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专项培优⑥章末复习课
考点一　抽样方法
1．两种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层抽样．
2．通过对两种抽样方法的考查，提升学生的数据分析素养．
例1　①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参加座谈会．方法：(1)简单随机抽样；(2)分层抽样．则问题与方法配对正确的是(　　)
A．①(1)，②(2) B．①(2)，②(1)
C．①(1)，②(1) D．①(2)，②(2)
跟踪训练1　某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
考点二　用频率分布直方图估计总体分布
1．已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可利用频率和等于1求解．
2．已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．
3．通过对频率分布直方图的考查，提升学生的数据分析和逻辑推理素养．
例2　如图，是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为(　　)
A．20 B．30
C．40 D．50
跟踪训练2　某电子商务公司对10 000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
考点三　用样本估计总体的集中趋势与离散程度
1．为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则是处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，则是中间两个的数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用表示；标准差是反映样本数据离散程度大小的最常用的统计量，其计算公式是s＝.
2．通过对集中趋势与离散程度的估计的考查，提升学生的数据分析和数学运算素养．
例3　在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900.
(1)若采用随机数法抽样，已知用计算机产生的若干0～9范围内的随机数如下，以第3个数5为起点．从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；
0 6 5 1 2 9 1 6 9 3 5 8 0 5 7 7 0
9 5 1 5 1 2 6 8 7 8 5 8 5 5 4 8 7
6 6 4 7 5 4 7 3 3 2 0 8 1 1 1 2 4
4 9 5 9 2 6 3 1 6 2 9 5 6 2 4 2 9
4 8 2 6 9 9 6 1 6 5 5 3 5 8 3 7 7
8 8 0 7 0 4 2 1 0 5 0 6 7 4 2 3 2
1 7 5 5 8 5 7 4 9 4 4 4 6 7 1 6 9
4 1 4 6 5 5 2 6 8 7 5 8 7 5 9 3 6
2 2 4 1 2 6 7 8 6 3 0 6 5 5 1 3 0
8 2 7 0 1 5 0 1 5 2 9 3 9 3 9 4 3
(2)若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．
跟踪训练3　
(多选)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)
A．me＝m0 B.m0<
C．me考点四　样本的百分位数
1．四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
2．由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程求解．
3．通过对样本的百分位数的考查，提升学生的数据分析和数学运算素养．
例4　数学兴趣小组调查了12位大学毕业生的起始月薪，具体如表：试确定第85百分位数．
学生编号 起始月薪
1 3 850
2 3 950
3 4 050
4 3 880
5 3 755
6 3 710
7 3 890
8 4 130
9 3 940
10 4 325
11 3 920
12 3 880
跟踪训练4　新华中学高一年级共有1 200人参加了学校组织的诗词背诵比赛，已知所有学生成绩的第70百分位数是75分，则成绩大于或等于75分的学生至少有________人 (　　)
A．348 B．360
C．372 D.384
参考答案与解析
考点聚集·分类突破
例1　解析：问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样．故选B.
答案：B
跟踪训练1　解析：由题意知，＝，解得a＝30.
答案：30
例2　解析：根据频率和为1的性质，且小长方形的面积＝组距×＝频率．
所以前3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.75，
∴0.75×＝0.25.
设样本容量为n，则＝0.25，则n＝40.
故选C.
答案：C
跟踪训练2　解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)消费金额在区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故在[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
答案：(1)3　(2)6 000
例3　解析：(1)根据题意，读出的编号依次是：512，916(超界)，935(超界)，805，770，951(超界)，512(重复)，687，858，554，876，647，547，332.
将有效的编号从小到大排列，得
332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，
所以中位数为×(647＋687)＝667.
(2)记样本中8个A题目的成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目的成绩分别为y1，y2.
由题意可知
样本平均数为＝×(56＋16)＝7.2；
样本方差为s2＝ (32－0＋0.32＋2＋0＋1.28)＝3.56.
所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.
