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第五章　
平面向量、复数
第3课时　平面向量的数量积及其应用
考试
要求
理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
链接教材　夯基固本
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是________．
当________时，a与b垂直，记作a⊥b；
当_____时，a与b共线且同向；
当_____时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：0·a＝ __．
[0，π]
θ＝
θ＝0
θ＝π
|a||b|cos θ
0
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b____，叫做向量a在向量b上的________，记为____________．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝.
投影
投影向量
|a|cos θ e
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝___________．
(2)模：|a|＝＝．
(3)夹角：cos θ＝＝．
(4)a⊥b的充要条件：a·b＝0 _____________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立).
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的取值范围是． (　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数． (　　)
(3)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　)
×
√
×
×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　[|a|＝＝5，|b|＝＝13，a·b＝3×5＋4×12＝63.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.]
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________.
－e　[向量b在向量a上的投影向量为e＝－e.]
√
－e　
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
2　[a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝＝2.]
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则·＝________．
8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝，所以＝||||·cos∠BAC＝||||＝||2＝8．]
2　
8　
典例精研　核心考点
考点一　平面向量数量积的运算
[典例1]　(1)(2024·吉林四平模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为，则(a＋b)·(2a－b)＝(　　)
A．6　　　B．8　　　C．10　　　D．14
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________．
√
1
1
[四字解题]
读 想 算 思
正方形ABCD且E是AB边上的动点； 求的最大值 数量积的求解方法 投影法 数量积的几何意义 数形结合
基向量法 数量积的运算 三角形法则
坐标法 建系，求相关点的坐标，建立函数 几何问题代数化，函数思想
(1)B　(2)1　1　[(1)由|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为，所以(a＋b)·(2a－b)＝2a2＋a·b－b2＝2|a|2＋|a|·|b|cos －|b|2＝2×22＋2×＝8.故选B.
(2)法一(投影法)：设向量的夹角为θ，则·＝·＝||·||cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以原式等于
||2＝1．要使·最大，只要使向量在向量上的
投影向量的长度达到最大即可，因为在向量上的投影
向量的长度最大为||＝1，所以(·)max＝||2＝1.
法二(基向量法)：因为＝且⊥，所以＝()·＝||2＝1，＝()·＝＝||||＝||，所以要使最大，只要||最大即可，显然随着E点在AB边上移动，||max＝1，故()max＝1.
法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得＝1．因为＝(1，0)，所以＝x，因为0≤x≤1，所以()max＝1．]
【教师备选资源】
(2023·陕西榆林一模)在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，＝2＝2，则＝(　　)
A．4　　B．　　C．　　D．3
B　[如图所示，在平行四边形ABCD中，∵＝2＝2，
∴＝＝＝＝，
∴＝＝－＋，又AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，∴||2＝16，||2＝4，＝4×2×cos 60°＝4，∴＝.故选B.]
√
名师点评　计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
[跟进训练]
1．(1)已知△ABC是边长为1的正三角形，＝2＝2，则·＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．1
(2)(2024·山东济南模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，则a·b＝________，a在b上的投影向量是___________．
(1)A　(2)－2　　[(1)由＝2，可知E为BC中点，所以AE⊥BC，AE＝.在向量上的投影向量为，所以＝||2＝.
(2)∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，∴a·b＝1×2＋2×(－2)＝－2，∵|a|＝＝，|b|＝＝2，设向量a，b的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝－，则a在b上的投影向量是|a|cos θ·＝(2，－2)＝.]
√
－2　
　　
考点二　平面向量数量积的应用
考向1　求向量的模
[典例2]　(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
　[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝.]
　
考向2　向量的夹角问题
[典例3]　(1)若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_____________________．
√
　
(1)C　(2)　[(1)由题意可得e1·e2＝1×1×cos ＝，故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝＝－6＋＋2＝－，|a|＝＝＝，|b|＝＝＝，
故cos〈a，b〉＝＝＝－，由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝.
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，
所以4k－6－6＜0，所以k＜3．若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是∪.]
考向3　向量的垂直问题
[典例4]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)
A．λ＋μ＝1 　 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 　 D．λμ＝－1
D　[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.]
√
名师点评　1．求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中．
[跟进训练]
2．(多选)(2024·烟台模拟)已知点A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，则下列说法正确的是(　　)
A．||＝
B．若⊥，则m＝－2
C．若∥，则m＝－
D．若的夹角为锐角，则m<2且m≠－
√
√
AC　[因为A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，
所以＝(2，－1)，＝(1，m)(m∈R)，
选项A：||＝＝，故A正确；
选项B：因为⊥，所以·＝0，所以2－m＝0，即m＝2，所以B错误；
选项C：因为∥，所以2×m＝(－1)×1，所以m＝－，所以C正确；
选项D：因为的夹角为锐角，且＝(－2，1)，
所以解得m>2，所以D错误．故选AC.]
考点三　平面向量的应用
[典例5]　(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且|＝与的夹角为θ.给出以下结论，其中正确的是(　　)
A．θ越大越费力，θ越小越省力
B．θ的取值范围为[0，π]
C．当θ＝时，|＝|G|
D．当θ＝时|＝|G|
√
√
AD　[对于A，由G＝－(F1+F2)，所以|G|2＝|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2(1+cos θ)，解得|F1|2＝.由题意知θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，所以|F1|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A正确；对于B，由题意知，θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，当θ＝时，|F1|2＝，所以|F1|＝|G|，故C错误；对于D，当θ＝时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故D正确.故选AD.]
