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人教版九年级数学上暑假预习课
第十一讲 二次函数中几何图形的存在性二
专题导航
类型一 平行四边形的存在性
解题策略
步骤：
解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步计算．
2.方法：
单动点时
已知三点求第四点问题，用对角线互相平分及中点坐标公式计算；
ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，
则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD．
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
双动点时
当出现双动点，则分类讨论已有的两个点连线作为边和对角线的情况，不重不漏。
用对角线互相平分及中点坐标公式计算.
典例剖析1
例1-1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在轴上，且，过点作轴的垂线交抛物线于点，当时，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，作直线交轴于点，若，求的值；
(3)如图3，点是线段上的点，且，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，是否存在合适的值，使四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
针对练习1
1．材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．
材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．
请阅读上述材料，完成题目：
如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
2.抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中．
①若，请求此时点Q的坐标；
②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由．
类型二、二次函数中菱形的存在性
解题策略
思路1：先平四，再菱形
设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．
思路2：先等腰，再菱形
在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，平移再确定第4个点．
典例剖析2
例2-1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
针对训练2
1．如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式；
（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF，求点E的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴交于A（，0），B（2，0），且与轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点， 连接PO，PC，
并把△POC沿CO翻折，得到四边形，求出使四边形为菱形的点P的坐标；
(3) 在此抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，B，Q四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在, 求出Q点的坐标；若不存在，说明理由.
类型三 二次函数中矩形的存在性
解题策略
思路1：先直角，再矩形(两定两动）
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
要善于利用直角三角形的性质：
①两个锐角互余；②三边平方的等量关系（勾股定理）；③斜边上的中线等于斜边的一半.
转化为直角三角形问题，以定线段为边和对角线来确定分类标准，利用k1.k2=-1来确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标。
①找点：两线一圆②求点:勾股定理 ③平移
思路2：先平行，再矩形
分析定点、定角及不变特征，结合图形形成因素（判定等），考虑分类，通常需要转化为一定两动夹角固定直角三角形存在性问题，按照顶角分类。先平行四边形再加一组邻边相等列方程组
典例剖析3
例3-1．将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．
（1）请求出抛物线C2的表达式；
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
针对训练3
1．如图，已知拋物线，将抛物线沿轴翻折，得到拋物线．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）现将抛物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为，与轴的交点从左到右依次为，；将抛物线向右也平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为，与轴交点从左到右依次为，．在平移过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作直线轴交抛物线于一点D，将抛物线沿着直线CD翻折，并向右平移m个单位，得到抛物线，抛物线交直线CD于E，F两点（E在F的左边），点M，N分别是，的顶点，连接CN，NF，FM，MC得到四边形CNFM.
（1）当，时，直接写出抛物线的解析式；
（2）若点D，E是线段CF三等分点，求m的值；
（3）在平移过程中，是否存在以点C，N，F，M为顶点的四边形是矩形的情形，若存在，求出m应满足的关系式，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）m=2或m=8；（3）存在,理由见解析.
类型四 二次函数中正方形的存在性
解题策略
思路1：从判定出发
若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；
若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．
名师点拨
构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．
典例剖析4
例4-1．如图，抛物线经过点，点，交y轴于点A，点H是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE⊥x轴于点E，交线段AB于点D，HQ⊥y轴，交y轴于点Q．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)若四边形HQOE是正方形，求该正方形的面积．
(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点H，使得以点O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
针对训练4
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E在线段上，（点E不与点O重合），点F在x轴的正半轴上，，，设的面积为S，求S的最大值；
（3）直线与一次函数相交于点C，以线段为边向直线下方作正方形．当点E在抛物线内部时，直接写出b的取值范围．
2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-4，0），B（0，-8），与x轴的另一交点为C，其对称轴与x轴交于（-1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N，以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
3.如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线．
(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
人教版九年级数学上暑假预习课
第十一讲 二次函数中几何图形的存在性二
专题导航
人教版数学九年级上暑假自学课专题训练
类型一 平行四边形的存在性
解题策略
步骤：
解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步计算．
2.方法：
单动点时
已知三点求第四点问题，用对角线互相平分及中点坐标公式计算；
ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，
则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD．
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
双动点时
当出现双动点，则分类讨论已有的两个点连线作为边和对角线的情况，不重不漏。
用对角线互相平分及中点坐标公式计算.