跟踪训练3　解析：由题图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me＝5.5，由于5分出现的次数最多，故m0＝5.＝≈6，所以m0答案：BD
例4　解析：将数据从小到大排列：3 710，3 755，3 850，3 880，3 880，3 890，3 920，3 940，3 950，4 050，4 130，4 325.计算i＝n×p%＝12×85%＝10.2，显然i不是整数，所以将i＝10.2向上取整，大于i的比邻整数11即为第85百分位数的位置，所以第85百分位数是4 130.
跟踪训练4　解析：将1 200人的成绩按照从小到大的顺序排列，75分排在第70百分位数，就是比75分少的人数占了70%，所以成绩大于或等于75分的学生至少占了30%，其人数为1 200×30%＝360.故选B.
答案：B
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专项培优②章末复习课
考点一　不等式性质的应用
1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．
2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例1　(1)(多选)下列说法错误的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则＜
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
(2)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围．
跟踪训练1　(1)设a，b，c，d，x均为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是(　　)
A．d－a＜c－b B．
C．bc＜ad D．
(2)已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．
考点二　一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．
(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．
(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．
例2　(1)若关于x的不等式ax2－3x＋2＞0(a∈R)的解集为{x|x＜1或x＞b}(b∈R)，求a，b的值；
(2)解关于x的不等式ax2－3x＋2＞5－ax(a∈R)．
跟踪训练2　某同学解关于x的不等式x2－7ax＋3a＜0(a＞0)时，得到x的取值为{x|－2＜x＜3}，若x的取值的端点有一个是错误的，那么正确的x的取值范围应是(　　)
A．{x|－2＜x＜－1} B．
C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
考点三　基本不等式
1．基本不等式为，其变式为ab≤等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．
2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3　(1)设x＞0，则函数y＝x＋的最小值为(　　)
A．0 B．
C．1 D．
(2)设a＞0，b＞0，2a＋b＝1，则的最小值为________．
跟踪训练3　已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝1，则的最小值是________.
参考答案与解析
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A中说法错误；对于B，因为1b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选ABD.
(2)因为－2所以－6因为－2因为2答案：(1)ABD　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝＝2，此时<，B错误；取b＝3，a＝，c＝1，d＝－3，则ad＝－，bc＝3，此时ad0，∴＝≤0，D正确．故选D.
(2)a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)
＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)
＝(a－b)(a－c)(b－c)．
∵a∴a－b<0，a－c<0，b－c<0，
∴(a－b)(a－c)(b－c)<0.
∴a2b＋b2c＋c2a答案：(1)D　(2)见解析
例2　解析：(1)由题意可知方程ax2－3x＋2＝0的两个不相等的实根分别为x1＝1，x2＝b，于是有解得
(2)原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根为x1＝－1，x2＝，当a>0时，原不等式的解集为，
当a<0时，①若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为；
②若<－1，即－3③若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为 .
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当－3当a＝－3时，原不等式的解集为 ；
当a<－3时，原不等式的解集为.
跟踪训练2　解析：由题意，实数x的取值为{x|－2所以－2和3只有一个可以满足方程x2－7ax＋3a＝0，另一个不满足，
将x＝－2代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝－，与条件a>0矛盾，所以x≠－2；
将x＝3代入式子x2－7ax＋3a＝0，解得a＝，满足条件a>0；
所以将a＝代入不等式x2－7ax＋3a<0中，得到不等式为2x2－7x＋3<0，
解得故选B.
答案：B
例3　解析：(1)y＝x＋＝x＋＝－2.
又由x>0，则有y＝(x＋)＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝时，等号成立，
即函数y＝x＋的最小值为0.故选A.
(2)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1，
∴＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当即时等号成立．∴的最小值为8.
