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(共21张PPT)
椭圆及其标准方程
年 级：高二年级 学 科：数学（人教A版）
压扁
一、新课引入，图片感知
一、新课引入，图片感知
F1
F2
M
椭圆的产生
二、新课讲授，探究概念
思考1:
1.在椭圆形成的过程中，绳子的两端是固定的还是运动的？
二、新课讲授，探究概念
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
3.绳子的长度与两定点距离的大小有什么样的关系？
M
F
2
F
1
4.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
5．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
二、新课讲授，探究概念
不能
椭圆定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
M
F
2
F
1
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用2c表示）。
二、新课讲授，探究概念
椭圆定义的符号表述：
二、新课讲授，探究概念
思考2:
求曲线方程的方法步骤是什么？
（1）建系
（2）设点
（3）列式
（4）化简
（5）检验
探讨建立平面直角坐标系的方案
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
O
x
y
方案二
F1
F2
M
O
x
y
思考2:如何求椭圆的方程？
二、新课讲授，探究概念
x
F1
F2
M
0
y
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
由椭圆的定义得：
代入坐标
（问题：下面怎样化简？）
二、新课讲授，探究概念
由椭圆定义可知
两边再平方，得
移项，再平方
整理得
二、新课讲授，探究概念
即
焦点在轴的椭圆的标准方程
设
二、新课讲授，探究概念
x
F1
F2
P
0
y
a
c
b
它表示：
① 椭圆的焦点在轴
② 焦点坐标为，
③
焦点在轴上的椭圆的标准方程：
F1
F2
M
0
x
y
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？
二、新课讲授，探究概念
焦点在轴上的椭圆的标准方程：
它表示:
① 椭圆的焦点在轴
② 焦点是,
③
x
M
F1
F2
y
O
二、新课讲授，探究概念
F1
F2
M
0
x
y
x
M
F1
F2
y
O
方程特点：
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
（2）在椭圆的标准方程中，总有;
（3）是椭圆上任意一点到，距离和的一半；是半焦距，且。
二、新课讲授，探究概念
例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程。
解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知
三、巩固基础，灵活运用
例2：如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足。当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合。）
三、巩固基础，灵活运用
M
0
x
y
P
解：设点的坐标为，点，则点，
由点是线段的中点，得，
因为点在圆上，
所以 ①
把，带入方程①，得
即
所以点的轨迹是椭圆
D
例3：如图，设A，B两点的坐标分别为，。直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程。
M
0
x
y
解：设点，因为点，所以直线的斜率
同理，直线的斜率
由已知，有
化简，得点的轨迹方程为
点的轨迹是除去，两点的椭圆。
A
B
三、巩固基础，灵活运用
四、课堂总结，归纳反思
一个定义：
椭圆定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于
常数 (大于│ F1F2│,)的点的轨迹，叫做椭圆.
两个方程：
椭圆标准方程：
(1). 椭圆焦点在轴上
(2). 椭圆焦点在轴上
两种方法：
待定系数法、数形结合思想方法
作业：
1.总结本节课所学知识点
2.课本.1，2，3，4
谢谢！教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高二年级 学期 秋季
课题 椭圆及其标准方程
教科书 书 名：普通高中数学教科书 数学A版选择性必修第一册教材 出版社：人民教育出版社
教学目标
1. 结合实例，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义。 2. 类比建立圆的方程的方法，能选择适当的直角坐标系建立椭圆的方程。
教学内容
教学重点： 椭圆的定义与椭圆的标准方程
教学难点： 椭圆几何特征的发现，椭圆标准方程的推导
教学过程
（一）新课导入 椭圆在生活中是随处可见的，如我们将一个圆形进行挤压，就可以得到一个椭圆。 再比如我们都知道用一个垂直于圆锥的平面截圆锥，截口曲线是一个圆。 那么我们如果改变平面的角度去截圆锥，也可以得到一个椭圆。那我们究竟怎么样，才能判定他们就是椭圆呢？这就是我们今天要学习的内容。 （二）新课讲授 （1）首先我们来看一下椭圆的定义，那么我们在学习椭圆的定义之前呢，我们首先请同学们拿出一条定长的绳子，请同学们把定长的绳子分别固定在两端，用笔尖拉紧绳子，画出图形，不难发现我们画出的这个图形，也就是椭圆。那么根据大家作图的过程，请同学们思考以下这几个问题。 （2） 1.在椭圆形成的过程中，绳子的两端是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.绳子的长度与两定点距离的大小有什么样的关系？ 4.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 5．绳长能小于两图钉之间的距离吗？ （3）得出定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用2c表示）。 （4）探究完椭圆的定义之后，接下来我们研究一下椭圆的方程，首先我们回顾一下求曲线方程的基本步骤是什么呢？ （5）得到椭圆的标准方程，或者 （三）灵活运用 例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（ 2,0），（2,0），并且经过点（5/2，-），求它的标准方程。 例2：如图，在圆+=4上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足。当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？为什么？（当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合。） 例3：如图，设A，B两点的坐标分别为（ 5,0），（5,0）。直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程。 反思小结 作业：课本109页1,2,3,4

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