资源简介

(共39张PPT)
第二课时
比的基本性质
（人教版）六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
使学生联系商不变的性质和分数的基本性质，进行知识的类比迁移，理解比的基本性质。使学生在理解比的基本性质的基础上，尝试化简比，并掌握化简的方法。
01
02
培养学生利用旧知自主探索新知的意识和能力。
03
在化简比的过程中体会、掌握转化的数学思想。
新知导入
1.写出下面两个量的比，求出比值，并说说比值的实际意义。
①王老师买了50盒铅笔，用了125元。
②小明家距离学校520米，他从家到学校用了8分钟。
125：50
=125÷50
=2.5
说明1盒粉笔是2.5元。
520：8
=520÷8
=65
说明小明每分钟走65米。
新知导入
2.比与除法、分数之间的联系和区别是什么？
联 系 区 别
除法
分数
比
被除数
除数
÷（除号）
商
分子
分母
分数值
（分数线）
前项
后项
:（比号）
比值
一种运算
一种数
表示两个量之间的关系
新知导入
你还记得商不变的规律、分数的基本性质吗？
商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
学习任务一
理解比的基本性质
探究新知
为什么可以这样写
比是两个数相除的另一种形式，根据除法与分数的关系，可以把比改写成除法和分数的形式。
也可以写成3:4，所以我认为这两个比和3：4也是相等的。
3
4
探究新知
观察下面的两个比，你发现了什么？
两个 比的比值都是 ，6：8和12：16这两个比相等。
3
4
探究新知
请大家联系比和除法、分数的关系，想一想：在比中有什么样的规律？
学习提示：
我们先利用比和除法的关系来研究：自己尝试猜想一下，会不会存在像商不变这样的规律？
以小组的形式，用上面所举的例子讨论：比的前项和后项及比值会有什么样的规律？
探究新知
我们先利用比和除法的关系来研究。
6÷8＝（6×2）÷（8×2）＝12÷16
被除数
除数
同时乘2，商不变
6：8＝（6×2）：（8×2）＝12：16
前项
后项
同时乘2，比值不变
探究新知
我们先利用比和除法的关系来研究。
6÷8＝（6÷2）÷（8÷2）＝3÷4
被除数
除数
同时除以2，商不变
6：8＝（6÷2）：（8÷2）＝3：4
前项
后项
同时除以2，比值不变
探究新知
你能根据比和分数的关系研究比中的规律吗？
6
8
=
6×2
8×2
=
12
16
6︰8
＝（6×2）︰（8×2）
＝12︰16
6
8
=
6÷2
8÷2
=
3
4
6︰8
＝（6÷2）︰（8÷2）
＝3︰4
探究新知
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。
探究新知
利用分数的基本性质，分数可以约分，同样，根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
什么是最简单的整数比
和分数一样，通常情况下比的前项、后项只有公因数1，这样的整数比就是最简整数比。
学习任务二
化简比
探究新知
（1）神舟五号搭载了两面联合国旗帜，一面长15 cm，宽 10 cm，另一面长180cm，宽120cm。这两面联合国旗帜长和宽的最简单的整数比分别是多少？
从信息中你知道了什么？要求什么？
探究新知
第一面联合国旗帜长和宽的比是多少？
5是15和10的最大公因数，同时除以5，比的前项和后项只有公因数1。
=（15÷5）：（10÷5）
=3：2
15：10
探究新知
第二面联合国旗帜长和宽的比是多少？
根据比的基本性质，给比的前项和后项同时除以最大公因数60。
=（180÷60）：（120÷60）
=3：2
180：120
化简整数比，可以用前项和后项的最大公因数直接除。
探究新知
（2）把下面各比化成最简单的整数比。
:
1
6
2
9
0.75：2
1
6
∶
2
9
=（ ×18）：（ ×18）
1
6
2
9
＝3：4
为什么要乘18？
18是6和9的最小公倍数，同时乘18，可以把分数变成整数。
探究新知
化简分数比，应该把比的前、后项分别乘分母的最小公倍数，以便去掉分母，变成整数比，再进行化简。
探究新知
（2）把下面各比化成最简单的整数比。
:
1
6
2
9
0.75：2
0.75：2
＝75：200
＝（75÷25）:（200÷25）
＝（0.75×100）：（2×100）
同时乘以100，把小数比变成整数比。
同时除以75和200的最大公因数25。
＝3：8
化简小数比，先化成整数比，再化成最简整数比。
探究新知
说说当一个比的前项或后项不是整数时，怎样把它化成最简单的整数比
