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2023-2024苏科版九年级下册6.7相似三角形的应用
【类型一：平行投影】
【类型二：中心投影】
【类型三：小孔成像】
【类型四：镜面反射】
【类型五：其他类型】
备注：类型一包含影子落在墙上、楼梯上、坡上的问题
【类型一：平行投影】
光线在直线传播过程中，遇到不透明的物体，在这个物体的后面光线不能到达的区域便产生影．
1、定义
如下图所示，在阳光的照射下，树木、路灯、路标都产生了影。通常我们把太阳光看成平行光，在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影
通过观察和测量，我们可以发现：
（1）在阳光下，在同一时刻，物体高度与物体的影长存在的关系是：物体的高度越高，物体的影长就越长．
（2）在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例．
2、尝试与交流（课本P82页）
问题：如果此时测得金字塔的影DB的长为32m，金字塔底部正方形的边长为230m，你能计算这座金字塔的高度吗？
3、重要公式：
在同一时刻的太阳光的照射下，不同物体的长度与影长成比例
基础巩固
1. 小刚身高1.6m，测得他站立在阳光下的影子长为0.8m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1m，那么小刚举起手臂超出头顶（　　）
A．2m B．0.6m C．0.5m D．0.4m
2. （2024春 莱西市期末）如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度．如果标杆BE高12m，测得AB＝16m，BC＝126m，则建筑物CD的高度是（　　）
A．94.5m B．106.5m C．142m D．168m
3.（2024 南通二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是（　　）
A．2.5m B．3m C．4.5m D．5m
4.（2024 保定二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高为（　　）
A．24m B．24cm C．6m D．6cm
5.（2023秋 乐陵市期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（　　）
A．25m B．26.5m C．50m D．51.5m
6.（2023秋 浙江期末）如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB＝8m，CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m，王红估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C，此时，她与左边较低的树AB的水平距离（　　）
A．小于8m B．小于9m C．大于8m D．大于9m
7.（2024 兰考县一模）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE＝5米，窗口高AB＝2米，那么窗口底边离地面的高BC＝　 　米．
8.（2024春 鲤城区校级期中）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下是数据（单位：米）：表目距EH＝10，CG＝30，表高目DE＝FG＝5，表距EG＝860．则山高AB＝　 　米．
9.（2024 镇平县模拟）如图1是屹立于河南省新郑市南关双洎河南岸的北宋古塔——风台寺塔，距今已有900余年，为仓颉造字之地．数学综合实践小组用自制的菱形测角仪ABCD测量塔高，其边长为50cm，较长的对角线DB的长为80cm，O为对角线的交点，当测角仪的顶点D，A与塔顶避雷装置顶端的点E在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线AG过点O和顶点C，交地平线FG于点G，经测量得到FG＝26m，OG＝1.5m．
（1）求凤台寺塔EF的高（包括顶部高为2m的避雷装置）；
（2）据凤台寺塔的简介知，该塔不包括避雷装置的高度为19.1m，结合计算结果，提出一条改进测量方法的合理化建议．
【拓展延申：影子落在墙上、楼梯上、坡上】
10.（2023 长岭县二模）如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直于地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为 　 　m．
11.（2020秋 中站区期末）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（　　）
A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米
12．（2013秋 缙云县期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上．
（1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树AB的高度．
（2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF为8米，坡面上的影长FG为4米．已知斜坡的坡角为30°，则树的高度为　 　．（本小题直接写出答案，结果保留根号）
13.（2023 碑林区校级自主招生）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．
【类型二：中心投影】
夜晚，当人在路灯下行走时，会看到自己的影子有何变化？
中心投影的定义
通常，路灯、台灯、手电筒......的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。
思考：在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？
尝试与交流：课本P83页
3、练习巩固
14．如图，路灯（点P）距地面9m，身高1.5m的小云从距路灯的底部（点O）20m的点A出发，沿AO所在的直线行走14m到点B时，小云的影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
15．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点B处时，乙测得甲直立时身高BE的影子AB长是3.6m，然后甲从B出发沿AC方向继续向前走10.8m到点D处时，乙测得甲直立时身高DF的影子CD长是0.6m．已知甲同学直立时的身高为1.8m，求路灯离地面的高度GH．
16．如图，丽丽、娜娜利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量公园里路灯的点光源O到地面的高度OA．如图，丽丽站在路灯下D处，娜娜测得丽丽投在地面上的影子BD＝1m；当丽丽在点D处半蹲时，娜娜测得丽丽的影子DF＝0.6m，已知丽丽的身高DE＝1.5m，半蹲时的高度CD＝1m．图中所有点均在同一平面内，OA、DE均与地面AB垂直，点C在DE上，A，D，F，B在同一水平线上，请你根据以上信息帮助她们计算路灯的点光源O到地面的高度OA．
17．如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB，CD．杨老师早晨上班时发现路灯AB的顶端B在太阳光下的影子恰好落在里程碑E处，他自己的影子顶端恰好落在路灯CD的底部C处．晚自习放学后，杨老师站在早晨同一个地方，发现自己在路灯CD照射下的影子的顶端恰好落在里程碑E处．
（1）在图中画出表示杨老师身高的线段FG，并画出光线，标明太阳光、灯光；
（2）若早晨上班时高1m的木棒的影子长为2m，杨老师身高1.8m，他离里程碑E的距离为5m，求路灯高．
18．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯AB，CD的照射下，地面上形成了他的两个影子EH，EG．已知光源B，D的高均为10m，小凯的身高EF为1.5m，两盏路灯相距40m，A，C，E，G，H在同一平面内．