答案：(1)A　(2)8
跟踪训练3　解析：＝＝(x＋3y)＝4＋≥4＋2，
当且仅当即时取“＝”号．
答案：4＋2
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专项培优①章末复习课
考点一　集合的基本概念
1．与集合中的元素有关问题的求解策略：
(1)确定集合中元素具有的属性，即是数集还是点集．
(2)看元素是否具有相应的限制条件．
(3)根据限制条件确定参数的值或元素的个数时，注意对元素互异性的检验．
2．通过对集合基本概念的理解和应用，提升学生的数学抽象、数学运算素养．
例1　(1)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A中元素的个数是(　　)
A．3　　B．4
C．5 D．6
(2)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，a＝(　　)
A．4 B．2
C．0 D．0或4
跟踪训练1　(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)若集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2}，则集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，则B＝(　　)
A．{1，2，3} B．{0，1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}
考点二　集合间的关系
1．集合与集合间的关系是包含(真包含)和相等关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素；应用两集合间的关系时注意对细节的把握，不要忽略掉特殊情况，如已知A B的情况下，不要忽略掉A＝ 的情况．
2．通过对集合间的关系的应用，提升学生的逻辑推理、直观想象素养．
例2　(1)设全集U＝R，集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x＜－1或x＞1}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M＝P B．P?M
C．M?P D．( UM)＝
(2)已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a≤x≤a＋3}，若A B，则实数a的取值范围是________．
跟踪训练2　(1)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则(　　)
A．A＝B B．A＝
C．A?B D．B?A
(2)集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|a－1≤x≤2a－1}，若B A，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}
C．{a|0≤a≤1} D．{a|0＜a＜1}
考点三　集合的运算
1．集合的运算有交(、并(、补( UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解．
2．通过对集合运算的掌握，提升直观想象、数学运算素养．
例3　(1)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则(A＝(　　)
A．{2} B．{2，3}
C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A＝{1}，则B＝(　　)
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
跟踪训练3　(1)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，则P∪(CRQ)＝(　　)
A．{x|2≤x≤3} B．{x|－2＜x≤3}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤－2或x≥1}
(2)
设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2}　　　　 B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
考点四　充分条件与必要条件
1．充要条件是数学中较为重要的一个概念，在高考中经常有所考查，以数学的其他知识为载体，考查充分条件、必要条件、充要条件的判断或寻求充要条件的成立性．
2．通过对充分条件与必要条件的掌握，提升逻辑推理、数学运算素养．
例4　(1)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)
A．{m|m≥8} B．{m|m＞8}
C．{m|m＞－4} D．{m|m≥－4}
跟踪训练4　(1)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若－a＜x＜－1成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．
考点五　全称命题与特称命题
1．解题策略：
(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则，这一命题为假．
(3)已知含量词的命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，合理选取主元，确定解题思路，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围．解题过程中要注意相关条件的限制．
2．通过对全称命题与特称命题的掌握，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例5　(1)已知命题p： n∈N*，n2＞n－1，则命题p的否定 p为(　　)
A． n∈N*，n2≤n－1
B． n∈N*，n2＜n－1
C． n∈N*，n2≤n－1
D． n∈N*，n2＜n－1
(2)命题“ x∈R，使x2＋ax－4a＜0”为假命题是“－16≤a≤0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
跟踪训练5　(1)(多选)下列四个命题中的假命题为(　　)
A． x∈N，1＜4x＜3
B． x∈Z，5x－1＝0
C． x∈Q，x2－1＝0
D． x∈R，x2＋x＋2＞0
(2)已知命题p： x∈R，m|x|＋1≤0，若 p为假命题，则实数m的取值范围是________．
参考答案与解析
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A中的元素个数为5.故选C.
(2)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数可解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4或a＝0(不合题意，舍去)．故选A.
答案：(1)C　(2)A
跟踪训练1　解析：(1)逐个列举可得，x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1，0，1，2.共5个．故选C.
(2)集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，由y＝|x＋1|，x∈A，当x＝－3，1时，y＝2；当x＝－2，0时，y＝1；当x＝－1时，y＝0，当x＝2时，y＝3，故得集合B＝{0，1，2，3}．故选C.
答案：(1)C　(2)C
例2　解析：(1)因为P＝{x|x＜－1或x＞1，所以M≠P，A错误；M?P，B错误，C正确；( UM)＝{x|x＜－1}，D错误，故选C.
(2)借助数轴建立不等式组求解．因为A B，所以解得0≤a≤1.