典例剖析1
例1-1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在轴上，且，过点作轴的垂线交抛物线于点，当时，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，作直线交轴于点，若，求的值；
(3)如图3，点是线段上的点，且，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，是否存在合适的值，使四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）先求得，再用待定系数法求解即可；
（2）先用待定系数法求出直线解析式，再把代入求解即可；
（3）求出，，，，则，，根据，得，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，轴，
∴
把，代入，得
解得：，
∴．
（2）解：∵点C在抛物线上，
∴，
设直线解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴直线解析式为，
∵，，
∴
∴
把代入，得
解得：．
∵
∴
（3）解：∵，，
∴，
对于抛物线，当时，，
∴，
由（2）知：直线解析式为，
当时，
∴
∴
∵
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴
解得：，
∵
∴
∴存在，当时，四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查二次函数与特征四边形综合，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的判定，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，解一次二次方程．熟练掌握用待定系数法求函数解析式和平行四边形的判定是解题的关键．
针对练习1
1．材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．
材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．
请阅读上述材料，完成题目：
如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)存在．的最大值为；
(3)点坐标为或或，．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，所以点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过点，点，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在．
当，，解得，则，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
，
当时，则，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
点坐标为或；
当时，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，
点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，
设，则，
把代入得，解得，，
此时点坐标为，，
综上所述，点坐标为或或，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；待定系数法求函数解析式；坐标与图形性质；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中．
①若，请求此时点Q的坐标；
②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中（2），确定是本题解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）①证明，得到直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：，即可求解；
②当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或角线时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：，则点，
设点，
则点，
①由点的坐标得，直线的表达式为：，
∵，则，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：，
解得：，
则点的坐标为：；
②存在，理由：
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：(不合题意的值已舍去)；
当或角线时，
同理可得：，
或，
解得：(舍去)；
综上，．
类型二、二次函数中菱形的存在性
解题策略
思路1：先平四，再菱形
设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．
思路2：先等腰，再菱形
在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，平移再确定第4个点．
典例剖析2
例2-1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，解得：，
∴；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
当时，解得：，当时，，
∴，，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
针对训练2
1．如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式；
（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF，求点E的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）点E的坐标为（1，﹣2）；（3）存在，P的坐标为或.
【分析】（1）由点A，B的坐标可得出AB的长度，利用菱形的性质结合点B的坐标可得出点C的坐标，再由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）由EF∥OB，AD∥BC可得出∠OBD＝∠FEB，∠ODB＝∠FBE，进而可得出△BOD∽△EFB，利用相似三角形的性质及S△BOD＝4S△EBF，可得出BF＝1，由点B，D的坐标，利用待定相似法可求出直线BD的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标；
（3）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x＝，设点P的坐标为（，m），结合点B，D的坐标可得出BD2，BP2，DP2的值，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（5，﹣4）．
将A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（5，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）∵EF∥OB，AD∥BC，
∴∠OBD＝∠FEB，∠ODB＝∠FBE，
∴△BOD∽△EFB，
∴．
∵S△BOD＝4S△EBF，
∴OD＝2BF．
∵AD＝AB＝5，OA＝3，
∴OD＝2，
∴点D的坐标为（2，0），BF＝1．
设直线BD的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将B（0，﹣4），D（2，0）代入y＝kx+d，得：
，解得：，
∴直线BD的解析式为y＝2x﹣4．
当x＝1时，y＝2x﹣4＝﹣2，
∴点E的坐标为（1，﹣2）．
（3）∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
设点P的坐标为（，m），
∵点B的坐标为（0，﹣4），点D的坐标为（2，0），
∴BP2＝（﹣0）2+[m﹣（﹣4）]2＝m2+8m+，
DP2＝（﹣2）2+（m﹣0）2＝m2+，
BD2＝（2﹣0）2+[0﹣（﹣4）]2＝20．
∵△BPD是以BD为斜边的直角三角形，
∴BP2+DP2＝BD2，即m2+8m++m2+＝20，
整理，得：4m2+16m+5＝0，
解得：， ，
∴抛物线的对称轴上存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形，点P的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用相似三角形的性质，求出点E的横坐标；（3）利用勾股定理，找出关于m的一元二次方程．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴交于A（，0），B（2，0），且与轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点， 连接PO，PC，
并把△POC沿CO翻折，得到四边形，求出使四边形为菱形的点P的坐标；
(3) 在此抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，B，Q四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在, 求出Q点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线的解析式为，△ABC是直角三角形
（2）P点的坐标为（,） 或（,）
（3）存在，满足题目条件的点Q为(，)或(-，9)
【详解】试题分析：(1) 根据题意，将A（，0），B（2，0）代入中，解得
抛物线的解析式为
当=0时，. ∴点C的坐标为（-1，0）.
