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勾股定理
第一讲：探索勾股定理
勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；
2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.
3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、
b2 = c2 - a2；、、.
【拓展】
1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2.
2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2.
【注意】
1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.
2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.
知识点1 认识勾股定理
【例1】（佛山南海石门）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若∠B+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（ ）
A、a +b ＝c B、b +c ＝a C、a +c ＝b D、b+c＝a
小结：
利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论.
解析：∵∠B+∠C＝90°；∴∠A＝90°；∴b +c ＝a ，所以选B
答案：B
【例题精练】
一、选择题
1、（佛山南海石门）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（　　）
A．5 B． C．5或 D．5或
答案：B
2、（佛山南海石门）下列说法中正确的是（ ）
A．已知是三角形的三边，则
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠°，所以
D．在Rt△ABC中，∠°，所以
答案：C
3、（佛山南海石门）一个直角三角形的斜边比一条直角边多2cm，另一条直角边为6cm，则斜边的长为( )cm.
A．4 B．8 C．10 D．12
答案：C
二填空题
1、在△ABC中，∠C=90.若a=6，b=8，则c= .
答案：10
2、在△ABC中，∠C=90°.若c=13，b=12，则a= .
答案：5
3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ）
A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 25
答案：D
知识点2 利用勾股定理求线段长度
【例题1】在中，，，则　　
A．3 B．1 C． D．或3
答案：D
【例题精练】
1、如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
答案：A
2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
答案：C
3、（2023秋 龙口市期末）在中，，，高，则的长　．
答案：14或者4
4、（广东佛山2023）如图，学校有一块长形花闻，有极少数人为了邂开损角走“捷径”，在花烟内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草。他们少走的路长为（ ）
A、2m B、3m C、3.5m D、4m
答案：D
5、在高7m,长25m的一台阶上铺上地毯，台阶的部面图如图所示地毯的长度至少需 要 m
答案：24+7＝31
知识点3 利用勾股定理求面积
【例题1】如右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方 形E的面积是 ．
小结：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积.
解析：设中间两个正方形的边长分别为x、y,最大正方E的边长为z，有勾股定理得：x ＝3 +5 ＝34 y ＝2 +3 ＝13 y +x ＝47；
答案：47
【例题精练】
1、（佛山南海石门）如图，∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4，AF长为12，正方形的面积为169，求三角形AFC的面积．
答案：
2、（佛山南海石门）如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（ ）
A．313 B．144 C．169 D．25
答案：25
3．（佛山南海石门）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．
答案：49
4、已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
答案：24
5、在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1 、S2 、S3 、S4 ，则S1 +S2 +S3 +S4 =
答案：4
【例题2】（佛山南海石门）如图，在Rt△中，∠°， cm， cm，则其斜边上的高为（ ）
A．6 cm B．8.5 cm C．cm D．cm
答案：C
【例题精练】
1、（佛山南海石门）直角三角形一直角边为3cm，斜边长为5 cm，则它的面积为 ，斜边上的高为 ．
答案：6平方厘米 厘米
2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．
答案：
知识点4 勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以
【例题1】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．
（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
解析：
【例题精练】
1、我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
2、（2024春 涧西区期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是　　
A．7 B． C． D．
答案：D
3、（2021秋 东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
答案：
4、（巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
答案：
5、（广东佛山外国语2023）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为(a+b)2，也可表示为c2+4×ab，即(a+b)2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
答案：
课后练习
1、若一直角三角形两直角边的长分别为7和24，则斜边的长为 ．
答案：25
2、直角三角形两边长分别为3和4，则第三边长的平方为 ．
答案：25或7
3、在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，
(1)若a＝5，b＝12，则c= ；
答案：13
(2)若a＝15，c＝25，则b＝ .
答案：20
4、如图：，的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分即“希波克拉底月牙形”的面积为______．
答案：20
5、（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）

A． B． C． D．
答案：D
6、（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（ ）
A． B． C． D．
答案：A
7、求斜边长为5cm，一条直角边长为4cm的直角三角形的周长．
答案：12
8、如图，一渔船从港口A出发向正北方向航行，2时后到达B处，这时灯塔C在B的正西 方向，测得AC＝25海里，BC＝24海里，求渔船航行的速度．
答案：30海里/小时
9、 （广东佛山南海外国语2023）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求原路线的长．
答案：（1）△BGH直角三角形
（2）8
2勾股定理
第一讲：探索勾股定理
勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；
2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.