答案：(1)C　(2)0≤a≤1
跟踪训练2　解析：(1)由真子集的概念知B?A，故选D.
(2)当B＝ ，即2a－1答案：(1)D　(2)A
例3　解析：(1)由条件可得A＝{1，2}，故(A＝{1，2，3，4}．故选D.
(2)因为A＝{1}，所以1∈B，所以1是关于x的方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，解得m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．故选C.
答案：(1)D　(2)C
跟踪训练3　解析：(1)∵Q＝{x∈R|x≥2或x≤－2}
∴ RQ＝{x∈R|－2＜x＜2}，则P∪( RQ)＝{x|－2＜x≤3}故选B.
(2)注意到集合A中的元素均为自然数，因此易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3，2}，因此阴影部分显然表示的是A＝{2}．故选A.
答案：(1)B　(2)A
例4　解析：(1)因为N?M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．故选B.
(2)由4x－m<0得x<，由1≤3－x≤4得－1≤x≤2.
∵p是q的一个必要不充分条件，∴>2，即m>8.故选B.
答案：(1)B　(2)B
跟踪训练4　解析：(1)若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0，即a＝2 (a－1)(a－2)＝0.若(a－1)(a－2)＝0，则a＝2或a＝1，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.所以“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．故选A.
(2)根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有{x|－22.
答案：(1)A　(2)a>2
例5　解析：(1) p： n∈N*，n2≤n－1.故选C.
(2)依题意得“ x∈R，x2＋ax－4a≥0”是真命题，故Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选C.
答案：(1)C　(2)C
跟踪训练5　解析：(1)由1<4x<3得0恒成立，因此选项D中命题为真命题．故选ABC.
(2)若 p为假命题，则p为真命题．
当m≥0时，m|x|＋1≥1>0，p为假命题；当m<0时，取x＝，则m|x|＋1＝m＋1＝－2＋1＝－1<0，p为真命题．因此若 p为假命题，则实数m的取值范围是{m|m<0}．
答案：(1)ABC　(2){m|m<0}
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专项培优③
　　　　
考点一　函数的概念与表示
1．定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了．
2．通过对函数的概念与表示的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例1　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　)
A．(－∞，) B．
C． D．
(2)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
①求函数f(x)的解析式；
②当x∈[1，2]时，求f(x)的值域．
跟踪训练1　(1)函数y＝的定义域是________．
(2)函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
考点二　分段函数
1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
例2　已知函数f(x)＝
求f(x)的定义域、值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式f(x＋1)＞.
跟踪训练2　设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
考点三　函数的图象及应用
1．函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
2．通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理素养．
例3　(1)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A.a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
(2)向如图所示的容器甲中注水，下面图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是(　　)
跟踪训练3　(1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则f(x)＜0的解为________．
考点四　函数的性质及应用
1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例4　已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立．
(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明．
(2)解不等式：f＜f.
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝ax2＋2(1－a)x＋b(a，b∈R)．
(1)若a＜0，且函数f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)令f(x)＝xg(x)(x≠0)，且f(x)为偶函数，试判断g(x)的单调性，并加以证明．
参考答案与解析
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)由题意知解得x<1且x≠，所以f(x)的定义域是.故选D.
(2)①由f(2)＝4a＋2b＝0，得2a＋b＝0，(*)
f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，
即ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
∴b－1＝0，∴b＝1.
将其代入(*)得a＝－，∴f(x)＝－x2＋x.
②由①知f(x)＝－(x－1)2＋，
显然f(x)在[1，2]上是减函数．
∴当x＝1时，f(x)max＝，
当x＝2时，f(x)min＝0，
故当x∈[1，2]时，函数的值域是.
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，
即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，
故所求函数的定义域是[－1，7].
(2)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝＋1，
∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－－1，
又∵f(0)＝0，
∴f(x)的解析式为
f(x)＝.
答案：(1)[－1，7]　(2)f(x)＝
例2　解析：(1)f(x)的定义域为(0，1)＝.
