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§2.5 直线与圆的位置关系
2024-2025学年苏科版数学九年级上册
相关知识回顾
1、点到直线的距离：从直线外一点向这条直线画垂线，这__________________的长度，叫做点到直线的距离。
2、点与圆的位置关系：若点于圆的距离为d,圆的半径为r。
（1）_________________________；
（2）_________________________；
（3）_________________________。
知识点1：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
图形
公共点的个数
公共点名称
直线名称
★判断直线与圆的位置关系的方法
直线与圆的位置关系可以用直线与圆的公共点的个数来判断，也可以用圆心到直线的距离（通常用表示）与半径长（）的大小关系来判断，如下表：
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数 2 1 0
圆心到直线的距离与半径长的大小关系
公共点的名称 交点 切点
直线名称 割线 切线
【典型例题1】已知⊙O的半径是8，圆心O到直线l的距离为7,则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断
【典型例题2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( ).
相离 B.相切 C.相交 D.无法判断
【典型例题3】已知的半径为，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（ ）
A: 相切 B: 相离 C: 相离或相切 D: 相切或相交
【典型例题4】已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【典型例题5】如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm．
1.已知⊙O的半径是8，圆心O到直线l的距离为7,则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
相离 B.相切 C.相交 D.无法判断
2.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是(　　)
A.r＜6 B.r＝6 C.r＞6 D.r≥63.
3.已知的半径为，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（ ）。
A: 相切 B: 相离 C: 相离或相切 D: 相切或相交
4.在中，，，，以为圆心，为半径作圆，若圆与直线相切，则的值为（ ）。
A: B: C: D:
5.在中,,,,以C为圆心,r为半径作.若与斜边AB有两个公共点,则r的取值范围是_________
6.在平面直角坐标系中,以点为圆心,r为半径的圆与两坐标轴恰有四个公共点,则r的值或范围是_________
7.如图，，点是射线上的一点，，若以点为圆心，半径为的沿方向移动，当与相切时，圆心移动的距离为________。
8.如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ．
9.等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．
（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？
知识点2：直线与圆的位置关系的性质和判定
如果的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么
（1）直线与相交；
（2）直线与相切；
（3）直线与相离。
【典型例题1】[来源:学§
1.如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点.
（1）求证：与相切.
（2）若正方形的边长为1，求半径的长.
【典型例题2】
2.如图，在中，，以为直径的与相交于点，为上一点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，，求的的度数．
【典型例题3】
如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若直径AC＝15cm，AE＝3cm，求DE的长．
【典型例题4】
4.如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
(1)求证：是切线；
1.下列四个选项中的表述，一定正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
2.在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
4.如图，已知内接于⊙O，是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是弧的中点，过点C作⊙O的切线交的延长线于D点，交的延长线于E点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
5.如图，在中，点P是边上一点且满足，是的外接圆，过点P作交于点D．

(1)求证：是的切线；
6.△ABC的三边长分别为7cm，24cm，25cm，则△ABC的外心到直角顶点的距离是 .
10.如图，是的直径，切于，弦．
(1)求证：是的切线；
7.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
8.如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
知识点3：圆的切线的性质定理（重点）
★经过半径的外端并且______________________直线是圆的切线。
★判定直线是圆的切线有如下三种方法：
定义：_______________________________________________；
数量关系：___________________________________________；
定理：_______________________________________________。
注意：如果直线上一个点到圆心的距离等于圆的半径，这条直线与圆不一定相切，可能相切也可能相交。
【典型例题1】[如图，AB是的直径，点P为AB延长线上任意一点，点C为半圆ACB的中点，PD切于点D，连接CD交AB于点E。求证：PD=PE。
【典型例题2】如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，则的长为__________．
【典型例题3】如图，已知内接于⊙O，是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是弧的中点，过点C作⊙O的切线交的延长线于D点，交的延长线于E点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
1.如图，直线与相切于点，，是的两条弦，且，若的半径为，，则弦的长为_____ 。
2.如图，为的直径，切于点，交的延长线于，且，则（ ）。
A: B: C: D:
3.如图,BD为圆O的直径,直线ED为圆O的切线,A、C两点在圆上,AC平分且交BD于F点.若,则的度数为何( )
A. B. C. D.
4.如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5.如图：P是的直径的延长线上一点，是的切线，A为切点，，则 ．
6.如图，在△中，，以为直径的圆分别交，于点D，E，过点B作圆的切线交的延长线于点F．
(1)求证：；
7.如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明：
(1)是的角平分线；
(2)．
8.已知：如图，点是外一点，过点分别作的切线、，切点为点、，连接，过点作交于点，过点作于.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，的半径为，试证明四边形的周长等于.

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