3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、
b2 = c2 - a2；、、.
【拓展】
1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2.
2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2.
【注意】
1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.
2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.
知识点1 认识勾股定理
【例1】（佛山南海石门）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若∠B+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（ ）
A、a +b ＝c B、b +c ＝a C、a +c ＝b D、b+c＝a
小结：
利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论.
【例题精练】
一、选择题
1、（佛山南海石门）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（　　）
A．5 B． C．5或 D．5或
2、（佛山南海石门）下列说法中正确的是（ ）
A．已知是三角形的三边，则
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠°，所以
D．在Rt△ABC中，∠°，所以
3、（佛山南海石门）一个直角三角形的斜边比一条直角边多2cm，另一条直角边为6cm，则斜边的长为( )cm.
A．4 B．8 C．10 D．12
二填空题
1、在△ABC中，∠C=90.若a=6，b=8，则c= .
2、在△ABC中，∠C=90°.若c=13，b=12，则a= .
3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ）
A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 25
知识点2 利用勾股定理求线段长度
【例题1】在中，，，则　　
A．3 B．1 C． D．或3
【例题精练】
1、如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
3、（2023秋 龙口市期末）在中，，，高，则的长　．
4、（广东佛山2023）如图，学校有一块长形花闻，有极少数人为了邂开损角走“捷径”，在花烟内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草。他们少走的路长为（ ）
A、2m B、3m C、3.5m D、4m
5、在高7m,长25m的一台阶上铺上地毯，台阶的部面图如图所示地毯的长度至少需 要 m
知识点3 利用勾股定理求面积
【例题1】如右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方 形E的面积是 ．
小结：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积.
【例题精练】
1、（佛山南海石门）如图，∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4，AF长为12，正方形的面积为169，求三角形AFC的面积．
2、（佛山南海石门）如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（ ）
A．313 B．144 C．169 D．25
3．（佛山南海石门）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．
4、已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
5、在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1 、S2 、S3 、S4 ，则S1 +S2 +S3 +S4 =
【例题2】（佛山南海石门）如图，在Rt△中，∠°， cm， cm，则其斜边上的高为（ ）
A．6 cm B．8.5 cm C．cm D．cm
【例题精练】
1、（佛山南海石门）直角三角形一直角边为3cm，斜边长为5 cm，则它的面积为 ，斜边上的高为 ．
2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．
知识点4 勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以
【例题1】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．
（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
【例题精练】
1、我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
2、（2024春 涧西区期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是　　
A．7 B． C． D．
3、（东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
4、（巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
5、（广东佛山外国语2023）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为(a+b)2，也可表示为c2+4×ab，即(a+b)2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
课后练习
1、若一直角三角形两直角边的长分别为7和24，则斜边的长为 ．
2、直角三角形两边长分别为3和4，则第三边长的平方为 ．
3、在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，
(1)若a＝5，b＝12，则c= ；
(2)若a＝15，c＝25，则b＝ .
4、如图：，的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分即“希波克拉底月牙形”的面积为______．
5、（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）

A． B． C． D．
6、（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（ ）
A． B． C． D．
7、求斜边长为5cm，一条直角边长为4cm的直角三角形的周长．
8、如图，一渔船从港口A出发向正北方向航行，2时后到达B处，这时灯塔C在B的正西 方向，测得AC＝25海里，BC＝24海里，求渔船航行的速度．
9、 （广东佛山南海外国语2023）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求原路线的长．
2第二讲 一定是直角三角形吗
知识点1 勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①先确定最长边，算出最长边的平方；
②计算另两边的平方和；
③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.
2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2
结论 a2 + b2 = c2 ∠C=90°
区别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系.
【例题1】（佛山南海石门）已知三角形ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为 三角形， 为最大角，最大角等于 度．
小结：
判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法：
（1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；
（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.
