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人教版九年级数学上暑假预习课
第十讲 二次函数中几何图形的存在性
一、知识点导航
二、知识点梳理
类型一 、二次函数中线段、面积的最值存在性
（1）平行于y轴的线段最值问题：
（1）首先表示出线段两个端点的坐标；
（2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标；
（3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式；
（4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值.
变式类型：
若点D为抛物线上的动点，ED⊥AB，可以过点E作EF∥y轴，通过三角函数把求线段DE的最值转化为求线段EF的最值.
（2）延伸：铅垂法
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
典例剖析1
例1-1．顶点为且过原点的抛物线，如图所示．
(1)求其解析式．
(2)动矩形的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设，矩形的周长为l，求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之，否则说明理由．
例1-2．已知抛物线与轴交于不同的两点
(1)求的取值范围；
(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
(3)当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的值．
例1-3．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点和．若点是所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点作平行于轴，交于点．

(1)求三个点，，的坐标；
(2)当点运动至抛物线的顶点时，求此时的长；
(3)设点的横坐标为，的长度为；求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；是否存在最值，如有写出最值．
例1-4．已知抛物线的顶点A在x轴上．，是抛物线上两点，若，则；若，则，且当y的绝对值为1时，为等腰直角三角形（其中）．
(1)求抛物线的解析式；（用含有m的式子表示）
(2)当，过点Q作轴，若，探究与之间数量关系；
(3)直线交抛物线于点D，将抛物线以直线为对称轴向右翻折得到新抛物线，直线y=kx经过点D，交原抛物线的对称轴于点E，交新抛物线于另一点H，问的面积是否存在最大值或最小值，若存在，求出面积最值和m的值，若不存在，请说明理由．
针对训练1
1．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米．
（1）求出菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？
（2）菜园子的面积是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出最值．
2.已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；
（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？
3.如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
类型二、三角形的存在性
等腰三角形的存在性
构造等腰三角形的一般思路
平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。
解题策略
分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
画图；
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A 为
顶点的等腰三角形
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为
顶点的等腰三角形
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为
顶点的等腰三角形
列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程
名师点拨
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来
典例剖析2
例2-1．如图，已知抛物线经过B( 3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线经过B，C两点，则m=_____________；n=_____________；
(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标；
(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
针对训练2
2．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标；
(3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，抛物线（、、为常数，）经过点，，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出为等腰三角形的点共有几个？并求以为底边时，点的坐标.
直角三角形的存在性
构造直角三角形的一般思路:
构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.
动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例
（1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示；
（2）列出线段AB、AC、BC长度的平方；
（3）分类列方程：
①，②，③；
典例剖析3
例3-1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点D，使△BCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，请直接写出使△PCB为直角三角形的点P的坐标．
针对训练3
1．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
(2)证明△BCM与△ABC的面积相等；
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．
等腰直角三角形的存在性
解题思路
分类
不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。
（2）构造K型全等三角形
（3）列方程求解：根据全等三角形对应边相等找到等量关系列方程
典例剖析4
例4-1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
针对训练4
1．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是该抛物线对称轴上一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
人教版九年级数学上暑假预习课
第十讲 二次函数中几何图形的存在性（解析版）
一、知识点导航
二、知识点梳理
类型一 、二次函数中线段、面积的最值存在性
（1）平行于y轴的线段最值问题：
（1）首先表示出线段两个端点的坐标；
（2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标；
（3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式；
（4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值.
变式类型：
若点D为抛物线上的动点，ED⊥AB，可以过点E作EF∥y轴，通过三角函数把求线段DE的最值转化为求线段EF的最值.
