资源简介

第六章　立体几何初步
本章小结
1．本章以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系．
2．用数学语言表达有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证．
3．了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法．
4．运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方法认识和探索空间图形的性质，建立空间观念．
教学重点：
（1）能利用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．
（2）会用三种语言表述几何问题及其相互转化．
教学难点：平行关系、垂直关系的灵活应用．
PPT课件．
一、导入新课
1、知识回顾
问题1：阅读课本第250页，绘制本章知识结构图．
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结．
预设的答案：用知识结构框图对本章的知识要点总结，如图所示．
设计意图：通过阅读课本，让学生明晰学习目标，完善搭建本章知识结构图
2、问题导入
问题1：长方体在研究图形位置关系时发挥了怎样的作用？
师生活动：学生回忆，思考．
预设的答案：长方体是立体几何的重要模型，而这一模型不仅与空间图形“从整体到局部”的认识视角相契合，还能帮助我们获得学习空间图形的有效方法，是认识空间点线面位置关系的载体．
设计意图：回顾长方体在学习空间点、线、面位置关系中的应用．
问题2：在研究平行或垂直的判定定理时，空间问题是如何转化为平面问题解决的？
师生活动：学生回忆，思考．
预设答案：空间问题是借助长方体、正方体、四面体等转化为平面问题解决的．
设计意图：回顾前面学行或垂直的判定定理，以及把空间问题转化为平面问题的方法．
问题3：在几何元素平行、垂直的性质定理与判定定理之间有什么关系？
师生活动：学生回忆、教师点拨．
预设答案：（1）常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．
（2）面面垂直、线面垂直及线线垂直间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
设计意图：明确平行、垂直之间的相互转化．
引语：这节课，对本章进行一个小结–第六章小结．（板书）
二、新知探究
问题4：证明点共线问题的常用方法是什么？
师生活动：学生回忆、教师点拨．
预设答案：证明点共线问题的常用方法
基本事实法 先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上
同一法 选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上
追问1：证明线共点问题的方法是什么？
师生活动：学生回忆、教师点拨．
预设答案：证明线共点问题的方法：证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力．
问题5：证明线性、线面、面面平行的依据是什么？
师生活动：学生回忆、教师点拨．
预设答案：（1）证明线线平行的依据，①平面几何法 常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行；②基本事实4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理．
（2）证明线面平行的依据：①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质．
（3）证明面面平行的依据，①定义；②面面平行的判定定理；③垂直于同一直线的两平面平行；④面面平行的传递性．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力．
问题6：证明线面垂直的常用方法是什么？
师生活动：学生回忆、教师点拨．
预设答案：证明线面垂直的常用方法：（1）判定定理；（2）垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥αb⊥α)；（3）面面平行的性质(a⊥α，α∥βa⊥β)；（4）面面垂直的性质．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力．
三、巩固练习
例1下图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD 是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H为BC的中点，求证：FH∥平面EDB．
师生活动：学生分析、写解题过程．
预设答案：连接AC交BD于点G，则G为AC的中点．
连接EG，GH，∵H为BC的中点，∴GHAB．
又EFAB，∴EFGH，∴四边形EFHG为平行四边形，
∴EG∥FH，∵EG 平面EDB，FH平面EDB，∴FH∥平面EDB．
设计意图：进一步掌握证明平行关系的技巧、方法．
例2如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E是AB的中点，点F是SC的中点．求证：
(1)EF⊥CD；
(2)平面SCD⊥平面SCE．
师生活动：学生分析，教师板书解题过程．
预设答案：(1)如图，连接AF，BF，AC，
由已知SA⊥平面ABCD，且AC 平面ABCD，得到SA⊥AC．
在Rt△SAC中，点F是SC的中点，则AF＝SC．
由于底面ABCD是正方形，则AB⊥BC．
又SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．
所以BC⊥平面SAB．所以SB⊥BC．
在Rt△SBC中，点F是SC的中点，
则BF＝SC，故AF＝BF．
由点E是AB的中点，得到EF⊥AB，而AB∥CD，所以EF⊥CD．
(2)由已知SA⊥平面ABCD，
且AB平面ABCD，得到SA⊥AB．
由于底面ABCD是正方形，
则AB⊥BC．又SA＝AB，
所以Rt△SAE≌Rt△CBE．
所以SE＝CE．而点F是SC的中点，则EF⊥SC．
结合(1)EF⊥CD，且SC∩CD＝C，
所以EF⊥平面SCD．
因为EF平面SCE，故平面SCD⊥平面SCE．
设计意图：进一步掌握证明垂直关系的方法、技巧．
★资源名称：【例题讲解】外接球与内切球的体积之比．
★使用说明：本资源为《外接球与内切球的体积之比》的例题讲解，通过剖析典型例题，达到再次讲解知识点的目的，帮助巩固所学知识，加深学生对于知识的理解和掌握．
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
例3正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切（如右图）．求：
(1)棱锥的表面积；
(2)内切球的表面积与体积．
师生活动：学生分析，写解题过程．
预设答案：(1)底面正三角形内中心到一边的距离为××2＝，
则正棱锥侧面的斜高为＝．
∴S侧＝3××2×＝9．
∴S表＝S侧＋S底＝9＋·(2)2＝9＋6．
(2)设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r．
∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC＝·S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r＝(3＋2)r．
又VP－ABC＝××(2)2×1＝2，
∴(3＋2)r＝2，
可得r＝＝＝－2．
S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π．
V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π．
设计意图：掌握解决球的切接问题的方法、技巧．
【板书设计】
本章小结
一、导入新课 三、巩固练习
1、知识回顾 例1
2、问题导入 例2
二、新知探究 例3
四、归纳小结
问题7：（1）球及其切、接问题的解决方法是什么？（2）证明点、直线共面问题的常用方法是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．
预设答案：
（1）球及其切、接问题的解决方法：
①与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或切点、接点作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
②若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
（2）证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法 先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法 先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合
设计意图：通过梳理本章的内容，能让学生更加明确本章的有关知识．
五、目标检测设计
1．（2020年天津卷）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A．　　B．　　C．　　D．
设计意图：考查球的切接问题．
2．（2020年全国Ⅰ卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（　　）
A． B． C． D．
设计意图：考查几何体侧面积计算．
3．（2020年全国Ⅰ卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（　　）
A．　　B．　　C．　　D．
设计意图：考查球的切接问题．
4．（2020年新高考Ⅱ卷）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________．
设计意图：考查几何体的体积计算．
5．（2020年全国Ⅰ卷）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P ABC的体积．
设计意图：考查线面位置关系的证明、求体积．
参考答案：
1．答案：C．
解析：这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以这个球的表面积为．
2．答案：C．
解析：如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）．
3．答案：A．
解析：设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积．
4．答案：．
解析：因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，所以．
5．解：（1）连接，
为圆锥顶点，为底面圆心，平面．
在上，，
是圆内接正三角形，，≌，
，即，
平面平面，
平面平面；
（2）设圆锥的母线为，底面半径为，
圆锥的侧面积为，
，解得，
故，
在等腰直角三角形中，，
在中，，
三棱锥的体积为．

展开更多......

收起↑