平行？
答案：线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.简单来说，就是要证“线面平行”，先证“线线平行”.
追问1：那么如何证明两个平面平行呢？
回答：从定义看，证明两平面无交点即可.
类比线面平行的判定，是否可以通过“线面平行”来证明“面面平行”？接下来我们就一起来探讨一下.
设计意图：通过复习线面平行的判定定理，引出面面平行的判定.先引导学生提出猜想，后面再进行探究，启发学生思考.
二、新知探究
问题1：一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
探究：长方体中，A′D′∥平面ABCD，那么过A′D′的平面与平面ABCD平行吗？
如图，平面A′B′C′D′∥平面ABCD，平面A′BCD′∩平面ABCD.
答案：不一定.
问题2：一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
答案：一个平面内的两条直线可能平行，也可能相交，故要分情况讨论
追问1：当两条直线平行时，两平面是否平行？（借助长方体探究）
答案：①如图，长方体中，A′D′，B′C′∥平面ABCD，A′D′∥B′C′时，平面A′B′C′D′∥平面ABCD；
②如图，长方体中，A′D′，EF∥平面ABCD，A′D′∥EF时，平面A′EFD′平面ABCD；
综上所述，两条直线平行时，两平面可能平行，也可能相交.
追问2：当两条直线相交时，两平面是否平行？（借助长方体探究）
答案：平行.
追问3：综合上述探究过程，试猜想如何判定两个平面平行？
答案：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
下面我们证明此猜想的正确性.
已知：，，，∥，∥.
求证：∥.
证明：假设，则，与相交或平行．
①若，与都相交， ∴相交，与∥，∥矛盾．
②若，中一条与相交，另一条与平行，不妨设相交，∥．
∴相交，与∥矛盾．
综上所述，假设不成立，故∥.
面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
符号语言：若，，，∥，∥，则∥.
注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两条线都在面内，“，”；②两线相交，“”；③两线与另一平面平行，“∥，∥”.
在空间中，常用此定理来由“线面平行”来证明“面面平行”.至此，“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”之间的相互推导就已学完了，具体如下：
判断：下列命题是否正确？
（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则∥；
（2）若平面内有无数条直线与平面平行，则∥；
（3）平行于同一直线的两个平面平行；
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面；
（6）一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，则两个平面平行.
答案：（1）错误.没有说明两条直线相交，条件不足，面面平行的判定定理不成立；
（2）错误.线不在多，重在相交，无数条直线并不能保证有相交的两条直线，判定定理不成立；
（3）错误.平行的传递行只能在线线之间传递或面面之间传递，不可在线面之间传递；
（4）错误.两个平面分别经过两条平行直线，那这两个平面可能平行也可能相交；
（5）错误.平面外的一条直线可能与已知平面相交，此时就不能作出与已知平面平行的平面.
（6）正确.任何一条直线则必能找到相交的两条直线，面面平行的判定定理成立.
思考：“平面内存在着不共线的三点到平面的距离均相等”是“∥”的什么条件？
答案：必要不充分条件.理由如下：
分别讨论必要性与充分性.
①必要性显然成立．当∥时，平面内必存在着不共线的三点到平面的距离均相等.
②充分性不成立．
如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，平面AA′C′C中有不共线的三个点A、A′、C到平面BB′D′D的距离相等，但平面AA′C′C与平面BB′D′D相交，不平行，故充分性不成立.
三、应用举例
例1 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′．求证：平面AB′D′∥平面C′BD．
证明：在长方体ABCD-A′B′C′D′中，易证得BD∥B′D′．
又∵B′D′平面AB′D′，BD平面AB′D′，
∴BD∥平面AB′D′． 同理BC′∥平面AB′D′．
又∵BDBC′=B，且BD平面C′BD，BC′平面C′BD，
∴平面AB′D′∥平面C′BD（面面平行的判定定理）．
总结：利用判定定理证明两个平面平行的一般方法：
（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
例2 如图，点P在SA上，从点P处将三棱锥形木块S-ABC锯开，使得截面与底面ABC平行，怎么在侧面上画线？
解：如图，过点P在侧面SAB上作AB的平行线，交SB于点E；再过点P在侧面SAC上作AC的平行线，交SC于点F，连接EF.则截面PEF就是所求.
下面证明平面PEF∥平面ABC：
∵PE∥AB，AB平面ABC，PE平面ABC，
∴PE∥平面ABC.同理可证PF∥平面ABC.
又∵PE平面PEF，PF平面PEF，PEPF=P，
∴平面PEF∥平面ABC.
设计意图：通过例题，熟悉面面平行的判定定理的解题思路，并提醒学生注意判定定理的注意事项．
四、课堂练习
1.设，为两个不同的平面，则∥的充要条件是（ ）
A.内有无数条直线与平行 B.，平行于同一条直线
C.，平行于同两条直线 D.内的任何直线都与平行
2.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是棱BB′和棱CC′的中点.
（1）求证：平面B′DF∥平面ACE；
（2）试问平面B′DF截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由.
3.如图，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，点M是线段B′D′上的一个动点，E、F分别是BC、CM的中点.
（1）求证：EF∥平面BDD′B′；
（2）设G是棱CD上的一点，问：当G在什么位置时，平面GEF∥平面BDD′B′.
参考答案：
1.A选项，无数条直线可能都是平行的，不能保证有相交的两条直线，错误；
B选项，线线之间平行可以传递，面面之间平行可以传递，但是线面之间不可传递，错误；
C选项，选项中两条直线不一定相交，面面平行的判定定理不成立，错误；
D选项，内的任何直线都与平行，则一定能找出两条相交直线平行，判定定理成立，正确.
故选D选项.
2.（1）证明：连接EF
∵E、F分别是棱BB′和棱CC′的中点
∴EF∥BC∥AD，且EF=BC=AD，可得四边形AEFD为平行四边形
则AE∥DF，又AE平面ACE，DF平面ACE，∴DF∥平面ACE
∵B′E∥CF，且B′E=CF，
∴四边形B′ECF为平行四边形，则CE∥B′F
又CE平面ACE，B′F平面ACE，∴B′F∥平面ACE
又DFB′F =F，∴平面B′DF∥平面ACE
（2）取AA′的中点G，连接DG，B′G，
可得B′G∥AE且B′G=AE，
由（1）知，DF∥AE且DF=AE，
则B′G∥DF且B′G=DF，
∴四边形DGB′F为平行四边形，
又B′G=B′F，
∴四边形DGB′F为菱形.
3.（1）证明：连接BM．
∵E、F分别是BC、CM的中点，∴EF∥BM．
又EF平面BDD′B′，BM平面BDD′B′， ∴EF∥平面BDD′B′．
（2）解：当G为CD中点时，平面GEF∥平面BDD′B′．理由如下：
取CD中点G，连接EG、MG，
∵E、G分别是BC、CD的中点，∴EG∥BD．
又EG平面BDD′B′，BD平面BDD′B′，∴EG∥平面BDD′B′．
又EF∥平面BDD′B′，EGEF=E，∴平面GEF∥平面BDD′B′．
五、课堂小结
六、布置作业
教材第223页习题6-4A组第1、3、5题．

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