（1）当影子EG长为6m时，求此时小凯到路灯CD的距离EC；
（2）连接GH，判断GH与AC的位置关系，并说明理由；
（3）小凯向上跳起再落下，该过程中GH最长达到9m，直接写出小凯跳起的最大高度．
【类型三：小孔成像】
19．（2024 英德市二模）如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50cm处，遮光板在刻度尺70cm处，光屏在刻度尺80cm处，量得像高3cm，则蜡烛的长为（　　）
A．5cm B．6cm C．4cm D．4.5cm
20．（2024 永善县二模）约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是3cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A．2cm B．2.5cm C．4cm D．4.5cm
21．（2024 临洮县二模）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.2cm，蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为8cm，AE∥OF，则像CD的高为（　　）
A．15.6cm B．17.5cm C．18.4cm D．20.8cm
22．（2024 凤城市一模）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　）
A． B． C． D．
23．（2024春 西湖区期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数．当x＝8时，y＝3．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为4cm，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
【类型四：镜面反射】
特点：入射角=反射角
24．（2023秋 新郑市期末）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2m，小明身高EF＝1.7m，则凉亭的高度约为（　　）
A．8.5m B．9m C．9.5m D．10m
25．（2024 雨花区校级二模）延时课上，老师布置任务如下：让王林站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林目高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王林（　　）m处才能观测到大树的顶端．
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2024 工业园区校级二模）【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到BC＝a，CE＝b，DE＝c．问：海关大楼高AB高为多少？（用a，b，c表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到EG＝16.8m，DF＝1.6m，GN＝1.8m，DE＝1.45m，请你求出海关大楼AB的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
27．（2024 自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　 m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
28．（2024 永寿县二模）为了测量路灯EP的长度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到B处，在BN之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置分别到C，D两点时，小明恰好能在镜中分别看到两灯全貌，其视线如图所示，已知点B，C，D，N在同一水平直线上，且AB，MN均垂直于BN，D、P、F三点共线，且EP⊥MN，FM⊥MN．已知小明眼睛离地面的高度AB＝1.8m，BC＝1.2m，CD＝0.6m，DN＝10m，MF＝3m．求路灯EP的长．（平面镜的大小忽略不计，结果精确到0.1）
【类型五：其他类型】
29．（2024 馆陶县二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度AB＝（　　）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
30．（2023秋 鹤壁期末）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8m，则池塘的宽DE为（　　）
A．32m B．36m C．48m D．56m
31．（2024春 肇源县期末）如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3m，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（　　）
A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m
32．（2024 福州模拟）如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB＝60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为（　　）
A．20cm B．24cm C．32cm D．40cm
33．（2024 河西区模拟）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB相交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为（　　）
A．7 B．7.4 C．8 D．9.2
34．（2023秋 西峡县期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　）
A．cm B．5cm C．6cm D．7cm
35．（2024春 莱西市期末）如图，一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件EFGH和FGMN，则正方形的边长为 　 　cm．
36．（2024春 招远市期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝100步，NF＝225步，那么该正方形城邑边长AD约为（　　）步．
A．300 B．260 C．225 D．185
37．（2024 岑溪市模拟）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝2：1，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为 　1　cm．
38．（2024 广西模拟）如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长 　 　米．
39．（2024 亭湖区一模）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝　　．
40．（2024 河南三模）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得CE＝3m，矩形DEFG为底盘，长和宽分别为4m和0.9m，BG＝2m，AB⊥BF，DC⊥AE，点B、G、F在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈2.65）
41．（2024 仓山区校级模拟）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等．
【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点．
【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足．
