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(共22张PPT)
（湘教版）九年级
上
1.1 反比例函数
反比例函数
第一章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系,加深对函数概念的理解.
2.经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
3.会求简单实际问题中的反比例函数解析式.
4.会用反比例函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识.
新知导入
如果两个量 x,y 满足 xy=k (k为常数,k≠0),那么x,y 就成反比例关系.
如果路程 s 一定， 那么速度v与时间t就成反比例关系.
思考：路程与速度、时间的关系式是什么？
路程=速度×时间，速度=，时间=。
新知讲解
(1)一群选手在进行全程为3000m的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系 并写出它们之间的关系式;
动脑筋
3000=vt
路程=速度×时间
因此选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间的关系式为v=．
反比例关系
新知讲解
(2)利用(1)的关系式完成下表：
动脑筋
所用时间t(s) 121 137 139 143 149
平均速度v(m/s)
随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？
24.79
21.90
21.58
20.98
20.13
随着时间t的增大，平均速度v减小
新知讲解
v=表明：当路程s一定时，每当t取一个值时，v都有唯一的一个值与它对应， 因此平均速度v是所用时间t的函数.
(3)平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？
动脑筋
由于当路程s一定时，平均速度v与时间t成反比例关系， 因此， 我们把这样的函数称为反比例函数.
新知讲解
一般地， 如果两个变量y与x的关系可以表示成
y= (k为常数,k≠0)
的形式， 那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.
如v=表明速度v是时间t的反比例函数，3000是比例系数.
新知讲解
反比例函数的一般形式的结构特征：
① k≠0
②以分式形式呈现
③在分母中x的指数为1
新知讲解
思考
反比例函数的自变量取值范围是什么？
反比例函数的自变量取值范围是所有非零实数. 但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围．
例如，在前面得到的v=中，t的取值范围是t＞0．
典例精析
例
如图，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC，
解 :因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，
所以S菱形=xy=180，
所以xy=360(定值)，即y与x成反比例关系．
所以y=．
因此， 当菱形的面积一定时， 它的一条对角线长y是另一条对角线长x的反比例函数.
BD的长分别为x,y. 写出变量y与x之间的函数表达式，并指出它是什么函数.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.下列函数中， y是x的反比例函数（　　）
A． B． C． D．
2.下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（　　）
A．B． C． D．
A
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦xy=11，y是x的反比例函数的共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4.下列问题中，两个变量成反比例的是 （　　）
A．长方形的周长确定，它的长与宽；
B．长方形的长确定，它的周长与宽；
C．长方形的面积确定，它的长与宽；
D．长方形的长确定，它的面积与宽．
C
C
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
-2
5.已知： 是反比例函数，则m=　 　．
6.下列关于的函数中，哪些是反比例函数？若是反比例函数，写出它的比例系数．
根据反比例函数的定义可得：、、是反比例函数，比例系数分别为：
, , , ,
【综合拓展类作业】
课堂练习
当m为何值时，函数 是反比例函数？
解：因为函数 是反比例函数，
所以 且 ，
解得： 且 ，
故 .
课堂总结
什么是反比例函数？什么是比例系数？反比例函数的自变量取值范围是什么？
一般地， 如果两个变量y与x的关系可以表示成y= (k为常数,k≠0)的形式， 那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.
反比例函数的自变量取值范围是所有非零实数. 但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围．
板书设计
反比例函数的概念：
反比例函数的解析式：
1.1反比例函数
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2.某直角三角形的面积为3，两直角边分别为x、y，则y关于x的函数解析式及x的取值范围分别是（　　）
A．y=，x≠0 B．y=，x＞0 C．y=，x≠0 D．y=，x＞0
B
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.当m取何值时，函数是反比例函数？
解：∵函数是反比例函数，
∴2m+1=1，
解得：m=0．
【综合拓展类作业】
作业布置
已知变量x，y满足（x﹣2y）2=（x+2y）2+10，问：x，y是否成反比例关系？如果不是，请说明理由；如果是，请求出比例系数．
解：∵（x﹣2y）2=（x+2y）2+10，
∴x2﹣4xy+4y2=x2+4xy+4y2+10，整理得出：8xy=﹣10，
∴y=，
∴x，y成反比例关系，比例系数为：．
Thanks!