【例题精练】
1、（佛山南海石门）在△ABC中，∠A，∠B与∠C所对的边分别是，三边长满足，则互余的一对角是（ ）
A．∠A与∠B B．∠C与∠A
C．∠B与∠C D．∠A、∠B、∠C
2、（2023秋 宝安区期末）在△ABC中，若AC＝b，AB＝c，BC＝a，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2＝c2﹣b2 B．∠B﹣∠C＝∠A
C．a＝1，，c＝4 D．∠B＝45°，∠C＝45°
3、（2024春 万年县校级月考）以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：3：4 B．AB＝25，BC＝7，AC＝24
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．AB：BC：AC＝5：12：13
4、（2024春 椒江区月考）给出下列几组数：
①6，7，8；②8，15，16；③7，24，25；④n2﹣1，2n，n2+1（n＞1）．
其中，能作为直角三角形三条边长的是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【例题2】△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　）
A．边a的对角是直角 B．边b的对角是直角
C．边c的对角是直角 D．是等腰三角形
【例题精练】
1、（2023秋 市中区校级月考）若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 　　 ．
【例题3】在△ABC中，三边长分别为3，4，5，那么△ABC的面积为（　　）
A．12 B．6 C． D．
小结：不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积.
【例题精练】
1、有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（　　）
A．6cm B．10cm C．7.5cm D．13.5cm
2、如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为___________．
【例题4】如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝　　 ．
【例题精练】
1．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
2．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求证：AB⊥BC．
（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
【例题5】如图，一块铁皮（图中阴影部分）得，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求阴影部分面积？
【例题精练】
1．如图所示，六盘水市某中学有一块不规则四边形的空地ABCD，学校计划在空地上铺悬浮地板，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m.
（1）求空地ABCD的面积.
（2）若每铺1平方米悬浮地板需要120元，问总共需投入多少元？
知识点2 勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
【例题1】下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．8，15，17 B．0.3，0.4，0.5
C．4，5，7 D．1，2，
小结：
判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.
【例题精练】
1、下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10 D．7，24，25
2、下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．32，42，52 B．3，4，7
C．0.5，1.2，1.4 D．9，12，15
3、观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　 　．
4、下列各组数中，属于勾股数的是　　
A．，， B．8，15，17 C．3，4，6 D．0.9，1.2，1.5
5、在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．162 B．200 C．242 D．288
课后练习
选择题
1、下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3
2、满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　）
A． B．
C． D．
3、如图，在中，，，，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，则的周长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
填空题
1、已知的三边长满足，则的形状是 ．
2、有四种说法：①三个内角之比为； ②三边形长分别为：；③三边之长为9、40、41；④三边之比为．其中是直角三角形的有___________（填序号）．
应用题
1、某社区开辟了一块四边形空地打造绿化带（阴影部分）．如图，现测得AB＝AD＝13m，BC＝8m，CD＝6m，且BD＝10m．
（1）试说明∠BCD＝90°；
（2）求绿化带的面积．
（
2、如图，已知，垂足为D，，，．求证：．
3、在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离(单位：mm)
2第二讲 一定是直角三角形吗
知识点1 勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.
1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：
①先确定最长边，算出最长边的平方；
②计算另两边的平方和；
③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.
2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2
结论 a2 + b2 = c2 ∠C=90°
区别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系.
【例题1】（佛山南海石门）已知三角形ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为 三角形， 为最大角，最大角等于 度．
小结：
判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法：
（1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；
（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.
答案：直角、∠A、90
【例题精练】
1、（佛山南海石门）在△ABC中，∠A，∠B与∠C所对的边分别是，三边长满足，则互余的一对角是（ ）
A．∠A与∠B B．∠C与∠A
C．∠B与∠C D．∠A、∠B、∠C
答案：B
2、（2023秋 宝安区期末）在△ABC中，若AC＝b，AB＝c，BC＝a，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2＝c2﹣b2 B．∠B﹣∠C＝∠A
C．a＝1，，c＝4 D．∠B＝45°，∠C＝45°
答案： C
3、（2024春 万年县校级月考）以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：3：4 B．AB＝25，BC＝7，AC＝24
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．AB：BC：AC＝5：12：13
答案：C
4、（2024春 椒江区月考）给出下列几组数：
①6，7，8；②8，15，16；③7，24，25；④n2﹣1，2n，n2+1（n＞1）．
其中，能作为直角三角形三条边长的是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
答案：C
【例题2】△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　）
A．边a的对角是直角 B．边b的对角是直角
C．边c的对角是直角 D．是等腰三角形
答案：A
【例题精练】
1、（2023秋 市中区校级月考）若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 　　 ．
答案：等腰直角三角形
【例题3】在△ABC中，三边长分别为3，4，5，那么△ABC的面积为（　　）
A．12 B．6 C． D．
答案：B
小结：不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积.