【素材3】如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
【探究活动】
（1）当检测距离为5米时，
①猜想n与b满足 　 　函数关系（填：一次或二次或反比例）；
②直接写出n与b的函数关系式为 　 　；
③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
（2）当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角θ的范围．
（3）在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？2023-2024苏科版九年级下册6.7相似三角形的应用
【类型一：平行投影】
【类型二：中心投影】
【类型三：小孔成像】
【类型四：镜面反射】
【类型五：其他类型】
备注：类型一包含影子落在墙上、楼梯上、坡上的问题
【类型一：平行投影】
光线在直线传播过程中，遇到不透明的物体，在这个物体的后面光线不能到达的区域便产生影．
1、定义
如下图所示，在阳光的照射下，树木、路灯、路标都产生了影。通常我们把太阳光看成平行光，在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影
通过观察和测量，我们可以发现：
（1）在阳光下，在同一时刻，物体高度与物体的影长存在的关系是：物体的高度越高，物体的影长就越长．
（2）在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例．
2、尝试与交流（课本P82页）
问题：如果此时测得金字塔的影DB的长为32m，金字塔底部正方形的边长为230m，你能计算这座金字塔的高度吗？
3、重要公式：
在同一时刻的太阳光的照射下，不同物体的长度与影长成比例
基础巩固
1. 小刚身高1.6m，测得他站立在阳光下的影子长为0.8m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1m，那么小刚举起手臂超出头顶（　　）
A．2m B．0.6m C．0.5m D．0.4m
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是x m
根据同一时刻物高与影长成比例，得，x＝0.4．
故选：D．
【点评】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解．
2. （2024春 莱西市期末）如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度．如果标杆BE高12m，测得AB＝16m，BC＝126m，则建筑物CD的高度是（　　）
A．94.5m B．106.5m C．142m D．168m
【分析】证明△ABE∽△ACD，由相似三角形的性质可知＝，然后结合题意代入数值求解即可获得答案．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝12m，AB＝16m，BC＝126m，
∴AC＝AB+BC＝142（m），
∴＝，
∴CD＝106.5m．
答：建筑物CD的高度是106.5m．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键．
3.（2024 南通二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是（　　）
A．2.5m B．3m C．4.5m D．5m
【分析】证明△ABD∽△AEF，得＝，求出EF的长即可．
【解答】解：由题意可知，AE＝9m＝900cm，
∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEF，
∴＝，
即＝，
解得：EF＝300cm＝3m，
即树高EF是3m，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4.（2024 保定二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高为（　　）
A．24m B．24cm C．6m D．6cm
【分析】根据题意可知：△ABD∽△AQP，根据相似三角形的性质即可得到PQ的长．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，
∴△ABD∽△AQP，
∴＝，
即＝，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.（2023秋 乐陵市期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（　　）
A．25m B．26.5m C．50m D．51.5m
【分析】利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
【解答】解：由题意BF＝AG＝1.2m，BD＝AH＝20m，AB＝FG＝DH＝1.5m，EF＝3m，
∴EG＝EF﹣FG＝3﹣1.5＝1.5（m），
∵EG∥CH，
∴△AEG∽△ACH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝25，
∴CD＝DH+DH＝25+1.5＝26.5（m）．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
6.（2023秋 浙江期末）如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB＝8m，CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m，王红估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C，此时，她与左边较低的树AB的水平距离（　　）
A．小于8m B．小于9m C．大于8m D．大于9m
【分析】当小红的眼睛的位置到F′时，C，A，F′共线，此时由△F′AH∽△F′CK得到F′H：F′K＝AH：CK，求出F′H即可解决问题．
【解答】解：当小红的眼睛的位置到F′时，C，A，F′共线，
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD，
∴△F′AH∽△F′CK，
∴F′H：F′K＝AH：CK，
∵AH＝AB﹣BH＝8﹣1.6＝6.4（m），CK＝CD﹣KD＝12﹣1.6＝10.4（m），
∴F′H：（F′H+5）＝6.4：10.4，
∴F′H＝8（m），
在前进的过程中，小红发现看不到右边较高的树的顶端C，此时，她与左边较低的树AB的水平距离小于8m．
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是从问题中抽象出相似三角形，由相似三角形的性质来解决问题．
7.（2024 兰考县一模）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE＝5米，窗口高AB＝2米，那么窗口底边离地面的高BC＝　2.5　米．
【分析】根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．
【解答】解：∵AD∥BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，CD＝CE+ED＝4+5＝9，AC＝BC+AB＝BC+2，
∴＝，解得，BC＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
8.（2024春 鲤城区校级期中）魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下是数据（单位：米）：表目距EH＝10，CG＝30，表高目DE＝FG＝5，表距EG＝860．则山高AB＝　220　米．
【分析】根据题意可得：BA⊥AC，DE⊥AC，FG⊥AC，从而可得∠BAH＝∠DEH＝∠FGC＝90°，然后证明A字模型相似△DEH∽△BAH和△BAC∽△FGC，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：BA⊥AC，DE⊥AC，FG⊥AC，