易知f(x)在(0，1)上为增函数，
∴0(2)f(1)＝＝.
f(f(1))＝f＝＝.
(3)f(x＋1)>等价于
①或
②或
③解①得－∴f(x＋1)>的解集为＝.
跟踪训练2　解析：方法一：当01，f(a)＝，
f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝.
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6；
当a>1时，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2a，无解．
当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．
综上，f＝6.
方法二：由当x≥1时，f(x)＝2(x－1)是增函数，可知若a≥1，则f(a)≠f(a＋1)，∴0由f(a)＝f(a＋1)，得＝2(a＋1－1)，解得a＝，
则f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
答案：C
例3　解析：(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝.又由图象知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴a<0.
(2)由容器甲的形状可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始时陡峭，后来趋于平缓，观察图象可知只有B符合，故选B.
答案：(1)C　(2)B
跟踪训练3　解析：(1)A项，由图象开口向下知a<0，由对称轴位置知－<0，所以b<0.又因为abc>0，所以c>0.而由题图知f(0)＝c<0，A错；B项，由题图知a<0，－>0，故b>0.又因为abc>0，所以c<0，而由题图知f(0)＝c>0，B错；选项C，D中，开口向上，故a>0，f(0)＝c<0.由abc>0知b<0，从而函数的对称轴x＝－>0，故C错，D正确．故选D.
(2)由于f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，因此可作出函数在(－∞，0)上的图象如图所示．由图可知f(x)<0的解集为(－∞，－4)
答案：(1)D　(2)(－∞，－4)
例4　解析：(1)f(x)在[－1，1]上单调递增．证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)．
由已知得>0，又x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴解得－≤x<－1.
故原不等式的解集为.
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴在[－1，1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对a∈[－1，1]恒成立．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1，1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
即解得m≤－2或m≥2.
故m的取值范围是{m|m＝0或m≤－2或m≥2}．
跟踪训练4　解析：(1)∵a<0，且函数f(x)在(－∞，3]上单调递增，
∴解得－≤a<0，
∴实数a的取值范围是－≤a<0.
(2)当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)．
证明：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax2＋2(1－a)x＋b＝ax2－2(1－a)x＋b对任意x≠0都成立，
∴a＝1，则g(x)＝x＋(x≠0)．
设x1，x2为区间A上的任意两个数，且x1则g(x1)－g(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)，
①当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
②当b<0时，A＝(－∞，0)或(0，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，
∴g(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．
③当b>0时，A＝(－∞，－)或(，＋∞)，g(x1)－g(x2)<0，g(x)在区间(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增；
同理g(x)在区间(－，0)和(0，)上单调递减．
综上可知，当b＝0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b<0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；当b>0时，g(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)．
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专项培优④章末复习课
考点一　指数、对数运算
1．指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明．
2．通过对指数与对数的运算，提升学生的数学运算素养．
例1　计算；
＋(lg 4＋lg 25)．
跟踪训练1　求值；
(2)log354－log32＋log23·log34.
考点二　指数函数、对数函数的图象及应用
1．指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式作函数图象．即“知式求图\”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题．
2．通过对指数函数、对数函数图象的掌握，提升学生的直观想象和逻辑推理素养．
例2　(1)函数f＝x ln 的图象大致为(　　)
(2)方程a－x＝logax(a＞0，且a≠1)的实数解的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
跟踪训练2　(多选)已知实数a，b，c满足lg a＝10b＝，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
考点三　指数函数、对数函数的性质及应用
1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质．以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等，在解含对数式的方程或解不等式时．不能忘记对数中真数大于0.以免出现增根或扩大范围．
2．通过对指数函数、对数函数的性质的掌握，提升学生的数学运算和逻辑推理素养．
例3　(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x＋，则下列结论正确的是(　　)
A．|f(x)|≥2
B．当x＜0时，f(x)＝－2x－
C．y轴是函数f(x)图象的一条对称轴
D．函数f(x)是增函数
跟踪训练3　已知a＝20.4，b＝20.6，c＝log2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
考点四　函数零点与方程的根
1．函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴交点以及两函数交点问题．
2．通过对函数零点与方程的根的掌握，提升学生的直观想象和逻辑推理素养．
例4　(多选)已知函数f(x)＝
若方程f(x)＝a有三个实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的为(　　)
A．x1x2＝1
B．a的取值范围为
C．的取值范围为[5，＋∞)
D．不等式f(x)＞2的解集为
跟踪训练4　已知函数f(x)＝恰有两个零点，则λ的取值范围为________．
参考答案与解析
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)原式＝4－(24)＋－(0.23)－
＝4－2＋－5
＝－.