【例题精练】
1、有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（　　）
A．6cm B．10cm C．7.5cm D．13.5cm
答案：A
2、如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为___________．
答案：
【例题4】如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝　　 ．
答案：4.5
【例题精练】
1．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
答案：135°
2．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求证：AB⊥BC．
（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
答案：（1）AB⊥BC
（2）17+17
【例题5】如图，一块铁皮（图中阴影部分）得，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求阴影部分面积？
答案：（1）△ACD是直角三角形
（2）24
【例题精练】
1．如图所示，六盘水市某中学有一块不规则四边形的空地ABCD，学校计划在空地上铺悬浮地板，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m.
（1）求空地ABCD的面积.
（2）若每铺1平方米悬浮地板需要120元，问总共需投入多少元？
答案：（1）144平方米
（2）17280元
知识点2 勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
①确定是否为三个正整数 a，b，c;
②确定最大数c；
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.
【例题1】下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．8，15，17 B．0.3，0.4，0.5
C．4，5，7 D．1，2，
小结：
判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.
答案：A
【例题精练】
1、下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10 D．7，24，25
答案：B
2、下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．32，42，52 B．3，4，7
C．0.5，1.2，1.4 D．9，12，15
答案：D
3、观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数：　 　．
答案：
规律：2n+1、2n(n+1)、2n +2n+1
17、144、145
4、下列各组数中，属于勾股数的是　　
A．，， B．8，15，17 C．3，4，6 D．0.9，1.2，1.5
答案：B
5、在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．162 B．200 C．242 D．288
答案：D
课后练习
选择题
1、下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3
答案：A
2、满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　）
A． B．
C． D．
答案：B
3、如图，在中，，，，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，则的周长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
答案：D
填空题
1、已知的三边长满足，则的形状是 ．
答案：直角三角形
2、有四种说法：①三个内角之比为； ②三边形长分别为：；③三边之长为9、40、41；④三边之比为．其中是直角三角形的有___________（填序号）．
答案：①②③
应用题
1、某社区开辟了一块四边形空地打造绿化带（阴影部分）．如图，现测得AB＝AD＝13m，BC＝8m，CD＝6m，且BD＝10m．
（1）试说明∠BCD＝90°；
（2）求绿化带的面积．
（
答案：（1）△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°
（2）36平方米
2、如图，已知，垂足为D，，，．求证：．
答案：用勾股定理证明△ABC三边满足关系，进而△ABC是直角三角形，所以∠ACB＝90°
3、在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离(单位：mm)
答案：求两孔中心A和B的距离130毫米。第三讲 勾股定理的应用
考点目录
2
考点1：梯子滑落高度问题
考点2：旗杆问题
考点3：小鸟飞行的距离
考点4：大数折断前的高度
考点5：水杯中的筷子问题
考点6：航海问题
考点7：河的宽度问题
考点8：是否超速问题
考点9：台风影响问题
考点10：选址距离相等问题
考点11：折叠问题
考点12：最短路径问题
考点13：卡车过隧道问题
【题型精讲与精练】
考点1：梯子滑落高度问题
【例题1】如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为0.7米．
(1)求的值；
(2)如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．
【例题精练】
1、（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？
2、（23-24八年级下·辽宁大连·期中）一架长的梯子，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．
(1)如图，，，求这架梯子的顶端距地面有多高？
(2)如图，如果梯子靠墙下移，底端向右移动至点处，求它的顶端A沿墙下移多少米？

3、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一根竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为15米，顶端距离地面20米；如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在左墙时，其顶端距离地面为24米，则小巷的宽度为______米．
考点2：旗杆问题
【例题1】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
【例题精练】
1、如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
2、（广东佛山2023）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当它把绳子的下端拉开7m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是多少？
3、如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送(水平距离)时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？
4、（广东佛山）在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上：梯子底端C离墙20米，如图．
（1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升4米（云梯长度不变），那么云梯底都在水平方向应滑动多少米？
5、（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子，大致如图所示，李明想用所学知识测量大树AD的高度，他从工作人员处了解到绳子AB的长为13米，AC的长为20米，然后用米尺测得B、C之间的距离为21米，已知B、C、D在一条直线上，AD⊥BC，求大树的高AD．
考点3：小鸟飞行的距离
【例题1】在水平地面上有一棵高9米的大树，和一棵高4米的小树，两树之间的水平距离是12米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行（　　）
A．12米 B．13米 C．9米 D．17米
【例题精练】
1、（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离．
考点4：大数折断前的高度
【例题1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子三尺远，则原处还有　　尺竹子．（请直接写出答案，注：1丈＝10尺）．
【例题精练】
九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
2、（广东佛山2023）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，
其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．
考点5：水杯中的筷子问题
【例题1】如图，在水池的正中央有一根芦菲，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦第拉向水池一边，它的项端恰好到达池边的水面则这根芦革的长度是（ ）
A.10尺 B.11尺 C 、12尺 D.13尺
【例题精练】
1、如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
2、我国古代数学著作九章算术记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
3、印度数学家什迦逻曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题．
4、如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（ ）
A. B.
C D.