当前、后项出现分数或小数时，应先把比化为整数，再进一步化简。
探究新知
化简比的结果还是一个比，是一个最简整数比。
求比值的结果是一个数。
化简比和求比值一样吗？
课堂练习
基础题：
1.判断。
（1）化简比的依据是比的基本性质。 （ ）
（2）化简比就是求比值。 （ ）
（4）比化简后，比值将变小。 （ ）
（5）比的前项扩大到原来的3倍，要使比值不变，比的后项也要扩大到原来的3倍。 （ ）
√
×
×
√
课堂练习
基础题：
2.找出最简整数比。
14：16
7：8
8：7
课堂练习
基础题：
2.找出最简整数比。
10：0.2
50：1
5：1
课堂练习
基础题：
2.找出最简整数比。
：
8：9
9：8
5
8
5
9
课堂练习
提高题：
3.在方格图中画出两个不同的长方形，使它们各自的长与宽的比都是3：1。
长
宽
长
宽
课堂练习
拓展题：
4.做一项工作，甲用15天完成，乙用12天完成，甲、乙所用时间的最简整数比是多少？甲、乙工作效率的最简整数比是多少？
15：12
=（15÷3）：（12÷3）
=5：4
=（ ×60）：（ ×60）
1
15
1
12
＝4：5
1
15
1
12
：
答：甲、乙所用时间的最简整数比是5：4，甲、乙工作效率的最简整数比是4：5。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道了比的基本性质。
我会用比的基本性质化简比了。
板书设计
比的基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。
整数比
分数比 化简 最简整数比
小数比
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
1.化简比并求比值。
0.2：0.7 16：56 ： 45分：1小时
1
5
1
20
=2：7
=
2
7
=2：7
=
2
7
=4：1
=4
=3：4
=
3
4
=45：60
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
2. 把20克糖放入80克水中，糖与糖水的比是多少？
20：（20+80）
=20：100
=1：5
答：糖与糖水的比是1：5。
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
1.填一填。
（1）妈妈24元钱买了6kg苹果，用的钱数与买苹果的数量的最简整数比是（ ），比值是（ ），这个比值表示（ ）。
（2）2：5的前项变成8，要使比值不变，后项应乘（ ）；如果前项加上8，要使比值不变，后项应加上（ ）。
4：1
4
苹果的单价
4
20
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
2.一辆汽车几次运货的时间和所行路程如下表：
第几次 一 二
时间/小时 3 2.5
所行路程/千米 180 150
（1）第一次汽车行驶的路程与时间的比是（ ），写成最简整数比是（ ）。
（2）第二次汽车行驶的路程与时间的比是（ ），比值是（ ），比值所表示的量是（ ）。
180：3
60：1
150：2.5
60
速度
作业布置
黄金比
你听说过“黄金比”吗
把一条线段分成两部分，当较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比时，我们把这个比称为黄金比(约为0.618 : 1 )。当一个物体的两个部分长度的比大致符合黄金比时，常常给人优美的视觉感受，所以，人们设计许多物品时都会考虑黄金比这一因素。
a：b≈0.618：1
作业布置
【综合实践类作业】
上图中的五角星内还有其他线段长度的比符合黄金比吗？请你自己收集一些有关黄金比的信息与同学交流。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
让备课更有效
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《比》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“结合具体情境理解整数除法与分数的关系。在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出：“能在实际情境中运用小数和分数解决问题，进一步发展符号意识和数感。能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识。能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生已经掌握了整数除法的意义、分数乘法的意义，以及解简易方程的基础上学习比的意义，求比值,利用比的基本性质化简比，并能解决按比例分配简单的实际问题。本单元借助实例让学生感受比在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。本单元的教学分为三个层次，即一是比的意义，二是理解比的基本性质，三是比的应用。