（2）延伸：铅垂法
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
典例剖析1
例1-1．顶点为且过原点的抛物线，如图所示．
(1)求其解析式．
(2)动矩形的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设，矩形的周长为l，求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之，否则说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值10．
【分析】此题主要考查了用顶点式求二次函数解析式，矩形的性质以及二次函数最值问题，正确表示线段的长度是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，代入求即可；
（2）利用（1）中解析式用表示出矩形的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为，
代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为直线，，
，
，
动矩形的顶点、在抛物线上，
，，
矩形的周长为：
，
当时，有最大值10．
例1-2．已知抛物线与轴交于不同的两点
(1)求的取值范围；
(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
(3)当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的值．
【答案】(1)且
(2)证明见解析；
(3)的面积有最大值，最大值为，此时
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用：
（1）根据根的判别式求出m的取值范围：
（2）根据题意可得y的值与m无关，把原函数关系式变形为，令，求出x的值，即可求解；
（3）先求出抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，可得，再由，可得，即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于不同的两点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
∴，解得：，
又∵，
∴，
综上，且；
（2）解：∵
∴，
即，
∵该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，
此时y的值与m无关，
∴，
解得：，
当时，，此时抛物线过点；
当时，，此时抛物线过点（舍去）；
综上所述，此时点P的坐标为；
（3）解：的面积有最大值．
当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
根据题意得：的面积为，
∴当最大时，的面积有最大，最大值为，此时．
例1-3．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点和．若点是所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点作平行于轴，交于点．

(1)求三个点，，的坐标；
(2)当点运动至抛物线的顶点时，求此时的长；
(3)设点的横坐标为，的长度为；求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；是否存在最值，如有写出最值．
【答案】(1)、、
(2)
(3)当时，有最大值2
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值；
（1）根据二次函数的解析式求三个点，，的坐标；
（2）求得抛物线的顶点坐标为，当点运动至抛物线的顶点时得到，求得，于是得到结论；
（3）根据，，于是得到，化成顶点式，即可得到结论；
【详解】（1）令，则，
令，则，解得，或，
∴、、；
（2）抛物线的顶点坐标为，
当点运动至抛物线的顶点时，，
∵平行于轴，且点在直线上，
∴横坐标为，
，
设直线的解析式为：，
，
，，
直线的解析式为：，
，
；
（3）∵点的横坐标为，
∴，，
，
，
当时，有最大值2．
例1-4．已知抛物线的顶点A在x轴上．，是抛物线上两点，若，则；若，则，且当y的绝对值为1时，为等腰直角三角形（其中）．
(1)求抛物线的解析式；（用含有m的式子表示）
(2)当，过点Q作轴，若，探究与之间数量关系；
(3)直线交抛物线于点D，将抛物线以直线为对称轴向右翻折得到新抛物线，直线y=kx经过点D，交原抛物线的对称轴于点E，交新抛物线于另一点H，问的面积是否存在最大值或最小值，若存在，求出面积最值和m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的面积有最小值，此时；的面积有最大值，此时．
【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，然后再用顶点式和待定系数法解答即可；
（2）如图2：过点P作轴交于点E，令，则，可得，再根据列式求得，进而得到，最后根据正切函数即可解答；
（3）先求出D点坐标，再求得抛物线翻折后的解析式为，然后确定H点的坐标，进而确定面积的表达式，然后根据m的取值范围确定最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点A在x轴上，
∴抛物线的顶点的纵坐标为0，
∵，则，则，
∴直线是抛物线的对称轴，且，
∴抛物线顶点为，
∴抛物线的解析式为，
当时，，解得或
∵，
∴，
如图1：过点A作交于点H，
∴，
∴，解得a=1
∴．
（2）解：如图2：过点P作轴交于点E，
令，则，
∵，
∴
∵，
∴
∴，解得：或（舍），
∴
∴
∴
∴，
∴．
（3）解：当时，，
∴，
∵直线经过点D，
∴，
∴
当时，，
∴，
抛物线翻折后的解析式为，
当时，解得或，
∴
∴
∵，
∴
∴当时，的面积有最小值，此时；
当时，的面积有最大值，此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数与几何的综合、求二次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数的性质、灵活应用数形结合思想是解答本题的关键．
针对训练1
1．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米．
（1）求出菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？
（2）菜园子的面积是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出最值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先求出矩形的AB边的邻边，再利用面积公式求解，同时确定出AB的取值范围即可．
（2）将二次函数的解析式化成顶点式，结合图像开口方向以及x的取值范围即可确定面积的最大值．
【详解】解：（1）∵AB边长为x米，
而菜园ABCD是矩形菜园，
∴BC=（30﹣x），
∴菜园的面积=AB×BC=，
则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：
．
（2）
因为，
所以，当x=15时，y有最大值，最大值是，