考点6：航海问题
【例题1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
(1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．
(2)岛在港的什么方向？
【例题精练】
1、 已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行；船B以的速度向北航行．它们离开港口后，相距多远？
2．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向航行，乙船沿北偏东方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船相距___________海里
考点7：河的宽度问题
【例题1】游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为( )．
A．80米 B．100米 C．72米 D．112米
【例题精练】
1、为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )
A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m
2、（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长．
考点8：是否超速问题
【例题1】（23-24八年级下·广东广州·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？
【例题精练】
1、（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．

2、（2024八年级下·全国·专题练习）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
考点9：台风影响问题
【例题1】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．
台风中心经过多长时间从移动到点？
已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上：接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
【例题精练】
1、M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
2、森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
3、在一次缉私行动中，警方获得可靠消息：一辆走私车将路过一段水平且笔直的公路，但由于车上有威力巨大的爆炸装置，在方圆120m范围内有危险，缉私警察无法靠近．为保证我警员的安全，决定利用远程射击的方法，警方选中一个距离公路120m的高地作为隐蔽处（CD＝120m），当射程为200m时开始射击（BD＝200m）．若走私车与警方隐蔽处的距离为255m时（AD＝255m），警方做好了射击准备．走私车又行驶了多少米后，警方可以对其进行射击？
4、（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
考点10：选址距离相等问题
【例题1】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长．
【例题精练】
1、如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．
2、（广东佛山） 如图，在中，，，，垂足．
（1）求证：．
（2）求的长度；
（3）点是边上一点，且点到边和的距离相等，求点到边距离．
考点11：折叠问题
【例题1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【方法点拨】根据翻折前后两图形全等，借助勾股定理构造方程求线段的长。
【例题精练】
1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6㎝，BC＝8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝ ㎝
2、如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是　 　．
3、如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将它沿着对角线对折，使B折到M，求：
（1）线段CE的长度；
（2）求点E到直线AC的距离．
4、（广东佛山） 如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则______．
5、（广东）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，求的长
考点12：最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解
【例题1】如图，长方体中，，AD=3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程的平方是多少？
【例题2】一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（　）
A． B． C． D．
【例题精练】
1、（2020秋 碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？
2、如图，圆柱形玻璃杯。高为12cm，底面周长为18cm.在杯内离杯底4cm的点C处滴蜂蜜，此时一只“妈权正好在杯外，离杯上沿 4m 与峰面相对的点A，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）㎝
A、12 B、15 C、16 D、18
3、（2020秋 淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？
4、 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A. B. C. D.
5、（佛山南海外国语2023）综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短 （计算过程中的取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.
