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第六章 立体几何初步
6.5.2平面与平面垂直（1）
1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小；
2.理解两平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用；
3.通过对二面角和平面与平面垂直定义的理解，培养学生数学抽象素养；
4.通过应用平面与平面垂直的性质定理，培养学生逻辑推理素养．
教学重点：二面角的概念及求法，面面垂直的定义和性质定理．
教学难点：面面垂直的性质定理的应用．
一、新课导入
情境：观察下列各组图片，这些图片都给我们什么样的印象呢？
答案：平面与平面相交．
为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度．为此，我们需要研究两个平面所成的角．
设计意图：通过生活中面面相交的实例，给学生以面面相交的直观印象，方便后面的学习．
二、新知探究
问题1：随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？
答案：引入平面与平面的夹角——二面角.
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.如图，以直线AB（l）为棱、半平面，为面的二面角，记作二面角或.
问题2：日常生活中，我们常说：“把门开的大一些”是指哪个角大一些？
答案：如图，∠AOB、∠CDE等
追问1：受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
答案：用平面角的大小来刻画二面角的大小：
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角.如图中的∠AOB就是二面角的平面角.
平面角是直角的二面角称为直二面角.
说一说：教室的墙面与地面构成二面角，分别指出构成二面角的面、棱、平面角及其度数.
答案：二面角的面：墙面和地面；二面角的棱：墙面与地面的交线；二面角的平面角：如图，；的度数：90°.
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作⊥.
【概念巩固】
（1）二面角的平面角的大小，与棱上点的选择是否有关？
（2）二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系？
（3）二面角的取值范围是多少？
答案：（1）如图，∠AOB是二面角的平面角，在l上任取一异于O的点O′，分别作A′O′和B′O′与l垂直，
∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′.
又∠AOB与∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′.
故二面角的平面角的大小，与棱上点的选择无关.
（2）如图，∠AOB是二面角的平面角，
∴AO⊥l，BO⊥l，
又AO∩BO=O，AO ，BO ，
∴l⊥平面ABO.
（3）[0°，180°].当平面角为0°时，两半平面重合；当平面角为180°时，两半平面共面，组成了一整个平面.
问题3：在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？怎么画？
探究：不妨设黑板所在平面为，地面所在平面为，它们的交线为l.显然，⊥.
答案：在平面内作直线m⊥l，则m⊥．
问题4：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，那么直线A1A与平面ABCD垂直吗？
答案：垂直．
追问1：平面A1ADD1内还有哪些直线与平面ABCD垂直？
答案：D1D，其它与AD垂直的直线．
追问2：根据前面我们的探究，你能猜想面面垂直有什么性质吗？
答案：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
下面我们证明此猜想是否成立．
已知：.
求证：.
证明：在平面内作直线BC⊥MN，
则∠ABC是二面角的平面角.
∵⊥，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.
又AB⊥MN，BCMN=B，BC ，MN ，
∴AB⊥.
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
符号语言：若，则．
注意：运用定理时三个条件缺一不可：①“面面垂直”，；②“线在面内”，；③“线线垂直”，.
作用：此定理揭示了由“面面垂直”可以推出“线线垂直”.
三、应用举例
例1 如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100 m后升高多少米？（精确到0.1 m）
解：在平面DBC内，过点D作BC的垂线，垂足为点G，过点D作DH垂直于过BC的水平面，垂足为H，连接GH.
∵DH⊥平面BCH，BC 平面BCH，∴DH⊥BC.
又DG∩DH=D，DG、DH 平面DGH，∴BC⊥平面DGH.
又GH 平面DGH，∴GH⊥BC.
∴∠DGH就是坡面DGC与水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH=60°.
∴DH=DGsin 60°=CDsin 30°sin 60°=100sin 30°sin 60°=25≈43.3（m）.
即沿直道前进100 m，升高约43.3 m.
例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面B1BCC1内，MN⊥BC于点M，判断MN与AB的位置关系，并说明理由.
解：由题意可知，平面B1BCC1⊥平面ABCD，交线为BC.
∵MN 平面B1BCC1，且MN⊥BC，
∴MN⊥平面ABCD.
又AB 平面ABCD，
∴MN⊥AB.
例3 证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
解：已知：如图，
求证：.
证明：假设，如图，设，过点在平面内作直线.
∴.
已知，，这与“过一点只有一条直线与平面β垂直”矛盾，∴不成立.
即.
设计意图：通过例题，熟悉面面垂直的性质定理的应用以及定理应用时的注意事项.
四、课堂练习
1．已知m、n、l是直线，、是平面，⊥，∩=l，n ，n⊥l，m⊥，则直线m与n的位置关系是（ ）
A.异面 B.相交但不垂直 C.平行 D.相交且垂直
2．已知两个平面垂直，下列命题错误的有 .
①一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
3.如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面和上，它们都垂直于AB，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD= .
4.在三棱锥P-ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，且CA=CB.
（1）证明：BC∥平面PDE；
（2）若平面PCD⊥平面ABC，证明：AB⊥PC.
参考答案：
1.证明：∵⊥，∩=l，n ，n⊥l，∴n⊥.又m⊥，∴m∥n.
填①③④，理由如下：
一个平面内只有垂直于交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，故①③错误；因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，故②正确；过一个平面内任意一点作交线的垂线，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，故④错误.
3.答案为，理由如下：
连接BC，∵AC⊥AB，
∴，
在直二面角中，∵BD⊥AB，
∴BD⊥平面，∴BD⊥BC，
∴.
4.（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
又DE 平面PDE，BC平面PDE，
∴BC∥平面PDE.
（2）证明：∵CA=CB，D为AB中点，AB⊥CD，
又平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，
∴AB⊥平面PCD，
又PC 平面PCD，
∴AB⊥PC.
五、课堂小结
1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
2、以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角.
3、面面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
面面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
符号语言：若，则．
注意：运用定理时三个条件缺一不可：①“面面垂直”，；②“线在面内”，；③“线线垂直”，.
六、布置作业
教材第233页练习第1、2、4题．

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