∴∠BAH＝∠DEH＝∠FGC＝90°，
∵∠DHE＝∠BHA，
∴△DEH∽△BAH，
∴＝，
∴＝，
∵∠C＝∠C，
∴△BAC∽△FGC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
解得：AE＝430，
∴＝，
解得：AB＝220，
∴山高AB为220米，
故答案为：220．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，数学常识，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
9.（2024 镇平县模拟）如图1是屹立于河南省新郑市南关双洎河南岸的北宋古塔——风台寺塔，距今已有900余年，为仓颉造字之地．数学综合实践小组用自制的菱形测角仪ABCD测量塔高，其边长为50cm，较长的对角线DB的长为80cm，O为对角线的交点，当测角仪的顶点D，A与塔顶避雷装置顶端的点E在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线AG过点O和顶点C，交地平线FG于点G，经测量得到FG＝26m，OG＝1.5m．
（1）求凤台寺塔EF的高（包括顶部高为2m的避雷装置）；
（2）据凤台寺塔的简介知，该塔不包括避雷装置的高度为19.1m，结合计算结果，提出一条改进测量方法的合理化建议．
【分析】（1）延长DB交EF于点H，根据题意可得：HF＝OG＝1.5m，HO＝FG＝26m，∠EHD＝90°，再根据菱形的性质可得∠AOD＝90°，DO＝0.4m，从而可得DH＝26.4m，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的长，再证明A字模型相似△AOD∽△EHD，从而利用相似三角形的性质求出EH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答；
（2）根据多次测量求平均值，可以减少误差，即可解答．
【解答】解：（1）延长DB交EF于点H，
由题意得：HF＝OG＝1.5m，HO＝FG＝26m，∠EHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，DO＝BD＝40（cm）＝0.4（m），
∴DH＝HO+DO＝26+0.4＝26.4（m），
在Rt△AOD中，AD＝50cm＝0.5m，
∴OA＝＝＝0.3（m），
∵∠EHD＝∠AOD＝90°，∠ADO＝∠EDH，
∴△AOD∽△EHD，
∴＝，
∴＝，
解得：EH＝19.8，
∴EF＝EH+HF＝19.8+1.5＝21.3（m），
答：凤台寺塔EF的高为21.3m；
（2）一条改进测量方法的合理化建议：多次测量求平均值，可以减少误差（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【拓展延申：影子落在墙上、楼梯上、坡上】
10.（2023 长岭县二模）如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直于地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为 　12　m．
【分析】设地面影长对应的树高为x m，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加上墙上的影长CD即为树的高度．
【解答】解：设地面影长对应的树高为x m，
由题意得，＝，
解得x＝10，
∵墙上的影子CD长为2m，
∴树的高度为10+2＝12（m）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，难点在于树高分两个部分求解．
练11.（2020秋 中站区期末）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（　　）
A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米
【分析】作出图形，先根据同时同地物高与影长成正比求出台阶的高落在地面上的影长EH，再求出落在台阶上的影长在地面上的长，从而求出大树的影长假设都在地面上的长度，再利用同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解
【解答】解：如图，∵＝，
∴EH＝0.3×0.6＝0.18，
∴AF＝AE+EH+HF＝4.42+0.18+0.2＝4.8，
∵＝，
∴AB＝＝8（米）．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，难点在于把大树的影长分成三段求出假设都在地面上的长度，作出图形更形象直观．
12．（2013秋 缙云县期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上．
（1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树AB的高度．
（2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF为8米，坡面上的影长FG为4米．已知斜坡的坡角为30°，则树的高度为　（+6）米　．（本小题直接写出答案，结果保留根号）
【分析】（1）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高；
（2）延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【解答】解：（1）延长AC、BD交于点E，
根据物高与影长成正比得：，
即，
解得：DE＝7，
则BE＝7+6＝13米，
同理＝，
即：，
解得：AB＝6.5．
答：树AB的高度为6.5米；
（2）延长AG交EF延长线于D点，
则∠GFM＝30°，作GM⊥ED于M，
在Rt△GFM中，∠GFM＝30°，GF＝4m，
∴GM＝2（米），FM＝4cos30°＝2（米），
在Rt△GMD中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE＝2（米），CE：DE＝1：2，
∴DM＝4（米），
∴ED＝EF+FM+MD＝12+2（米）
在Rt△AED中，AE＝ED＝（12+2）＝（+6）（米）．
故答案为：（+6）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
13.（2023 碑林区校级自主招生）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．
【分析】延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，在直角三角形MBF中，利用30°角的性质求出BM和MF，再利用相似求出BH长度；最后由△HBE∽△HCD，求出CD即大树的高度即可．
【解答】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°
∴∠MFB＝30°
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝米
∵BE⊥CB，MF⊥BE
∴BH∥MF
∴△EBH∽△EMF
∴＝
又∵EB＝1.8米
∴＝
∴BH＝
∵BE∥CD
∴△HBE∽△HCD
∴＝
∵CB＝5
∴＝
∴CD＝15.8米
∴大树CD的高度为15.8米．
【点评】本题考查了相似三角形在解决实际问题中的应用，明确相似三角形的判定定理及其性质，是解题的关键．
【类型二：中心投影】
夜晚，当人在路灯下行走时，会看到自己的影子有何变化？
中心投影的定义
通常，路灯、台灯、手电筒......的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。
思考：在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？
尝试与交流：课本P83页
3、练习巩固
14．如图，路灯（点P）距地面9m，身高1.5m的小云从距路灯的底部（点O）20m的点A出发，沿AO所在的直线行走14m到点B时，小云的影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【专题】图形的相似；运算能力．