（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米.将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）
素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小
5 11 10.3
4 10 9.85
3 a 9.49 b
（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；
（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等
6、如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　）
A．8m B．10m C．m D．m
7、如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
考点13：卡车过隧道问题
【例1】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m， 1m，0.8m 的箱子能放在储藏室吗
【例题精练】
1、（佛山南海石门）如图，某隧道是一个双向通车的隧道，隧道的截面是一个半径为5米的半圆形，一辆高4.2米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？为什么？
2、一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门
3、（2020秋 荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．第三讲 勾股定理的应用
考点目录
2
考点1：梯子滑落高度问题
考点2：旗杆问题
考点3：小鸟飞行的距离
考点4：大数折断前的高度
考点5：水杯中的筷子问题
考点6：航海问题
考点7：河的宽度问题
考点8：是否超速问题
考点9：台风影响问题
考点10：选址距离相等问题
考点11：折叠问题
考点12：最短路径问题
考点13：卡车过隧道问题
【例题精讲与精练】
考点1：梯子滑落高度问题
【例题1】如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为0.7米．
(1)求的值；
(2)如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．
【答案】(1)的值为米；(2)点B向外移动米，见解析
【分析】(1)在直角中，根据勾股定理即可求的长度；
(2根据即可求得的长度，在直角中，已知，即可求得的长度，根据即可求解．
【解析】(1)解：在直角中，已知米，米，
则(米)，
∴的值为米；
(2)解：点B向外移动米，
∵，
∴米，
∵在直角中，，且为斜边，
∴(米)，
∴(米)，
答：点B向外移动米．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．
【例题精练】
1、（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？
【答案】梯子底部外移0.8米．
【分析】本题考查正确运用勾股定理，在中，根据已知条件运用勾股定理可将的长求出，又知的长可得的长，在中再次运用勾股定理可将求出，的长减去的长即为底部外移的距离．
【详解】解：在中，，，
米，
又，
，
在中，米，
则米．
故：梯子底部外移0.8米．
2、（23-24八年级下·辽宁大连·期中）一架长的梯子，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．
(1)如图，，，求这架梯子的顶端距地面有多高？
(2)如图，如果梯子靠墙下移，底端向右移动至点处，求它的顶端A沿墙下移多少米？

【答案】(1)这架梯子的顶端距地面有
(2)梯子的顶端沿墙下移
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握利用勾股定理计算是解题的关键．
（1）根据勾股定理，计算得出答案即可；
（2）根据、，结合勾股定理计算，最后根据得出答案即可．
【详解】（1）解：∵于点，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∵，，
∴，
答：这架梯子的顶端距地面有；
（2）解：由题意，得，
∴，
∵，
∴在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴，
答：梯子的顶端沿墙下移．
3、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一根竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为15米，顶端距离地面20米；如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在左墙时，其顶端距离地面为24米，则小巷的宽度为______米．
【答案】22
【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【解析】在中，，米，米，
米．∴米
在中，，米，米，
米，米，
∴小巷的宽度为22米．
故答案为：22．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
考点2：旗杆问题
【例题1】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
答案：设旗杆高度为X米，则AC 为（X+1）米，由题意得，AB⊥BC，BC＝5米，∴∠ABC＝90°，在RT△ABC中，AB +BC ＝AC ，∴x +5 ＝（x+1）
解得X＝12.
【例题精练】
1、如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
答案：根据题意有：CD＝17-1×7＝10（米）
∠CAB＝90°，在RT△ACD中，AD＝＝＝6（米），在RT△ABC中，AB＝＝＝15（米）
故船向岸边移动的距离为BD＝AB-AD＝15-6＝9（米）
2、（广东佛山2023）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当它把绳子的下端拉开7m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是多少？
答案：设旗杆高X米，则绳子长（X+1）米，∵旗杆垂直于底面，∴旗杆、绳子地底面构成直角三角形，∴由题意可列：x +5 ＝（x+1） ，
解得：x＝12米，所以旗杆高为12米。
3、如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送(水平距离)时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？
【答案】
【分析】设秋千的绳索长为，则，在中，由勾股定理，即可求解．
【解析】设秋千的绳索长为，则，
在中，，
∴，
解得：，
答：绳索的长度是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4、（广东佛山）在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上：梯子底端C离墙20米，如图．
（1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升4米（云梯长度不变），那么云梯底都在水平方向应滑动多少米？
【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有15米；
（2）云梯的底部在水平方向应向左滑（）米．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理可得，再代入数计算即可；
（2）根据题意求出EB长，再在直角△EBD中利用勾股定理计算出BD长，进而可得CD长．
【小问1详解】
解：由题意得：在Rt△ABC中，米，BC=20米，
∴根据勾股定理得：米，
答：这个梯子的顶端距地面有15米；
【小问2详解】
解：由题意得：EA=4米，则BE=19米，
∴在Rt△EBD中，根据勾股定理得：
米
∵米，
∴米；
答：云梯的底部在水平方向应向左滑（）米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
5、（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子，大致如图所示，李明想用所学知识测量大树AD的高度，他从工作人员处了解到绳子AB的长为13米，AC的长为20米，然后用米尺测得B、C之间的距离为21米，已知B、C、D在一条直线上，AD⊥BC，求大树的高AD．
【答案】大树的高为12米
【分析】设BD=x米，则CD=BC-BD=（21-x）米，利用勾股定理得到，，即可得到，由此求解即可．
【详解】解：设BD=x米，则CD=BC-BD=（21-x）米，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，
∴，
∴，
解得，
∴BD=5米，
∴米，
答：大树的高为12米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
考点3：小鸟飞行的距离
【例题1】在水平地面上有一棵高9米的大树，和一棵高4米的小树，两树之间的水平距离是12米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行（　　）
A．12米 B．13米 C．9米 D．17米
解析：AB＝12米，CD＝6米；BD＝8米；过点C作CE⊥AB与点E，过四边形BDCE是矩形，∴BE＝CD＝6米，CE＝BD＝8米，∴AE＝AB-BE＝6米，