(2)原式＝1＋3×＋lg 100
＝1＋3×＋2
＝5.
跟踪训练1　解析：(1)原式＝(25)＋23×＋1＋＝2＋4＋1＋＝.
(2)原式＝log3＋log24＝3＋2＝5.
例2　解析：(1)因为f＝－x ln ＝－f，所以f是奇函数，排除C，D.当0故选A.
(2)当a＞1时，在同一坐标系中画出y1＝logax的图象和y2＝a－x的图象如图(1)，由图象知两函数图象只有一个交点；同理，当0答案：(1)A　(2)B
跟踪训练2　解析：设lg a＝10b＝＝t，t＞0则a＝10t，b＝lg t，c＝，
在同一坐标系中分别画出函数y＝lg x，y＝10x，y＝的图象，如图
当t＝x3时，a＞b＞c，
当t＝x2时，a＞c＞b，
当t＝x1时，c＞a＞b，
故选ABC.
答案：ABC
例3　解析：A选项：x＞0时，2x＞1，2x＋＞2，又∵f(x)为奇函数，所以x＜0，f(x)＜－2，则|f(x)|＞2，故A不正确；
B选项：x＜0时，－x＞0，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝－f(x)，所以f(x)＝－2x－，故B选项正确；
C选项：f(x)为奇函数，且不为常函数，所以f(x)不是偶函数，不关于y轴对称，C选项错误；
D选项：x＞0时，f(x)＝2x＋，令x2＞x1＞0，f(x2)－f(x1)＝2x2＋－2x1－＝2x2－2x1＋＝(2x2－2x1)(1－)，因为x2＞x1＞0，所以2x2－2x1＞0，1－＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，所以x＞0时，f(x)为增函数，且由A选项可知，f(x)＞2；又∵f(x)为奇函数，所以x＜0时，f(x)也单调递增，且f(x)＜－2，又∵x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)是增函数，故D正确．
答案：BD
跟踪训练3　解析：∵2＞1，∴y＝2x单调递增，y＝log2x单调递增，故20.6＞20.4＞20＝1，即b＞a＞1，log2＜log21＝0，即c＜0，所以c＜a＜b，故选D.
答案：D
例4　解析：画出函数f(x)的图象，如图所示：
f(x)＝a有3个不等的实根
f(x)和y＝a有3个不同的交点，
∴a∈(0，2]，∵x1＜x2＜x3，logx1＝－logx2，logx1＋logx2＝log(x1·x2)＝0，
∴x1·x2＝1，＝2，x3＝5，
故x3∈[5，＋∞)，故∈[5，∞)，
结合图象不等式f(x)＞2的解集为∪(4，5)，
故选ACD.
答案：ACD
跟踪训练4　解析：令x2－2x－3＝0，可得x＝－1或x＝3，令ln (x－1)＝0，可得x＝2，∵x－1＞0，可得x＞1，则λ≥1.作出图象，结合图象可得1≤λ＜2 或λ≥3时，f(x)恰有两零点．
答案：[1，2)∪[3，＋∞)
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专项培优⑤ 章末复习课
考点一　三角函数式的求值
1．(1)三角函数的定义；
(2)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；
(3)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．
记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
(2)tan α＝2，则sin2α－3sin αcos α＋1＝________．
跟踪训练1　(1)(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P(n＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为(　　)
A．tan α＝ B．sin β＝
C．cos β＝ D．Q
(2)若cos (π＋α)＝－，＜α＜2π，则sin (2π－α)＝________．
考点二　三角函数的图象
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图；
(2)图象的识别；
(3)图象伸缩、平移变换；
(4)由函数图象求三角函数解析式．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的一段图象．
(1)求此函数解析式．
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的．
跟踪训练2　(1)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin 2x的图象大致是(　　)
(2)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
考点三　三角函数的性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)(多选)设函数f(x)＝sin(2x+)，则关于函数y＝f(x)说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是偶函数
B．函数y＝f(x)在()上单调递减
C．函数y＝f(x)的最大值为2
D．函数y＝f(x)图象关于点()对称
(2)设函数f(x)＝sin()的图象关于直线x＝π对称，其中ω为常数，且ω∈().