【分析】由相似三角形的判定证得△MDA∽△MPO，利用相似三角形对应边成比例列式可求出AM；由BM＝AM+AB可求得结果；由相似三角形的判定证得△NCB∽△NPO，利用相似三角形对应边成比例列式可求出BN，然后相减即可得到结论．
【解答】解：∵DA∥PO，∴△MDA∽△MPO，
∴＝，
∵PO＝9m，DA＝1.5m，OA＝20m，
∴＝，
解得：AM＝4（m）；
∴BM＝AM+AB＝4+14＝18（m）；
∵CB∥PO，
∴△NCB∽△NPO，
∴＝，
∵PO＝9m，CD＝1.5m，ON＝OA﹣BA+BN＝20﹣14+BN＝6+BN，
∴＝，
解得：BN＝1.2（m），
4﹣1.2＝2.8（m），
小云的影子的长度是变长了还是变短了，变短了2.8米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的性质列出两个影长的表达式是解题的关键．
15．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点B处时，乙测得甲直立时身高BE的影子AB长是3.6m，然后甲从B出发沿AC方向继续向前走10.8m到点D处时，乙测得甲直立时身高DF的影子CD长是0.6m．已知甲同学直立时的身高为1.8m，求路灯离地面的高度GH．
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】设HG＝x m，DG＝y m，根据BE⊥AG，DE⊥AG，HG⊥AG，得到BE∥HG∥DE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：设HG＝x m，DG＝y m，
∵BE⊥AG，DE⊥AG，HG⊥AG，
∴BE∥HG∥DE，
∴△AEB∽△AHG，△CDE∽△CGH，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得x＝8.28，
∴路灯离地面的高度GH为8.28m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
16．如图，丽丽、娜娜利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量公园里路灯的点光源O到地面的高度OA．如图，丽丽站在路灯下D处，娜娜测得丽丽投在地面上的影子BD＝1m；当丽丽在点D处半蹲时，娜娜测得丽丽的影子DF＝0.6m，已知丽丽的身高DE＝1.5m，半蹲时的高度CD＝1m．图中所有点均在同一平面内，OA、DE均与地面AB垂直，点C在DE上，A，D，F，B在同一水平线上，请你根据以上信息帮助她们计算路灯的点光源O到地面的高度OA．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】先根据题意证明△OAB∽△EDB，得出，证明△OAF∽△CDF，得出，代入数据得出，，求出结果即可．
【解答】解：由题意得，∠OAB＝∠CDF＝∠EDB＝90°，∠OBA＝∠EBD，
∴△OAB∽△EDB，
∴，
同理可得：△OAF∽△CDF，
∴，
即，，
解得OA＝6．
∴路灯的点光源O到地面的高度OA为6m．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
17．如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB，CD．杨老师早晨上班时发现路灯AB的顶端B在太阳光下的影子恰好落在里程碑E处，他自己的影子顶端恰好落在路灯CD的底部C处．晚自习放学后，杨老师站在早晨同一个地方，发现自己在路灯CD照射下的影子的顶端恰好落在里程碑E处．
（1）在图中画出表示杨老师身高的线段FG，并画出光线，标明太阳光、灯光；
（2）若早晨上班时高1m的木棒的影子长为2m，杨老师身高1.8m，他离里程碑E的距离为5m，求路灯高．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据平行投影，中心投影的定义画出图形；
（2）利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵早晨上班时高1m的木棒的影子长为2m，杨老师身高1.8m，
∴杨老师的影子长为3.6m，
∵GF⊥AC，DC⊥AC，
∴GF∥CD，
∴△EGF∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
∴DC＝3.096（m）．
即路灯高为3.096m．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，平行投影，中心投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯AB，CD的照射下，地面上形成了他的两个影子EH，EG．已知光源B，D的高均为10m，小凯的身高EF为1.5m，两盏路灯相距40m，A，C，E，G，H在同一平面内．
（1）当影子EG长为6m时，求此时小凯到路灯CD的距离EC；
（2）连接GH，判断GH与AC的位置关系，并说明理由；
（3）小凯向上跳起再落下，该过程中GH最长达到9m，直接写出小凯跳起的最大高度．
【分析】（1）证明△GFE∽△GDC，运用相似三角形的性质即可得出结论；
（2）证明△GHE∽△CAE，可得∠ACE＝∠HGE，可得GH∥AC；
（3）由△GHE∽△CAE，求出GE，再由△GFE∽△GDC求出EF即可．
【解答】（1）解：∵EF∥CD，
∴△GFE∽△GDC，
∴GE：GC＝EF：CD，
∵GE＝6m，EF＝1.5m，CD＝10m，
∴6：（6+EC）＝1.5：10，
解得，EC＝34m，
答：此时小凯到路灯的距离34m；
（2）解：如图：连接GH，
由（1）可得EH：HA＝GE：GC＝EF：CD＝1.5：10，
∴HE：AE＝GE：CE，
又∠GEH＝∠CEA，
∴△GHE∽△CAE，
∴∠ACE＝∠HGE，
∴GH∥AC；
（3）解：如图，
同（2）可得△GHE∽△CAE，
∴GH：AC＝GE：EC，
∵GH＝9m，AC＝40m，
∴GE：GC＝GH：AC＝9：40，
∴GE：GC＝9：49，
又△GFE∽△GDC，
设最大高度为x m，
∴x：DC＝GE：GC，
∴x：10＝9：49，
解得，x＝，
所以，小凯头顶离地面的最大高度m．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据题意证明三角形相似，利用比例式求解即可．
【类型三：小孔成像】
19．（2024 英德市二模）如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50cm处，遮光板在刻度尺70cm处，光屏在刻度尺80cm处，量得像高3cm，则蜡烛的长为（　　）
A．5cm B．6cm C．4cm D．4.5cm
【分析】根据题意证明△ABO∽△CDO，得出比例式求出AB的长即可．
【解答】解：由题意可知，OA＝70﹣50＝20（cm），OC＝80﹣70＝10（cm），CD＝3cm，AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
∴，
解得AB＝6，
即蜡烛的长为6cm，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（2024 永善县二模）约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是3cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A．2cm B．2.5cm C．4cm D．4.5cm
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形性质得到：．
解得x＝2．
即蜡烛火焰的高度是2cm．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（2024 临洮县二模）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.2cm，蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为8cm，AE∥OF，则像CD的高为（　　）