∴AC＝＝10（米）
答案：小鸟飞行的最短距离为10米。
【例题精练】
1、（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离．
【答案】小鸟飞行的最短路程为10米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接．
∵米，米，米，
∴米，米，米，
在中，(米)，
故小鸟飞行的最短路程为10米．
考点4：大数折断前的高度
【例题1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子三尺远，则原处还有　　尺竹子．（请直接写出答案，注：1丈＝10尺）．
解析：解：设竹子折断处离底面X尺，则斜边为（10-X）尺，根据勾股定理得：X +3 ＝
答案：
【例题精练】
九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
答案：D
2、（广东佛山2023）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，
其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．
【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，
由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，
故BD＝＝5（m），
即AD＝9m，
则AC＝＝＝15（m），
故AC+AB＝15+4＝19（m）．
答：这棵树原来的高度是19米．
考点5：水杯中的筷子问题
【例题1】如图，在水池的正中央有一根芦菲，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦第拉向水池一边，它的项端恰好到达池边的水面则这根芦革的长度是（ ）
A.10尺 B.11尺 C 、12尺 D.13尺
答案：
【例题精练】
1、如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
答案：C
2、我国古代数学著作九章算术记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
答案：B
3、印度数学家什迦逻曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题．
答案：
4、如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，
由勾股定理得，长方体的对角线长为，
当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，
∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
考点6：航海问题
【例题1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
(1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．
(2)岛在港的什么方向？
【答案】(1)从岛返回港所需的时间为3小时
(2)岛在港的北偏西
【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
（1）中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间间路程速度；
（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答．
【详解】（1）由题意，
中，，得．
．
．
．
（小时）．
答：从岛返回港所需的时间为3小时．
（2），
．
．
．
岛在港的北偏西．
【例题精练】
1、 已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行；船B以的速度向北航行．它们离开港口后，相距多远？
【答案】它们离开港口后相距
【解析】
【分析】由题意知两条船的航向构成了直角，再根据路程速度时间，由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵A、B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行；船B以的速度向北航行，
∴，它们离开港口后，，，
∴，
答：它们离开港口后相距．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出，的长是解题的关键．
2．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向航行，乙船沿北偏东方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船相距___________海里
【答案】20
【分析】根据已知的北偏西和北偏东，可求得，再由勾股定理求得甲、乙两船的距离．
【解析】∵甲船沿北偏西方向航行，乙船沿北偏东方向航行，
∴，
∵甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：20．
【点睛】本题考查方位角以及勾股定理的运用，解题关键是能正确找出方位角并熟练应用勾股定理．
考点7：河的宽度问题
【例题1】游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为( )．
A．80米 B．100米 C．72米 D．112米
答案：A
【例题精练】
1、为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )
A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m
答案：C
2、（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长．
【答案】米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：设米，则米，
在中，，，
即，
解得：，
即米，
答．该河的宽度为75米．
考点8：是否超速问题
【例题1】（23-24八年级下·广东广州·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？
【答案】，超速了
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∴该汽车的速度为，
∵，
∴可疑汽车超速了．
【例题精练】
1、（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．

【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解．
【详解】解：依题意，在中，，；
据勾股定理可得：，
故小汽车的速度为s．
故答案为：．
2、（2024八年级下·全国·专题练习）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】超速了，理由见解析
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键．
直接利用勾股定理得出的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．
【详解】解：由题意知，米，米，且在中，是斜边，
∴，即
∴米千米，
且2秒时，所以速度为千米/时，
∵，
∴该小汽车超速了．
考点9：台风影响问题
【例题1】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．
台风中心经过多长时间从移动到点？
已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上：接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
答案：
【例题精练】
1、M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
答案:A
2、森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
答案：
3、在一次缉私行动中，警方获得可靠消息：一辆走私车将路过一段水平且笔直的公路，但由于车上有威力巨大的爆炸装置，在方圆120m范围内有危险，缉私警察无法靠近．为保证我警员的安全，决定利用远程射击的方法，警方选中一个距离公路120m的高地作为隐蔽处（CD＝120m），当射程为200m时开始射击（BD＝200m）．若走私车与警方隐蔽处的距离为255m时（AD＝255m），警方做好了射击准备．走私车又行驶了多少米后，警方可以对其进行射击？
答案：
4、（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
答案
考点10：选址距离相等问题
【例题1】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长．
答案：
【例题精练】
1、如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．
【答案】的长为
【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识．
先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：设，则，
由勾股定理得：
在中，，
在中，，
由题意可知：，
所以，
解得：
即的长为．