∴在△AOC中，AC===．
在△BOC中，BC===．
AB=OA+OB=+2=，∵AC 2+BC 2=+5=="AB" 2，
∴△ABC是直角三角形．
(2) 设P点坐标为（x，），交CO于E
∵四边形POPC是菱形，∴PC＝PO．
连结 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= ∴=．
∴= 解得=，=
∴P点的坐标为（,） 或（,）
（3）存在．由(1)知，AC^BC，设Q点坐标为（，）
①若以BC为底边，则BC//AQ，∴∠ABC=∠QAB 如图①
过点Q作QE⊥x轴于点E，则有△QAE∽△ABC ∴
∴ 解得1=2= -(舍去)．
当=时，y= ，∴点Q(，)．
k若以AC为底边，则BQ//AC，∴∠CAB=∠QBA
过点Q作QF⊥x轴于点F，则有△QBF∽△BAC ∴
∴ 解得1=2=" 2" (舍去)．
当=时，y=9，∴点Q(，9)．
综上所述，满足题目条件的点Q为(，)或(-，9)．
考点：抛物线，勾股定理逆定理，相似三角形
点评：本题考查抛物线，勾股定理逆定理，相似三角形，解答本题需要考生掌握待定系数法，会用待定系数法求抛物线的解析式，熟悉勾股定理逆定理，会用其来判定一个三角形是否是直角三角形，掌握相似三角形的方法，会证明两个三角形相似
类型三 二次函数中矩形的存在性
解题策略
思路1：先直角，再矩形(两定两动）
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
要善于利用直角三角形的性质：
①两个锐角互余；②三边平方的等量关系（勾股定理）；③斜边上的中线等于斜边的一半.
转化为直角三角形问题，以定线段为边和对角线来确定分类标准，利用k1.k2=-1来确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标。
①找点：两线一圆②求点:勾股定理 ③平移
思路2：先平行，再矩形
分析定点、定角及不变特征，结合图形形成因素（判定等），考虑分类，通常需要转化为一定两动夹角固定直角三角形存在性问题，按照顶角分类。先平行四边形再加一组邻边相等列方程组
典例剖析3
例3-1．将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．
（1）请求出抛物线C2的表达式；
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣3；（2）存在，
【分析】（1）抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，顶点的纵坐标为互为相反数；
（2）连接AN，NE，EM，MA，M，N关于原点O对称可得OM＝ON，A，E关于原点O对称可得OA＝OE，判断四边形ANEM为平行四边形；若AM2+ME2＝AE2，解得m＝，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线C1：y＝﹣x2+3的顶点为（0，3），
∴翻折后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），
∴抛物线C2解析式为：y＝x2﹣3；
（2）存在；
理由是：如图，连接AN，NE，EM，MA，
依题意可得：M（﹣m，3），N（m，﹣3），
∴M，N关于原点O对称，
∴OM＝ON，
原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣，0），（，0），
∴A（﹣﹣m，0），E（+m，0），
∴A，E关于原点O对称，
∴OA＝OE，
∴四边形ANEM为平行四边形，
∵AM2＝3+9＝12，
ME2＝（+m+m）2+32＝4m2+4m+12，
AE2＝（+m++m）2＝4m2+8m+12，
若AM2+ME2＝AE2时，△AME是直角三角形，
∴12+4m2+4m+12＝4m2+8m+12，
解得m＝，
此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90°，
∴当m＝时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，矩形的判定等知识．找准二次函数图象变化后对应的点是解决翻折后函数图象的关键，能够在平面直角坐标系中，通过坐标点的特点判定平行四边形，利用勾股定理判定矩形是解决本题的关键．
针对训练3
1．如图，已知拋物线，将抛物线沿轴翻折，得到拋物线．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）现将抛物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为，与轴的交点从左到右依次为，；将抛物线向右也平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为，与轴交点从左到右依次为，．在平移过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在．当时，以点，，，为顶点的四边形是矩形．