名师点评
用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
[跟进训练]
3．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)
A．－ 　 B．－
C．－ 　 D．－
√
B　[由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有＝0，即10×4cos θ＋42＝0，所以cos θ＝－.]
THANKS5.3-平面向量的数量积及其应用-讲义
[考试要求]　1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是__________．
当____时，a与b垂直，记作a⊥b；
当______时，a与b共线且同向；
当______时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：0·a＝__．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b____，叫做向量a在向量b上的________，记为____________________．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝__________________．
(2)模：|a|＝＝．
(3)夹角：cos θ＝＝．
(4)a⊥b的充要条件：a·b＝0 ______________________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立).
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的取值范围是． (　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数． (　　)
(3)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________.
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则＝________．
考点一　平面向量数量积的运算
[典例1]　(1)(2024·吉林四平模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为，则(a＋b)·(2a－b)＝(　　)
A．6　　　B．8　　　C．10　　　D．14
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为________．
[四字解题]
读 想 算 思
正方形ABCD且E是AB边上的动点； 求的最大值 数量积的求解方法 投影法 数量积的几何意义 数形结合
基向量法 数量积的运算 三角形法则
坐标法 建系，求相关点的坐标，建立函数 几何问题代数化，函数思想
　计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
[跟进训练]
1．(1)已知△ABC是边长为1的正三角形，＝2＝2，则＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．1
(2)(2024·山东济南模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，则a·b＝________，a在b上的投影向量是________．
考点二　平面向量数量积的应用
　求向量的模
[典例2]　(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　向量的夹角问题
[典例3]　(1)若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
　向量的垂直问题
[典例4]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)
A．λ＋μ＝1 　 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 　 D．λμ＝－1
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中．
[跟进训练]
2．(多选)(2024·烟台模拟)已知点A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，则下列说法正确的是(　　)
A．||＝
B．若⊥，则m＝－2
C．若∥，则m＝－
D．若的夹角为锐角，则m<2且m≠－
考点三　平面向量的应用
[典例5]　(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，且|＝与的夹角为θ.给出以下结论，其中正确的是(　　)
A．θ越大越费力，θ越小越省力
B．θ的取值范围为[0，π]
C．当θ＝时，|＝|G|
D．当θ＝时|＝|G|
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
[跟进训练]
3．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)
A．－ 　 B．－
C．－ 　 D．－
参考答案
梳理·必备知识
1．[0，π]　θ＝　θ＝0　θ＝π
2．|a||b|cos θ　0
3．投影　投影向量　|a|cos θ e
5．(1)x1x2＋y1y2　(2)
(3)　(4)x1x2＋y1y2＝0
激活·基本技能
一、(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、1．A　[|a|＝＝5，|b|＝＝13，
a·b＝3×5＋4×12＝63.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝.]
2．－e　[向量b在向量a上的投影向量为e＝－e.]
3.2　[a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝2.]
4.8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，·＝||||·cos∠BAC＝||||＝||2＝8.]
考点一
典例1　(1)B　(2)1　1　[(1)由|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为，所以(a＋b)·(2a－b)＝2a2＋a·b－b2＝2|a|2＋|a|·|b|cos－|b|2＝2×22＋2××＝8．故选B.
(2)法一(投影法)：设向量的夹角为θ，则··＝||·||cos θ，由图可知，||cos θ＝||，所以原式等于||2＝1．要使·上的投影向量的长度最大为||＝1，所以(·)max＝||2＝1.
法二(基向量法)：因为⊥·＝()·＝||2＝1，·＝()··＝||||＝||，所以要使·最大，只要||最大即可，显然随着E点在AB边上移动，||max＝1，故(·)max＝1.
法三(坐标法)：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得·＝1．因为＝(1，0)，所以·＝x，因为0≤x≤1，所以(·)max＝1.]
跟进训练
1．(1)A　(2)－2　　[(1)由＝2，可知E为BC中点，
所以AE⊥BC，AE＝.
，
所以·＝||2＝.
(2)∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，
∴a·b＝1×2＋2×(－2)＝－2，
∵|a|＝，|b|＝＝2，设向量a，b的夹角为θ，∴cos θ＝＝－，则a在b上的投影向量是|a|·cos θ·××(2，－2)＝.]
考点二
考向1　典例2　　[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2－2a·b＝0，所以a2－(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝.]
考向2　典例3　(1)C　(2)∪　[(1)由题意可得e1·e2＝1×1×cos ，
故a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6＋e1·e2＋2＝－6＋＋2＝－，|a|＝，|b|＝，
故cos〈a，b〉＝＝－，
由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝.
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
所以4k－6－6<0，所以k<3．若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是－∞，－∪－，3.]
考向3　典例4　D　[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故选D.]
跟进训练
2．AC　[因为A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，
所以＝(2，－1)，＝(1，m)(m∈R)，
选项A：||＝，故A正确；
选项B：因为⊥·＝0，所以2－m＝0，即m＝2，所以B错误；
选项C：因为∥，所以2×m＝(－1)×1，所以m＝－，所以C正确；
选项D：因为＝(－2，1)，
所以解得m>2，所以D错误.故选AC.]
考点三
典例5　AD　[对于A，由G＝－(F1＋F2)，所以|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2(1＋cos θ)，解得|F1|2＝.由题意知θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，所以|F1|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A正确；对于B，由题意知，θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，当θ＝时，|F1|2＝，所以|F1|＝|G|，故C错误；对于D，当θ＝时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故D正确.故选AD.]
跟进训练
3．B　[由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有|v1||v2|·cos θ＋＝0，即10×4cos θ＋42＝0，所以cos θ＝－.]

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