2、（广东佛山） 如图，在中，，，，垂足．
（1）求证：．
（2）求的长度；
（3）点是边上一点，且点到边和的距离相等，求点到边距离．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）点到边距离为
【解析】
【分析】（1）直接根据三角形内角和定理证明即可；
（2）设，根据勾股定理列方程求解即可；
（3）过作，，连接，设，
再根据三角形面积公式列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：在和中，
，
，，
设，
，
解得：，
．
【小问3详解】
解：过作，，
连接，设，
中，，，
，
，
，
，
解得：，
点到边距离为．
考点11：折叠问题
【例题1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【方法点拨】根据翻折前后两图形全等，借助勾股定理构造方程求线段的长。
答案：
【例题精练】
1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6㎝，BC＝8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝ ㎝
答案：
2、如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是　 　．
答案：
3、如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将它沿着对角线对折，使B折到M，求：
（1）线段CE的长度；
（2）求点E到直线AC的距离．
答案：
4、（广东佛山） 如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】连接BE， 由将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，可得BE= 4-AE，然后利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如下图，连接BE，
∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴BE=EG，
∵，，
∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，
∵在Rt△ABC中，，，
∴AE2+AB2=BE2即，
∴AE=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理构造方程求解是解题的关键．
5、（广东）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，求的长
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：在直角三角形中，，，
由勾股定理可知：，
由折叠的性质可知：，，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
∴．
考点12：最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解
【例题1】如图，长方体中，，AD=3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程的平方是多少？
答案：
【例题2】一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（　）
A． B． C． D．
答案：
【例题精练】
1、（2020秋 碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D12（cm），
则该圆柱底面周长为24cm．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
2、如图，圆柱形玻璃杯。高为12cm，底面周长为18cm.在杯内离杯底4cm的点C处滴蜂蜜，此时一只“妈权正好在杯外，离杯上沿 4m 与峰面相对的点A，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）㎝
A、12 B、15 C、16 D、18
答案：B
3、（2020秋 淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？
【分析】利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【解答】解：如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，
∴MN20（cm）；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，
∴MN2（cm）．
如图3中，
MN2（cm），
∵20＜22，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．
【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
4、 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查两点之间线段最短、立体图形展开为平面图形求最小值问题、勾股定理等知识，根据展开成平面图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：
在中，
，,
∴，
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是．
故选：C．
5、（佛山南海外国语2023）综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短 （计算过程中的取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.
（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米.将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）
素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小
5 11 10.3
4 10 9.85
3 a 9.49 b
（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；
（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等
【答案】（1）作图见解析，，二 （2）， （3）
【解析】
【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．
（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可；
（2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小；
（3）构造方程即可得到结论．
【详解】（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为：
展开后，半圆长为，
此时最短路程厘米，
∵
比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，
故答案为：，二；
（2）解：，
∵，
∴表格中b表示的大小关系是，
故答案为：，；
（3）解：根据题意可得，
即，
∴，
故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．
6、如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　）
A．8m B．10m C．m D．m
答案：B
7、如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
答案：D
考点13：卡车过隧道问题
【例1】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m， 1m，0.8m 的箱子能放在储藏室吗
答案：
【例题精练】
1、（佛山南海石门）如图，某隧道是一个双向通车的隧道，隧道的截面是一个半径为5米的半圆形，一辆高4.2米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？为什么？
答案：
2、一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门
答案：
3、（2020秋 荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．
【分析】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【解答】解：能通过；
理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，
如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，
则OP＝0.8m，OE＝1m，∠OPE＝90°，
在Rt△OPE中，由勾股定理得，EP2＝OE2﹣OP2＝1﹣0.82＝0.36，
∴EP＝0.6（m），
∴EF＝0.6+1.8＝2.4（m），
∵2.4＞2.3，
∴运输车通过储藏室的门．
【点评】本题考查了勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

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