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第六章 立体几何初步
6.5.2 直线与平面垂直(2)
1.使学生经历探索面面垂直的判定定理的过程，初步掌握定理的应用；
2.培养学生观察、分析、抽象、概括的思维能力，进一步感受化归、类比等思维方法；
3.通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣．
教学重点：平面与平面垂直的判定定理．
教学难点：平面与平面垂直的判定定理的应用．
一、新课导入
情境：（1）为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直？
（2）如果你是一名质检员，你会怎样去判断一面墙与地面是否垂直呢？
这两个问题都可以转化为两个平面垂直的问题，今天我们就来讨论如何判断两个平面垂直。
设计意图：通过情境导入，给学生以面面垂直的直观印象，引出对面面垂直判定的思考．
二、新知探究
问题1：我们知道，在长方体中，相邻两个面是互相垂直的，你能用二面角的知识来解释为什么吗？
分析：如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，我们以平面ABCD和平面CDD′C′为例来探究．
追问1：平面ABCD和平面CDD′C′所成的二面角的平面角是？
答案：∠BCC′（或∠ADD′）．
追问2：所求二面角是否为直二面角？
答案：是的．故长方体中相邻的两个面都是互相垂直的．
问题2：将正方形ABCD沿着对角线BD折起,如何使得平面ABD与平面CBD垂直？
分析：要使面面垂直，只需平面ABD和平面CBD所成的二面角的平面角为直角即可．
追问1：如何构造二面角的平面角？
答案：连接AC交BD于点O，可得AO、CO都与BD垂直，则当正方形折起时，∠AOC即平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角.
追问2：如何使∠AOC为直角？
答案：AO⊥CO即可.
追问3：此时AO与平面CBD是什么位置关系？
答案：垂直.
.
问题3：事实上，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直.系有铅锤的线是垂直于地面的，如果系有铅锤的线紧贴墙面，就说明墙面垂直于地面. 这种判断方法的理论依据是什么？
猜想：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
下面证明猜想的正确性：
已知：如图，.
求证：.
证明：假设，∵，∴.
在平面内过点B作直线，
则∠ABC是二面角的平面角.
而AB⊥BC，故是直二面角，
∴.
由此，我们就得到了：
面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
符号语言：若，则．
追问2：现在你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？
答案：不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直.
我们知道，可以通过“线线垂直”判定“线面垂直”；可以通过“线面垂直的定义”得到“线线垂直”；可以通过“线面垂直”判定“面面垂直”；同时“面面垂直的性质”得到“线面垂直”．这种直线、平面之间的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的一种重要的思想方法.
【概念巩固】
思考：判断下列命题是否正确，并简要说明理由.
（1）若∥，则；
（2）若，则；
（3）经过已知平面的垂线，有且只有一个平面与已知平面垂直.
答案：（1）正确，理由如下：
∵∥，∴内必存在一条直线∥.
又，∴.又，∴.
（2）正确，理由如下：∵，∴∥或b .
又，∴结合（1）中结论可得.
错误.理由如下：
不妨设平面的垂线为，显然，过直线的平面有无数个.根据面面垂直的判定定理，过直线的平面都与平面垂直，故命题错误.
三、应用举例
例1 如图，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，四个侧面都是矩形.
求证：平面BB′C′C⊥平面ABCD.
证明：∵四边形BB′C′C是矩形，∴CC′⊥BC.
同理可得CC′⊥CD.
又BC∩CD=C，BC、CD 平面ABCD，
∴CC′⊥平面ABCD.
又CC′ 平面BB′C′C，∴平面BB′C′C⊥平面ABCD.
例2 如图，在四面体A′-ABC中，A′A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA′=AB.
（1）四面体中有几组互相垂直的平面？
（2）求二面角A-A′B-C和A′-BC-A的大小.
解：（1）∵A′A⊥平面ABC，A′A 平面A′AB，
∴平面A′AB⊥平面ABC，同理平面A′AC⊥平面ABC.
∵A′A⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A′A⊥BC.
又AB⊥BC，A′A 平面A′AB，AB 平面A′AB，A′A∩AB=A，
∴BC⊥平面A′AB.∵BC 平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′AB.
故四面体中互相垂直的平面为：
平面A′AB⊥平面ABC，平面A′AC⊥平面ABC，平面A′BC⊥平面A′AB.
（2）由（1）知，平面A′BC⊥平面A′AB，
∴二面角A-A′B-C为90°.
∵BC⊥平面A′AB，∴A′B⊥BC.
又AB⊥BC，∴∠A′BA是二面角A′-BC-A的平面角.
在Rt△A′AB中，A′A=AB，
∴∠A′BA=45°，即二面角A′-BC-A为45°.
设计意图：通过例题，熟悉面面垂直的判定定理的解题思路，并提醒学生注意判定定理的注意事项和解题步骤．
四、课堂练习
1.已知，是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若，则∥； ②若∥，则；
③若∥，m⊥，，则⊥； ④若，∥，则∥.
其中所有真命题的序号有 .
2.一个三棱锥的四个面中最多有 对面面垂直.
3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.
求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD.
4.如图，正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=4，AA′=，M、N分别是A′C′、AC的中点，E在侧棱AA′上，且A′E=2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN.
参考答案：
1.答案②③.
①若，则∥或 ，①错误；
②∵∥，∴，又，∴，②正确；
③∵∥，m⊥，∴，又，∴，③正确；
④若，∥，则∥或、异面，④错误.
故真命题有②③.
2.答案为：3.
如图，∠ABD=∠ABC=∠CBD=90°，
∵AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，BC、BD 平面BDC，
∴AB⊥平面BDC，又AB 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BDC，
同理可得平面ABC⊥平面ABD，平面ABD⊥平面BDC.
假设平面ABC⊥平面ADC，过D做DM⊥AB，垂足为M，
∴DM⊥平面ABC，又BD⊥平面ABC，∴DM∥BD，显然不成立，
故假设不成立，平面ABC与平面ADC不垂直，
同理，平面ADC与其他平面也不垂直，故一个三棱锥的四个面中最多有3对面面垂直.
3.（1）连接AC、OE，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC与BD交于中心O点，O为AC、BD中点.
又点E是PC的中点，∴OE∥AP.
又OE 平面BDE，AP平面BDE，
∴PA∥平面BDE.
（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC.
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又AC 平面PAC，PO 平面PAC，PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.
4.在正三棱锥中，∵M、N分别是A′C′、AC的中点，
∴MN=AA′=，BN⊥AC，A′M=AN=2，
又平面ACC′A′⊥平面ABC，∴BN⊥平面ACC′A′，∴BN⊥EM.
∵，，
∴，∴EM⊥EN，
又EN∩BN=N，EN、BN 平面BEN，∴EM⊥平面BEN，
又EM 平面MEB，∴平面MEB⊥平面BEN.
五、课堂小结
面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
符号语言：若，则．
我们知道，可以通过“线线垂直”判定“线面垂直”；可以通过“线面垂直的定义”得到“线线垂直”；可以通过“线面垂直”判定“面面垂直”；同时“面面垂直的性质”得到“线面垂直”．这种直线、平面之间的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的一种重要的思想方法.
六、布置作业
教材第235页习题6-5A组第4、7题．

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