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第四章 三角恒等变换
本章小结
1．进一步理解同角三角函数关系，经历推导两角差余弦公式的过程．
2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，进一步了解它们的内在联系．
3．能用上述公式进行简单的三角恒等变换．
教学重点：简单的三角恒等变换．
教学难点：三角恒等变换的应用．
PPT课件．
一、导入新课
问题1：阅读课本第159页，绘制本章知识结构图．
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结．
预设答案：
设计意图：通过阅读课本，让学生明晰学习目标，完善搭建本章知识结构图．
问题1：向量在三角恒等变换中的有哪些应用？
师生活动：学生回忆，思考．
预设答案：由向量的数量积推导出两角差的余弦公式，以这个公式为基础，根据和、差、倍、半角的联系，用逻辑推理的方法得到其他公式．
设计意图：回顾向量在推导两角差的余弦公式的作用﹒
问题2：为什么说两角差的余弦公式是最基本的公式？
师生活动：学生回忆，思考．
预设答案：因为两角差的余弦公式是推导其他公式的依据．
设计意图：回顾推导和、差、倍、半公式的方法、依据．
问题3：两角和与差的正弦、余弦、正切公式有哪些？
师生活动：学生回忆、教师点拨．
预设答案：
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，
cos(α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ，
tan(α±β)＝．
设计意图：理解正弦定理，掌握公式变形．
问题4：二倍角的正弦、余弦、正切公式有哪些？
师生活动：学生回忆、教师点拨．
预设答案：
sin2α＝2sinαcosα，
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan2α＝．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力．
问题5：有关公式的逆用、变形有哪些？
师生活动：学生回忆、教师点拨．
预设答案：
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1 tanαtanβ)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力．
引语：这节课，对本章进行一个小结﹒（板书：本章小结）
★资源名称：【知识小结】三角恒等变换总结．
★使用说明：本资源为《三角恒等变换》的专题总结，归纳整理了该知识点的相关概念，带领学生梳理知识脉络，加深理解．
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
二、新知探究
1．三角函数求值
问题6：三角函数求值主要有哪些类型？
师生活动：学生分析、老师点拨．
预设答案：三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)给角求值，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)给值求值，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)给值求角，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力．
2．三角函数的化简与证明
问题7：如何进行三角函数的化简与证明？
师生活动：学生分析、老师点拨﹒
预设答案：三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力．
3．三角恒等变换及应用
问题8：三角恒等变换的应用有哪些？
师生活动：学生分析、老师点拨﹒
预设答案：如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
比如求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式求解．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力．
三、巩固练习
例1已知＝－，且<α<π，求的值．
师生活动：学生分析解题过程．
预设答案：＝＝2cosα．
∵＝＝－，∴tanα＝－3，
∵α∈，∴cosα＝，
∴＝cosα＝2×()＝－．
方法总结：注意与之间的关系，再结合二倍角的正弦公式及两角和差的公式．
设计意图：进一步掌握三角函数求值的技巧和方法．
例2 ．
师生活动：学生分析，教师板书解题过程．
预设答案：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝2．
解法二：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝2﹒
方法总结：三角函数式的化简，主要从三方面寻求思路；一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．
设计意图：进一步掌握利用三角公式化简、证明﹒
例3已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(cosx，2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1．
(1)求函数f(x)的最小正周期．
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
(3)画出函数g(x)＝f(x)，的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心．
师生活动：学生分析，并写解题过程﹒教师再进行补充，先化简函数式为的形式，然后求解．
预设答案：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin．
(1)T＝＝π．
(2) ，（k∈Z）．
故函数f(x)的单调递减区间为，（k∈Z）．
(3)函数g(x)＝f(x)，的图像如图所示：
从图像上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心，对称中心为．
追问1：将例3的条件变为“已知f(x)＝sin＋sin＋2cos2x”，试求的x的取值范围．
师生活动：学生分析，思考，写出解题过程，小组讨论．
预设答案：＝sin＋sin＋2cos2x
＝sin2xcos＋cos2xsin＋sin2xcos－cos2xsin＋cos2x＋1
＝sin2x＋cos2x＋1＝．
∵，∴，∴，
∴(k∈Z)，∴(k∈Z)．
∴的x的取值范围是．
方法总结：三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
设计意图：巩固三角公式在研究三角函数性质中的应用．
【板书设计】
本章小结
二、新知探究 三、巩固练习
1．三角函数求值 例1
2．三角函数的化简与证明 例2
3．三角恒等变换及应用 例3
四、课堂小结
问题9：
（1）三角恒等变换的基本方向是什么？
（2）三角恒等变换的基本技巧是什么？
（3）三角恒等变换的基本目标是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．
预设答案：
（1）基本方向是变角、变函数、变结构．
（2）基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角分析法)；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理(如1的代换)；变量集中(引进辅助角)．如acosθ＋bsinθ＝sin(θ＋φ)，(φ为辅助角)．
（3）基本目标是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名称)尽量少，次数尽量低；分母中尽量不含三角函数；尽可能不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论．
设计意图：通过梳理本章的内容，能让学生更加明确本章的有关知识．
五、目标检测设计
1．（2020年全国Ⅲ卷）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=( )
A．–2 B．–1 C．1 D．2
设计意图：运用两角和的正切公式解题．
2．（2020年全国Ⅲ卷）已知，则( )
A． B． C． D．
设计意图：运用两角和的正弦公式解题．
3．（2020年北京卷）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
设计意图：运用两角和的正弦公式的应用．
4．（2020年江苏卷）已知=，则的值是________．
设计意图：运用二倍角的正弦公式解题．
5．（2019年江苏卷）已知，则的值是________．
设计意图：运用两角和的正切、正弦公式解题．
【参考答案】
1．答案：D．
解析：因为，
故，
令，则，
整理得，
解得，即．
2．答案：B．
解析：由题意可得：，
则，，
从而有：，即﹒
3．答案：（均可）．
解析：=，
所以，解得，故可取．
4．答案：．
解析：，
．
5﹒答案：．
解析：由，
可得，
解得或；
；
当时，上式，
当时，上式=．
综上，．

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