即：菜园子面积的最大值是．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题当中的应用，解决此类问题要先理解题意，再利用面积等于长乘以宽，建立起函数关系式，同时要利用起二次函数的顶点式的特征，求出最值问题，题中蕴含了数形结合的思想．
2.已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；
（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？
解：（1）如图1，∵OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴将A（﹣3，0），C（0，﹣3），分别代入抛物线y＝x2+bx+c，
得，
解得．
故此抛物线的函数关系式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）如图，连接AP，BP，BC，AC，AC与抛物线对称轴交于点P′，
∵抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵B是抛物线与x轴的另一个交点，A（﹣3，0），
∴B（1，0），
∴BC＝＝＝，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴AP＝BP，
∴PB+PC的最小值即为PA+PC的最小值，此时PA+PC+BC最小，即△BCP的周长最小，
∴当P、A、C三点共线时，△BCP的周长最小，即P在P′所在的位置，
设直线AC的解析式为y＝kx+b1，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）如图3，设N（t，t2+2t﹣3），则M（t，﹣t﹣3），
∴MN＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣，即点N的坐标为（﹣，）时，线段MN的长度最大，最大值为．
【点评】本题主要考查了待定系数法求解抛物线解析式，轴对称，二次函数的图象与性质以及解一元二次方程等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
3.如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，最大值为
【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．
【详解】（1）解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
类型二、三角形的存在性
等腰三角形的存在性
构造等腰三角形的一般思路
平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。
解题策略
分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
画图；
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A 为
顶点的等腰三角形
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为
顶点的等腰三角形
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为
顶点的等腰三角形
列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程
名师点拨
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来
典例剖析2
例2-1．如图，已知抛物线经过B( 3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线经过B，C两点，则m=_____________；n=_____________；
(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标；
(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)1，3
(3)点E（1，2）；
(4)点P的坐标为(0，0)或(3，0)或(，0)或(，0)．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由待定系数法即可求解；
（3）点A、B关于对称轴l对称，则BC与对称轴l的交点即为所求的点E，进而求解；
（4）求得BC的长，分B为顶点、C为顶点、BC底边三种情况讨论，进而求解．
【详解】（1）解：将点B( 3，0)，C(0，3)的坐标代入抛物线解析式得
，解得，
故抛物线的解析式为；
（2）解：∵直线经过B( 3，0)，C(0，3)两点，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=x+3；
故答案为：1，3；
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点A、B关于直线l对称，
∴BC与对称轴l的交点即为点E，如下图，
则此时AE+CE=BE+CE=BC为最小，
当时，y=x+3=2，
∴点E（1，2）；
（4）解：∵B( 3，0)，C(0，3)，
∴OB=OC=3，
∴BC=，
当B为顶角的顶点时，
则PB=，
∴点P的坐标为(，0)或(，0)；
当C为顶角的顶点时，
则PC=BC，
∴点P与点B关于y轴对称，
∴点P的坐标为(3，0)；
当BC为底边时，
则PC=PB，即点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P的坐标为(0，0)；
综上，点P的坐标为(0，0)或(3，0)或(，0)或(，0)．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
针对训练2
2．如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标；
(3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或或或
【分析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)点关于对称轴对称，则与对称轴l的交点即为所求的点，进而求解；
(3)求得的长，分为顶点、为顶点、底边三种情况讨论，进而求解．
【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线解析式得
，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点关于直线对称，
∴与对称轴的交点即为点，如下图，
则此时为最小，
设直线经过，两点，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为；
当时，，
∴点；
（3）解：∵，
∴，
∴，
当为顶角的顶点时，
则，
∴点的坐标为或；
当为顶角的顶点时，
则，
∴点与点关于轴对称，
∴点的坐标为；
当为底边时，
则，即点在线段的垂直平分线上，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度．
2．如图，抛物线（、、为常数，）经过点，，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出为等腰三角形的点共有几个？并求以为底边时，点的坐标.