（三）学生认知情况
在学习本单元知识之前，六年级的学生已经掌握了整数除法的意义、分数乘法的意义，以及解简易方程，并且对比也有了一定的认识，为学习本单元知识打下了基础。 由于学生没有系统的学习这部分知识，学生在学习本单元时，需要将已知的除法知识与比的知识相结合，进一步理解和运用比的概念。
二、单元目标拟定
1.经历从具体情境中抽象出比的过程，使学生理解比的意义，会求比值，知道比与分数、除法的关系，感受数学知识在日常生活中的应用价值。
2.理解并掌握比的基本性质，会应用比的基本性质化简比。
3.能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题。
4.在理解比的意义、探索比与分数、除法之间的关系以及比的基本性质的过程中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间的内在联系。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解比的意义，会求比值，知道比与分数、除法的关系。
2.理解并掌握比的基本性质，会化简比，并能解决按照一定的比进行分配的实际问题。
（二）教学难点
1.理解比的意义和比的基本性质，会求比值、化简比。
2.能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《义务教育数学课程标准(2022 年版)》提出:“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.在学习比的认识时，教材在编排上借助我国第一艘载人飞船的有关内容作为载体引出同类量的比、不同类量的比，在理解了比的现实背景的基础上逐步抽象出比的概念，理解比的意义。
2.教材在编排上注意引导学生结合比的意义，利用比与分数、除法的关系自主探索比的基本性质。
3.在学习解决按比分配的实际问题时，教材引导学生利用比的意义，把新问题转化为已经学过的平均分问题和分数乘法问题，沟通了知识之间的联系，进而提高了学生学习数学的兴趣。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比 比的意义 1
比的基本性质 1
比的应用 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
4.1《比的意义》 目标： 能借助生活具体情境理解比的意义，会读、写比，认识比的各部分名称；掌握求比值的方法，并能正确求出比值。根据思考问题，进一步沟通比和除法、分数的联系 任务一：认识比 → 任务二：理解比的意义，知道比各部分的名称。 → 任务三：比、分数与除法之间的关系 → 1.能根据具体的情景，借助除法的意义写出同类量的比和不同类量的比。 2.理解比的意义，会读、写比，知道比各部分的名称。 3.根据分数和除法的关系和比的分数形式，理解并掌握比、分数与除法之间的联系与区别。
4.2《比的基本性质》 目标： 理解比的基本性质，并在理解比的基本性质的基础上，尝试化简比，并掌握化简的方法。 任务一：理解比的基本性质 → 任务二：化简比 → 1.根据比和除法、分数的关系，能概括出比的基本性质。 2.能运用比的基本性质化简比，并掌握化简的方法。
4.3《比的应用》 目标： 理解按比例分配的意义，掌握按比例分配应用题的结构特征以及解题方法，能正确解答按比例分配应用题。 任务一：阅读与理解 → 任务二：分析与解答 → 任务三：回顾与反思 → 1.能根据例题情景，捕捉例题中的已知条件与问题。 2.能根据平均分问题和分数乘法问题掌握按一定比例分配应用题的解题方法。 3.能根据题意检验结果的合理性。
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《4.2 比的基本性质》教学设计