A．15.6cm B．17.5cm C．18.4cm D．20.8cm
【分析】先证△CAE∽△COF得出＝，再证△OAB∽△OCD，根据相似三角形的对应边成比例得出＝，即可求出CD的长．
【解答】解：由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，
∴四边形ABOE是平行四边形．
∴AE＝OB＝6cm．
∵AE∥OF，
∴△CAE∽△COF，
∴＝，
∴＝＝．
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴＝，
∴＝．
∴CD＝20.8，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（2024 凤城市一模）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，从而可得∠AHO＝∠BOH＝90°，然后证明8字模型相似△AHF1∽△BOF1，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，
∴∠AHO＝∠BOH＝90°，
∵∠AF1H＝∠BF1O，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴＝＝，
∴BO＝AH，
∴CG＝AH，
∴物体被缩小到原来的，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
23．（2024春 西湖区期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数．当x＝8时，y＝3．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为4cm，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
【分析】（1）根据题意可设y＝，然后把x＝8，y＝3代入y＝中，从而进行计算即可解答；
（2）把x＝4代入y＝中，进行计算即可解答；
（3）利用（2）的结论进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）设y＝，
把x＝8，y＝3代入y＝中得：3＝，
解得：k＝24，
∴y关于x的函数表达式为：y＝；
（2）把x＝4代入y＝中得：y＝＝6，
∴火焰的像高为6cm；
（3）当火焰的像高为5cm，5＝
解得：x＝4.8，
∴小孔到蜡烛的距离至少是4.8厘米．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
【类型四：镜面反射】
特点：入射角=反射角
24．（2023秋 新郑市期末）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2m，小明身高EF＝1.7m，则凉亭的高度约为（　　）
A．8.5m B．9m C．9.5m D．10m
【分析】根据题意可得：∠AGC＝∠FGE，AC⊥CE，FE⊥CE，从而可得∠ACG＝∠FEG＝90°，然后证明△ACG∽△FEG，从而利用相似三角形的性质求出AC的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠AGC＝∠FGE，AC⊥CE，FE⊥CE，
∴∠ACG＝∠FEG＝90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴＝，
∴＝，
解得：AC＝8.5，
∵BC＝DE＝1m，
∴AB＝AC+BC＝8.5+1＝9.5（m），
∴凉亭的高度约为9.5m，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2024 雨花区校级二模）延时课上，老师布置任务如下：让王林站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林目高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王林（　　）m处才能观测到大树的顶端．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可得：∠APB＝∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，从而可得∠ABP＝∠CDP＝90°，然后证明△ABP∽△CDP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：∠APB＝∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∴＝，
解得：BP＝2，
∴将平面镜P放置在离王林2m处才能观测到大树的顶端，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（2024 工业园区校级二模）【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到BC＝a，CE＝b，DE＝c．问：海关大楼高AB高为多少？（用a，b，c表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到EG＝16.8m，DF＝1.6m，GN＝1.8m，DE＝1.45m，请你求出海关大楼AB的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
【分析】问题一：由反射特点可知∠ACB＝∠DCE，证明△ABC∽△DEC，，即可求得AB．
问题二：由反射特点可知∠AEB＝∠FED，∠AGB＝∠MGN，证得△AEB∽△FED，△AGB∽△MGN，有，，FD＝MN，，可得AB．
问题三：（1）在角度误差上分析，
（2）在测量距离上分析即可．
【解答】解：问题一：由反射特点可知∠ACB＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∵BC＝a，CE＝b，DE＝c，
即，
∴AB＝，
问题二：由反射特点可知∠AEB＝∠FED，∠AGB＝∠MGN，
∵∠ABC＝∠FDE＝∠MNG＝90°，
∴△AEB∽△FED，△AGB∽△MGN，
∴，，
∵FD＝MN，
∴，
∵EG＝16.8m，DF＝1.6m，GN＝1.8m，DE＝1.45m，
∴，
解得EB＝69.6，
∴，
解得AB＝76.8，
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到∠AEB＝∠FED和∠AGB＝∠MGN，实际操作中存在误差．
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质．
27．（2024 自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　11.3　m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
【分析】（1）由影长EF恰好等于自己的身高DE，知△DEF是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角三角形，故AB＝BC＝11.3m，
（2）证明△DEC∽△ABC，可得＝，故AB＝12，即旗杆高度为12米；
（3）由△DCG∽△DAB，得＝，设AB＝x m，BD＝y m，则＝，知y＝x，同理可得＝，即得＝，从而＝，解出x即可得雕塑高度约为31m．
【解答】解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝11.3m，
故答案为：11.3；
（2）如图：
由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB，
又∠DEC＝90°＝∠ABC，
∴△DEC∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得AB＝12，
∴旗杆高度为12米；
（3）如图：
∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝90°＝∠ABD，
∴△DCG∽△DAB，
∴＝，
设AB＝x m，BD＝y m，则＝，
∴y＝x，
同理可得＝，
∴＝，
∴＝，
解得x＝28.8；
经检验，x＝28.8是原方程的解，
故AB≈29m，
∴雕塑高度AB约为29m．
【点评】本题考查解直角三角形应用，涉及相似三角形判定与性质，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
28．（2024 永寿县二模）为了测量路灯EP的长度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到B处，在BN之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置分别到C，D两点时，小明恰好能在镜中分别看到两灯全貌，其视线如图所示，已知点B，C，D，N在同一水平直线上，且AB，MN均垂直于BN，D、P、F三点共线，且EP⊥MN，FM⊥MN．已知小明眼睛离地面的高度AB＝1.8m，BC＝1.2m，CD＝0.6m，DN＝10m，MF＝3m．求路灯EP的长．（平面镜的大小忽略不计，结果精确到0.1）
【分析】先根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到PN＝DN＝10m，过E作EG⊥BN于G，则EG＝PN＝10m，EP＝GN，证明△ABC∽△EGC求得，进而求得GN即可．
【解答】解：∵AB＝1.8m，BC＝1.2m，CD＝0.6m，
∴AB＝BD＝1.8m，
∵EP⊥MN，FM⊥MN，
∴∠ADB＝∠BAD＝45°，则∠PDN＝∠DPN＝45°，
∴PN＝DN＝10m，
过E作EG⊥BN于G，则四边形EGNP是矩形，
∴EG＝PN＝10m，EP＝GN，
∵∠ABC＝∠EGC＝90°，∠ACB＝∠ECG，
∴△ABC∽△EGC，
∴，即，
解得，
∴，
∴EP＝GN＝3.9m．
答：路灯EP的长约为3.9m．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识解决问题．
【类型五：其他类型】
29．（2024 馆陶县二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度AB＝（　　）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【分析】根据题意得出AC∥BD，AB∥DE，根据平行线得性质得出∠CAB＝∠ABD＝∠BDE，即可证明△ACB～△DEB，根据相似三角形的性质即可得答案．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥DE于E，
由题意可知：AC∥BD，AB∥DE，∠ACB＝90°，BD＝15cm，BC＝6cm，BE＝10cm，
∴∠CAB＝∠ABD＝∠BDE，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴△ACB～△DEB，
∴，即，
解得：AB＝9，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质、平行线的性质及相似三角形得判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
30．（2023秋 鹤壁期末）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8m，则池塘的宽DE为（　　）
A．32m B．36m C．48m D．56m
【分析】根据相似三角形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝48m，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
31．（2024春 肇源县期末）如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3m，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（　　）
A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m
【分析】利用相似三角形的判定与性质进而求出DF，AF的长即可得出AD的长．
【解答】解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，
∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
∴＝＝，
∵BC＝2.6m，BE＝1m，
∴EC＝2.4（m），
即＝＝，
解得：FB＝，AF＝，
∵△CDF∽△CEB，
∴＝，
即＝
解得：DF＝，
故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），
答：此时点A离地面的距离为2.2m．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用相似三角形的性质得出FD的长是解题关键．
32．（2024 福州模拟）如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB＝60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为（　　）
A．20cm B．24cm C．32cm D．40cm
【分析】根据题意可得：AB⊥BC，从而根据垂直定义可得∠DEC＝∠ABC＝90°，再根据已知易得：BC＝80cm，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，然后根据线段的中点定义可得CD＝40cm，再证明△ECD∽△BCA，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵AB＝60cm，AB+BC＝140cm，
∴BC＝140﹣60＝80（cm），
∴AC＝＝＝100（cm），
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BC＝40（cm），
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ECD∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
解得：DE＝24，
∴钢梁DE的长为24cm，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
33．（2024 河西区模拟）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB相交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为（　　）
A．7 B．7.4 C．8 D．9.2
【分析】根据8字模型相似三角形证明△BDE∽△ACE，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵BD∥AC，
∴∠D＝∠ACD，∠A＝∠ABD，
∴△BDE∽△ACE，
∴，
∴，
解得：AC＝7，
答：古井水面以上部分深度AC的长为7米，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
34．（2023秋 西峡县期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　）
A．cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】证明△AEF∽△ABC，则，设正方形零件EFHG的边长为x，则AK＝10﹣x，根据相似三角形的性质得到，解方程即可．
【解答】解：∵四边形EFHG是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴，
设正方形零件EFHG的边长为x cm，则AK＝（10﹣x）cm，
∴，
解得：，
即这个正方形零件的边长为．