【答案】（1）；（2）存在，；（3）点的坐标为：或或或或.
【分析】（1）抛物线经过点，，，可利用两点式法设抛物线的解析式为，代入即可求得函数的解析式；
（2）作辅助线，将四边形分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设，四边形的面积为，用字母表示出四边形的面积，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点的坐标.
（3）分三种情况画图：①以为圆心，为半径画弧，交对称轴于和，有两个符合条件的和；②以为圆心，以为半径画弧，也有两个符合条件的和；③作的垂直平分线交对称轴于一点，有一个符合条件的；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出坐标.
【详解】解：（1）设，
把代入：，
，
∴；
（2）存在，
如图1，分别过、向轴作垂线和，垂足分别为、，
设，四边形的面积为，
则，，，，，
∴，
，
，
，
当时，有最大值为48，这时，
∴，
（3）这样的点一共有5个，
①以为圆心，以为半径画弧，交抛物线的对称轴于、，则，
设对称轴交轴于，
；
∴抛物线的对称轴是：，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
②以为圆心，以为半径画弧，交抛物线的对称轴于、，
∴，
过作于，则，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
③连接、，
因为在对称轴上，所以设，
∵是等腰三角形，且，
由勾股定理得：，
，
∴.
综上所述，点的坐标为：或或或或.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边形分解成几个图形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数.同时还结合了抛物线图形考查了等腰三角形的一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论.
直角三角形的存在性
构造直角三角形的一般思路:
构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.
动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例
（1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示；
（2）列出线段AB、AC、BC长度的平方；
（3）分类列方程：
①，②，③；
典例剖析3
例3-1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点D，使△BCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，请直接写出使△PCB为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为y=x2-2x-3；
(2)存在，D（，-）；
(3)点P的坐标为（1，2）或（1，-4）或（1，）或（1，）．
【分析】（1）把A与B两点坐标代入抛物线解析式得到两个方程，由对称轴公式列出方程，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式；
（2）过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E，由B、C两点可求得直线BC解析式，可设出点D坐标，则可表示出E点坐标，则可表示出DE的长，可表示出△BDC的面积，根据二次函数的性质可求得其最大值时的D点的坐标；
（3）设P（1，n），先用含n的式子表示出BC2，PB2，PC2，再分三种情况：①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，分别求得n的值，从而可得点P的坐标．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
则抛物线解析式为y=x2-2x-3；
（2）解：令y=0，则x2-2x-3=0，
解得：x=3或-1，
∴B（3，0），
如图，过D作y轴的平行线交BC于E，
设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为t2-2t-3，
设直线BC解析式为y=kx+m，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=x-3，
∴E点的坐标为（t，t-3），
∵在第四象限的抛物线上，
∴DE= t-3-（t2-2t-3）=-t2+3t，
∴S△DBC=×（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，△DAC面积最大，
∴D（，-）；
（3）解：如图，设P（1，n），
又∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC2=18，
PB2=（1-3）2+n2=4+n2，
PC2=12+（n+3）2=n2+6n+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，
即18+4+n2=n2+6n+10，
解得n=2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，
即18+n2+6n+10=4+n2，
解得n=-4；
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，
即4+n2+n2+6n+10=18，
解得t=或t=．
综上所述，点P的坐标为（1，2）或（1，-4）或（1，）或（1，）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，勾股定理，数形结合、分类讨论并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
针对训练3
1．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
(2)证明△BCM与△ABC的面积相等；
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)M（2，-9m），；
(2)见解析；
(3)存在，见解析．
【分析】（1）将解析式配方成顶点式即可解题；
（2）分别解出△BCM与△ABC的面积，再证明其相等；
（3）用含m的代数式分别表示BC2，CM2，BM2，再根据△BCM为直角三角形，分三种情况讨论：当时，或当时，或当时，结合勾股定理解题．
【详解】（1）解：y＝mx2﹣4mx﹣5m
＝m（x2﹣4x﹣5）
＝m（x2﹣4x+4-4﹣5）
＝m（x-2）2﹣9 m