课题 比的基本性质 单元 第四单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 教材启发学生根据比和除法、分数的关系思考：“在比中有什么样的规律？”首先通过比较比值、直接看出6：8和12：16这两个比相等，同时也能看出这两个比和3：4也是相等的。接下来让学生探究两个比相等的内在原因。教材给出了根据比和除法的关系类推的过程，再让学生根据比和分数的关系自主探究。在此基础上，概括出比的基本性质。例1教学运用比的基本性质化简比。第（1）题仍采用“神舟”五号的题材，给出两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简整数比。其中15：10的化简给出了完整的过程并启发学生思考为什么这样化简：180：120的化简则让学生自己完成。化简的过程便于学生感悟化简的必要性，既能使量与量之间的关系更加简明、清晰。两个最简整数比相等，也渗透了图形按比例缩放的相似变换思想。第（2）题的两个比中的前、后项分别出现了分数和小数。教材同样提出了启发学生思考比的化简方法的问题，把前、后项不是整数的情况先转化为前、后项都是整数的情况，再利用第（1）题的方法自行完成。
学习目标 1.学习目标描述：使学生联系商不变的性质和分数的基本性质，进行知识的类比迁移，理解比的基本性质。使学生在理解比的基本性质的基础上，尝试化简比，并掌握化简的方法。2.学习内容分析：本节课是在学生认识了比，知道比与分数、除法的关系，学会求比值，并能用比的知识解释一些简单的生活问题的基础上进行教学的。本节的知识点将为学生学习比的应用打下基础也为以后学习比例做好铺垫。3.学科素养核心分析：培养学生利用旧知自主探索新知的意识和能力。在化简比的过程中体会、掌握转化的数学思想。
重点 联系商不变的性质和分数的基本性质，进行知识的类比迁移，理解比的基本性质。
难点 在理解比的基本性质的基础上，掌握化简比的方法。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.复习旧知（1）写出下面两个量的比，求出比值，并说说比值的实际意义。①王老师买了50盒铅笔，用了125元。②小明家距离学校520米，他从家到学校用了8分钟。（2）比与除法、分数之间的联系和区别是什么？2.导入新课师：你还记得商不变的规律、分数的基本性质吗？根据学生的回答，课件出示：商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。师：分数有分数基本性质，除法有商不变的规律，那么比有什么呢？这节课我们一起来探讨这方面的知识。 学生自主完成，然后集体订正。学生自由说说。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识打基础。通过交流引入新课，激发学生的学习积极性，从而为新课的开展奠定基础。
讲授新课 任务一：理解比的基本性质课件出示：师：为什么可以这样写 根据学生的回答，师小结：比是两个数相除的另一种形式，根据除法与分数的关系，可以把比改写成除法和分数的形式。观察上面的两个比，你发现了什么？师：请大家联系比和除法、分数的关系，想一想：在比中有什么样的规律？课件出示——学习提示：我们先利用比和除法的关系来研究：自己尝试猜想一下，会不会存在像商不变这样的规律？以小组的形式，用上面所举的例子讨论：比的前项和后项及比值会有什么样的规律？根据学生的回答，课件出示： 师：你能根据比和分数的关系研究比中的规律吗？根据学生的回答，课件出示：师：在比中有什么样的规律？你能说说吗？师：大家还有补充的吗？师：现在你能完整的说说自己的发现吗？根据学生的回答，师小结：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。师：利用分数的基本性质，分数可以约分，同样，根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。那么什么是最简单的整数比呢？课件出示：和分数一样，通常情况下比的前项、后项只有公因数1，这样的整数比就是最简整数比。 学生独自观察，然后自由说说。 学生1：两个 比的比值都是，6：8和12：16这两个比相等。 学生2：也可以写成3:4，所以我认为这两个比和3：4也是相等的。 学生分组完成，然后集体交流。 学生独自完成，然后集体反馈。学生：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数，比值的大小不变。学生：我认为0应该除外。因为比的后项不能为0，所以不能乘或除以0。学生自由说说。学生了解最简整数比的意义。 通过观察、交流，让学生利用比值相等初步得出结论，为后面的进一步探究做准备。通过观察，帮助学生初步建立数学模型，感受数与数之间的关系，进一步理解比的基本性质，同时也感受到知识之间的互通性。通过说说“0除外”，让学生进一步明确比的后项不能为0 的规定，也进一步体验到了知识之间的联系，培养了学生严谨的学习态度。