2
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分课时教学设计
第一课时《1.1反比例函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《1.1反比例函数》是“湘教版九年级数学（上）”第一章第一节第一课时的内容.作为本册教材的重要开篇内容，反比例函数是数学中描述两个变量之间反比关系的函数，其形式通常为y= (k为常数,k≠0)。这一章节的内容不仅在数学领域具有重要地位，而且在物理、经济等多个学科中也有广泛应用。通过学习反比例函数，学生可以更好地理解变量之间的关系，提升数学素养和逻辑思维能力。
学习者分析 九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数、正比例函数等概念有了一定的了解。然而，反比例函数作为一种新的函数形式，其定义与正比例函数和一次函数存在显著差异，因此学生可能会感到一定的学习难度。此外，九年级学生的学习能力和数学基础存在差异，部分学生在理解和应用反比例函数时可能会遇到困难。
教学目标 1.从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系,加深对函数概念的理解. 2.经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的基本概念及确定反比例函数自变量的取值范围. 3.会列简单实际问题中的反比例函数表达式. 4.会用反比例函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识.
教学重点 反比例函数的定义与表达式
教学难点 反比例函数的理解和掌握
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师讲授：如果两个量 x,y 满足 xy=k (k为常数,k≠0),那么x,y 就成反比例关系. 思考：路程与速度、时间的关系式是什么？ 教师讲授：路程=速度×时间，速度=，时间=。 如果路程 s 一定， 那么速度v与时间t就成反比例关系.学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋： (1)一群选手在进行全程为3000m的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系 并写出它们之间的关系式; (2)利用(1)的关系式完成下表： 所用时间t(s)121137139143149平均速度v(m/s)
随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ (3)平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ 教师讲授： （1）具有反比例关系，选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间的关系式为v=． （2）24.79,21.90，21.58，20.98，20.13 随着时间t的增大，平均速度v减小 （3）v=表明：当路程s一定时，每当t取一个值时，v都有唯一的一个值与它对应， 因此平均速度v是所用时间t的函数. 教师讲授：由于当路程s一定时，平均速度v与时间t成反比例关系， 因此， 我们把这样的函数称为反比例函数. 教师讲授：一般地， 如果两个变量y与x的关系可以表示成 y= (k为常数,k≠0)的形式， 那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数. 如v=表明速度v是时间t的反比例函数，3000是比例系数. 反比例函数的一般形式的结构特征： ① k≠0 ②以分式形式呈现 ③在分母中x的指数为1 思考：反比例函数的自变量取值范围是什么？ 教师讲授：反比例函数的自变量取值范围是所有非零实数. 但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围． 例如，在前面得到的v=中，t的取值范围是t＞0．学生活动2： 认真思考，举手回答问题 学生认真听讲，经历抽象反比例函数概念的过程 学生认真听讲，了解反比例函数的定义 学生认真听讲，反比例函数的一般形式的结构特征 学生认真思考 学生认真听讲，能够确定反比例函数自变量的取值范围活动意图说明：使学生经历抽象反比例函数概念的过程，通过探究和教师讲授了解反比例函数的意义，理解反比例函数的基本概念及确定反比例函数自变量的取值范围.环节三：例题精析教师活动3： 例 如图，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x,y. 写出变量y与x之间的函数表达式，并指出它是什么函数. 解 :因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半， 所以S菱形=xy=180， 所以xy=360(定值)，即y与x成反比例关系． 所以y=． 因此， 当菱形的面积一定时， 它的一条对角线长y是另一条对角线长x的反比例函数.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师提问：什么是反比例函数？什么是比例系数？反比例函数的自变量取值范围是什么？ 教师讲授：一般地， 如果两个变量y与x的关系可以表示成y= (k为常数,k≠0)的形式， 那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数. 反比例函数的自变量取值范围是所有非零实数. 但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围．学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列函数中， y是x的反比例函数（　　） A． B． C． D． 2.下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（　　） A．B． C． D． 3.下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦xy=11，y是x的反比例函数的共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.下列问题中，两个变量成反比例的是 （　　） A．长方形的周长确定，它的长与宽； B．长方形的长确定，它的周长与宽； C．长方形的面积确定，它的长与宽； D．长方形的长确定，它的面积与宽． 选做题： 5.已知： 是反比例函数，则m=　 　． 6.下列关于的函数中，哪些是反比例函数？若是反比例函数，写出它的比例系数． , , , , 【综合拓展类作业】 当m为何值时，函数 是反比例函数？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2.某直角三角形的面积为3，两直角边分别为x、y，则y关于x的函数解析式及x的取值范围分别是（　　） A．y=，x≠0 B．y=，x＞0 C．y=，x≠0 D．y=，x＞0 3.当m取何值时，函数是反比例函数？ 【综合拓展类作业】 已知变量x，y满足（x﹣2y）2=（x+2y）2+10，问：x，y是否成反比例关系？如果不是，请说明理由；如果是，请求出比例系数．
教学反思 本设计还需加强反比例函数定义和性质的讲解，通过举例、对比等方式帮助学生理解。再设计一些贴近学生生活的实际问题，引导学生运用反比例函数的知识进行分析和解决。同时，加强师生互动和合作学习，共同解决学习中的难题。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第一章
课标要求 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况。3.能用反比例函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第一章《反比例函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”.本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、图象、性质及应用.反比例函数是初中数学中的重要内容，是学生在学习了变量之间的关系、一次函数等基础知识后进一步深入学习的内容。反比例函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。且反比例函数在日常生活和生产中也有着许多直接应用，有利于学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，有利于学生增强几何直观，在教材中有着重要的地位.