抛物线顶点M的坐标（2，-9m）,
令y=0, m（x-2）2﹣9 m=0
解得（x-2）2=9
（2）令x=0, y=m（0-2）2﹣9 m=-5m
过点M作EF轴于点E，过点B作于点F，如图，
（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线，
过点M作轴于点D，过点C作于点N，
在中，
在中，
在中，
①若△BCM为直角三角形,且时，
解得
存在抛物线使得△BCM为直角三角形；
②若△BCM为直角三角形且时，
存在抛物线使得△BCM为直角三角形；
③
以为直角的直角三角形不存在，
综上所述，存在抛物线和，使得△BCM为直角三角形．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式、二次函数与一元二次方程、勾股定理、含参数m的代数式表示各边长，运用分类思想是解题关键．
2．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）E（，）；（3）E（3，1）或（，）．
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；
（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标．
试题解析：（1）∵抛物线（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；
（2）如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为①，∴D（0，﹣4），∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点，∴联立①②得：，解得，（舍）或，∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∴直线AC解析式为y=﹣x+4，∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直线BF解析式为y=x+1，设点F（m，m+1），∴G（，），∵点G在直线AC上，∴，∴m=4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直线DF解析式为，∵直线AC解析式为y=﹣x+4，∴直线DF和直线AC的交点E（，）；
（3）∵BD=，由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=BF=×=＞BD，∴∠BED不可能是直角，∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），∴直线BD解析式为y=﹣4x+4，∵△BDE为直角三角形，∴∠BDE=90°或∠BDE=90°．
①当∠BDE=90°时， BE⊥BD交AC于B，∴直线BE解析式为，∵点E在直线AC：y=﹣x+4的图象上，∴E（3，1）；
当②∠BDE=90°时，BE⊥BD交AC于D，∴直线BE的解析式为，∵点E在抛物线上，∴直线BE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（，），∴E（，），即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（，）．
等腰直角三角形的存在性
解题思路
分类
不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。
（2）构造K型全等三角形
（3）列方程求解：根据全等三角形对应边相等找到等量关系列方程
典例剖析4
例4-1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)的坐标为或
(3)的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
针对训练4
1．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是该抛物线对称轴上一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，设，且，分类两种情况讨论：第一种情况，当时；第二种情况，时；根据等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质可证，可得，把点代入解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：已知抛物线经过点，
∴，
解得，，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：存在点，使是以为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下，
抛物线的解析式为：，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的两个交点坐标为，，
∵点是抛物线对称轴右侧的点，
∴设，且，
第一种情况，当时，如图所示，过点作轴于点，作延长线于点，延长交轴于点，
∴，点的横坐标为，
∴，，，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
第二种情况，，如图所示，
同理可得，，点点的横坐标为，
∴，，，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，存在点，使是以为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析，等腰直角三角形的性质，二次函数与特殊三角形的综合，解一元二次方程的综合，掌握二次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：作交于点，
令，则，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点R的坐标为，
∴
，
∵，
∴时，有最大值，此时点P的坐标为；
（3）解：∵点Q是线段上一点，
∴设点Q的坐标为，
∵，，
∴，
∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点P的纵坐标为，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为；
如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设，
同理，
∴，，，，
∴，，
∴，
解得，
∴点P的纵坐标为，
∴，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键．
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