任务二：化简比1.化简整数比课件出示：神舟五号搭载了两面联合国旗帜，一面长15 cm，宽 10 cm，另一面长180cm，宽120cm。这两面联合国旗帜长和宽的最简单的整数比分别是多少？师：从信息中你知道了什么？要求什么？师：第一面联合国旗帜长和宽的比是多少？师：怎样才能化为最简单的整数比？师：5是15和10的什么数？为什么要除以5？师：运用比的基本性质，把比的前项或后项同时除以最大公因数5，就可以得到15比10的最简单的整数比3：2。第二面联合国旗的长与宽的比是多少？师：如何化简180：120？打开课本48页填一填。师：怎样化简，根据是什么？展示：180：120=（180÷60）：（120÷60）=3：2师：结合上面化简整数比的过程，谁能说说怎样化简整数比？2.化简分数比、小数比师：分数比、小数比又怎么化简呢？课件出示：把下面各比化成最简单的整数比。： 0.75：2师：你是怎样化简的？谁来说说？展示：： =（×18）：（×18）=3：4师：为什么要乘18？师：化简分数比，应该把比的前、后项分别乘分母的最小公倍数，以便去掉分母，变成整数比，再进行化简。那么小数比又该怎么化简呢？展示：0.75：2=（0.75×100）：（2×100）=75：200=（75÷25）:（200÷25）=3：8师：化简小数比，先化成整数比，再化成最简整数比。现在你能说说当一个比的前项或后项不是整数时，怎样把它化成最简单的整数比 根据学生的回答，师小结：当前、后项出现分数或小数时，应先把比化为整数，再进一步化简。师：化简比和求比值一样吗？ 学生独自阅读，然后自由说说。 学生独自思考，然后回答：15：10。 学生：根据比的基本性质，给比的前项和后项同时除以5。 学生：5是15和10的最大公因数，同时除以5，比的前项和后项只有公因数1。 学生：180：120。 学生独自完成。 学生：根据是比的基本性质，给比的前项和后项同时除以最大公因数60。学生：化简整数比，可以用前项和后项的最大公因数直接除。学生尝试化简。学生：根据比的基本性质，给比的前项和后项同时乘以18。学生：因为18是6和9的最小公倍数，同时乘18，这样就可以把分数变成整数，再进一步化简。学生：给比的前项和后项同时乘以100，把小数比变成整数比，再同时除以75和200的最大公因数25。学生自由说说。学生1：化简比的结果还是一个比，是一个最简整数比。学生2：求比值的结果是一个数。 借助“神舟”五号的题材，引导学生通过化简比，经历整数比的化简过程，便于学生感悟化简的必要性，能使量与量之间的关系更加简明、清晰。 让学生经历整数比的化简过程，不仅强化了化简的依据，还将知识有机地结合起来，提高学生学习数学的积极性。 通过化简分数比和小数比，让学生经历自主探究、交流、讨论的过程，有利于掌握比的化简的方法，培养学生解决问题的能力、观察能力，锻炼他们用数学语言表达的能力。
课堂练习 基础题：1.判断。（1）化简比的依据是比的基本性质。 （ ） （2）化简比就是求比值。 （ ） （4）比化简后，比值将变小。 （ ） （5）比的前项扩大到原来的3倍，要使比值不变，比的后项也要扩大到原来的3倍。 （ ） 2.找出最简整数比。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.在方格图中画出两个不同的长方形，使它们各自的长与宽的比都是3：1。
拓展题 4.做一项工作，甲用15天完成，乙用12天完成，甲、乙所用时间的最简整数比是多少？甲、乙工作效率的最简整数比是多少？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 比的基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.化简比并求比值。0.2：0.7 16：56 ： 45分：1小时2.把20克糖放入80克水中，糖与糖水的比是多少？ 选做题：1.填一填。（1）妈妈24元钱买了6kg苹果，用的钱数与买苹果的数量的最简整数比是（ ），比值是（ ），这个比值表示（ ）。（2）2：5的前项变成8，要使比值不变，后项应乘（ ）；如果前项加上8，要使比值不变，后项应加上（ ）。2.一辆汽车几次运货的时间和所行路程如下表：（1）第一次汽车行驶的路程与时间的比是（ ），写成最简整数比是（ ）。 （2）第二次汽车行驶的路程与时间的比是（ ），比值是（ ），比值所表示的量是（ ）。
【综合实践类作业】上图中的五角星内还有其他线段长度的比符合黄金比吗？请你自己收集一些有关黄金比的信息与同学交流。
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