故选：A．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
35．（2024春 莱西市期末）如图，一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件EFGH和FGMN，则正方形的边长为 　24　cm．
【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AHM∽△ABC，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答．
【解答】解：设正方形零件的边长为a cm，
在正方形EFGH中，HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∵AD是高，
∴＝，即＝，
∴a＝24，
答：正方形的边长为24cm．
故答案为：24．
【点评】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
36．（2024春 招远市期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝100步，NF＝225步，那么该正方形城邑边长AD约为（　　）步．
A．300 B．260 C．225 D．185
37．（2024 岑溪市模拟）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝2：1，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为 　1　cm．
【分析】根据已知易证△AOB∽△COD，然后利用相似三角形的性质可得AB：CD＝2：1，从而可得AB＝8cm，最后再进行计算即可解答．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝2：1，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD＝2：1，
∵CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8（cm），
∵零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x＝＝1（cm），
故答案为：1．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
38．（2024 广西模拟）如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长 　24　米．
【分析】如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．利用相似三角形是性质分别求出x，y即可．
【解答】解：如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．
由题意，AB＝1.5米，AC＝CD＝3米，EF＝15米．
∵AB∥CD，
∴△TAB∽△TCD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
∵CD∥EF，
∴△TCD∽△TEF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝24，
经检验y＝24是分式方程的解，
∴EC＝24（米），
故答案为：24．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
39．（2024 亭湖区一模）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝　3cm　．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），
∴＝，
∴AB＝3cm，
故答案为：3cm．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
40．（2024 河南三模）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得CE＝3m，矩形DEFG为底盘，长和宽分别为4m和0.9m，BG＝2m，AB⊥BF，DC⊥AE，点B、G、F在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈2.65）
【分析】延长AE交BF于H，由AB⊥BF，DC⊥AE，得到∠B＝∠DCE＝90°，根据矩形的性质得到∠EFH＝∠DCE＝90°，DE∥BH，根据相似三角形的性质得到FH＝EH，根据勾股定理得到EH＝，求得FH＝≈1.36，根据相似三角形的性质即可得到结论．．
【解答】解：延长AE交BF于H，
∵AB⊥BF，DC⊥AE，
∴∠B＝∠DCE＝90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠EFH＝∠DCE＝90°，DE∥BH，
∴∠H＝∠DEC，
∴△EFH∽△DCE，
∴＝＝，
∴＝，
∴FH＝EH，
在Rt△EFH中，EF＝0.9，EF2+FH2＝EH2，
∴0.92+（EH）2＝EH2，
∴EH＝，
∴FH＝≈1.36，
∴BH＝BG+GF+FH＝2+4+1.36＝7.36．
∵AB⊥BF，EC⊥BH，
∴EF∥AB，
∴△EFH∽△ABH，
∴＝，
∴＝，
∴AB≈4.9，
答：集装箱顶部到地面的高度AB约为4.9m．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
41．（2024 仓山区校级模拟）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等．
【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点．
【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足．
【素材3】如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
【探究活动】
（1）当检测距离为5米时，
①猜想n与b满足 　反比例　函数关系（填：一次或二次或反比例）；
②直接写出n与b的函数关系式为 　　；
③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
（2）当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角θ的范围．
（3）在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？
【分析】（1）①根据图象上的点猜测为反比例函数关系，②求出比例系数，再验证即可，③n＝1.2代入函数解析式，即可得到答案；
（2）根据的增减性进行解答即可；
（3）根据题意解得检测距离b2应为3m，3m≠3.5m，即可得到答案．
【解答】解：（1）由图象中点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
设，将其中的点（9，0.8）代入，得到k＝7.2，
∴，
将其余点一一代入，都符合关系式，
故答案为：①反比例；②；
③将n＝1.2代入得：b＝6；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm；
（2）∵，
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0＜θ≤1.0，
又∵0.5≤θ≤10，∴0.5≤θ≤1.0；
（3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，
由相似三角形性质得，
由（1）知b1＝6，∴，
解得检测距离b2应为3m，3m≠3.5m，
答：不匹配，检测距离b2应调整为3m．（或者小何同学应当向视力表方向前进0.5m）．
【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．

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