学情分析 九年级学生在前面的学习过程中，已经对函数的概念、函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，并学习了正比例函数、一次函数等基础知识。他们已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提高，特别是在抽象概括能力和对函数意义的理解上还存在一定的难度。虽然学生对函数的基本概念有一定的了解，能够初步理解变量之间的关系，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，能够进行简单的数学推理和计算。但是对反比例函数这种较为抽象的数学概念理解不深，特别是对反比例函数图像和性质的把握存在困难。在将实际问题抽象成数学问题并加以解决的过程中，部分学生存在困难。所以教师在设计教学时需设计提问，注重引导。
单元目标 （一）教学目标1.结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.2.掌握并会求反比例函数的表达式.3.会用描点法画反比例函数的图象.4.能根据反比例函数的图象和表达式(k≠0)探索并理解其性质.5.能用反比例函数的性质和图象解决某些实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：反比例函数教学难点：1.反比例函数的图象和性质2.综合运用反比例的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1反比例函数11.2反比例函数的图象与性质31.3反比例函数的应用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1反比例函数1.经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的基本概念.2.确定反比例函数自变量的取值范围.3.会列简单实际问题中的反比例函数表达式.1.能够判断函数是否是反比例函数.2．会列简单实际问题中的反比例函数表达式.3．确定反比例函数自变量的取值范围.任务一：回顾反比例关系任务二：经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念任务三：了解反比例函数的一般形式，确定反比例函数自变量的取值范围.任务四：习题检测.1.2.1反比例函数的图象与性质1.能够绘制反比例函数的图象，理解图象的特点和性质.2.掌握反比例函数的基本性质：增减性3.通过动手操作，学会在平面直角坐标系中用描点法画出反比例函数的图象。1.能够用描点法绘制反比例函数的图象.2.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法.任务二：经历描点法绘制反比例函数图象的过程.任务三：通过函数图象探究反比例函数的性质.任务四：习题检测.1.2.2反比例函数的图象与性质1.巩固反比例函数图象的性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.2.掌握反比例函数的增减性,能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数形结合思想，增强几何直观.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法和反比例函数的增减性.任务二：通过函数图象进一步探究反比例函数的性质.任务三：掌握反比例函数的增减性.任务四：习题检测.1.2.3反比例函数的图象与性质1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境,体会反比例函数的意义，理解比例系数k的具体意义.3.会通过已知自变量的值求相应反比例函数的值，运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.会用待定系数法求反比例函数的解析式任务一：回顾反比例函数的增减性.任务二：用待定系数法求反比例函数的解析式.任务三：灵活运用性质和待定系数法解题.任务四：习题检测.1.3反比例函数的应用1.学生能够掌握反比例函数的应用方法，能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.会综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.3. 通过实际问题引入、建立函数模型、求解与应用等过程，培养学生的数学思维和探究能力.1.能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.能够综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务一：回顾用待定系数法求反比例函数解析式任务二：根据实际问题建立反比例函数模型任务三：综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务四：习题检测
《反比例函数》单元教学设计
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