①求函数f(x)的解析式；
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[]上有实数解，求实数k的取值范围．
跟踪训练3　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数y＝sin 是偶函数
B．存在实数α，使 sin α cos α＝1
C．直线x＝是函数y＝sin 图象的一条对称轴
D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β
(2)设函数f(x)＝sin(2x-)，
①求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
②当x∈[]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
参考答案与解析
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)由题意可得(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝，故sin αcos α＝－，切化弦可得tan α＋＝＝＝＝－8.故选D.
(2)sin2α－3sinαcos α＋1＝sin2α－3sinαcos α＋(sin2α＋cos2α)
＝2sin2α－3sinαcos α＋cos2α
＝
＝＝＝.
答案：(1)D　(2)
跟踪训练1　解析：(1)由角α的终边与单位圆交于点P(n>0)，α是第一象限角，可得cosα＝，
∴sin α＝＝，可得tanα＝＝，故A正确；
将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，可得β＝α＋，
则可得sin β＝sin ＝cos α＝，cos β＝cos ＝－sin α＝－，故B正确，C错误；
据三角函数定义可得，角β的终边与单位圆的交点为Q，则点Q的坐标为，故D错误．故选AB.
(2)因为cos (π＋α)＝－，所以－cos α＝－，可得cos α＝，
因为<α<2π，所以sin α＝－＝－＝－，
所以sin(2π－α)＝－sin α＝.
答案：(1)AB　(2)
例2　解析：(1)由题图知A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.所以y＝sin (2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝.
综上，所求函数解析式为y＝sin －1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin ；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin ；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin ，最后把函数y＝sin 的图象向下平移1个单位，得到y＝sin －1的图象．
跟踪训练2　解析：(1)f(－x)＝2|－x|sin (－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当＜x＜π时，f(x)＜0，排除C，
故选D.
(2)因为y＝sin ＝cos ＝cos ，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos .故选D.
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：(1)∵函数f(x)＝sin ＝cos 2x，
∴f(x)＝cos 2x，
∵f(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故A正确；
令2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可得函数y＝f(x)在单调递减，所以B正确；
由于f(x)的最大值是，故选项C不符合题意．
由2x＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可得当k＝0时，其图象关于点对称，故D正确．
解析：(2)①∵图象关于直线x＝π对称，∴2πω－＝＋kπ，k∈Z
∴ω＝，又ω∈，
令k＝1时，ω＝符合要求，
∴函数f(x)＝sin .
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝sin 的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，所以g(x)＝sin .
当0≤x≤，即－≤2x－时，g(x)递增，g(x)∈，
当所以x∈时，g(x)∈，
因为g(x)＋k＝0在区间上有实数解，
所以实数k的取值范围是.
答案：(1)ABD　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)对于A：函数y＝sin ＝cos x，故该函数是偶函数，故A正确；
对于B：由于 sin α cos α＝1，故sin α和cos α互为倒数，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，故不存在实数α，使sin α cos α＝1，故B错误；
对于C：当x＝时，f()＝sin ＝－1，故C正确；
对于D：设α＝，β＝，由于α，β都是第一象限角，但是sin β＞sin α，故D错误；故选AC.
(2)①因为f(x)＝sin
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z.
②当x∈时，2x－∈，
此时sin ∈，可得f(x)∈，
综上，f(x)最大值为，最小值为－.
答案：(1)AC　(2)见解析
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