【分析】（1）抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，a互为相反数；
（2）连接AN，NE，EM，MA，M，N关于原点O对称OM＝ON，A，E关于原点O对称OA＝OE，判断四边形ANEM为平行四边形；若AM2＋ME2＝AE2，解得m＝3，即可求解．
【详解】解：（1）∵拋物线的顶点为，
∴沿轴翻折后顶点的坐标为．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）存在．
理由：连接，，，．依题意可得：，．
∴，关于原点对称，∴．
原、抛物线与轴的两个交点分别为，．
∴，，∴，关于原点对称，∴．
∴四边形为平行四边形．
，
，
，
若，则，解得．
此时是直角三角形，且．
∴当时，以点，，，为顶点的四边形是矩形．
【点睛】本题考查二次函数关于x轴对称，平行四边形的判定，矩形的性质．找准二次函数图象变化后对应的点是解决翻折后函数图象的关键；能够在平面直角坐标系中，通过坐标点的特点判定平行四边形，利用勾股定理判定矩形是解决本题的关键．
2．如图，已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作直线轴交抛物线于一点D，将抛物线沿着直线CD翻折，并向右平移m个单位，得到抛物线，抛物线交直线CD于E，F两点（E在F的左边），点M，N分别是，的顶点，连接CN，NF，FM，MC得到四边形CNFM.
（1）当，时，直接写出抛物线的解析式；
（2）若点D，E是线段CF三等分点，求m的值；
（3）在平移过程中，是否存在以点C，N，F，M为顶点的四边形是矩形的情形，若存在，求出m应满足的关系式，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）m=2或m=8；（3）存在,理由见解析.
【分析】（1）由题意将，时，代入即可求出抛物线的解析式；
（2）由题意点D，E是线段CF三等分点，分别表示，，并根据建立等量关系式即可求m的值；
（3）由题意综合利用中点坐标公式以及平行四边形和矩形相关性质分析求证.
【详解】解：（1）；
当，时，，
.
（2）①依题意可得，点C坐标为，
的对称轴为直线，
，点D坐标为.
，F两点可以看作是C，D两点向右移动了m个单位而得到，
，.
点D，E是线段CF三等分点，
（i）当点E在点D左边时，如解图，，，
.
解得；
（ⅱ）当点E在点D右边时，如解图，，，
.
解得.
综上所述，或;
（3）存在.
，
.
，将点M沿着直线CD翻折，并向右平移m个单位，得到点N.
.
的中点的坐标为.
，，
线段CF的中点的坐标为，两线段中点的坐标相同.即线段MN与CF相互平分，
四边形CNFM是平行四边形.
假设四边形CNFM是矩形，则，
，，
.
.
【点睛】本题考查二次函数综合题，结合二次函数解析式的确定方法以及矩形的性质及判定并运用数形结合思维进行综合分析.
错因分析：（1）不会求平移后的抛物线的解析式；（2）未分“点E在点D左边”和“点E在点D右边”两种情况讨论；（3）不能掌握矩形性质.
类型四 二次函数中正方形的存在性
解题策略
思路1：从判定出发
若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；
若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．
名师点拨
构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．
典例剖析4
例4-1．如图，抛物线经过点，点，交y轴于点A，点H是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE⊥x轴于点E，交线段AB于点D，HQ⊥y轴，交y轴于点Q．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)若四边形HQOE是正方形，求该正方形的面积．
(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点H，使得以点O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点H的坐标为或
【分析】(1)根据点C， B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
(2) 设正方形的边长为，则， 利用正方形的性质可得出关于c的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(3)过点D作DM⊥y轴于点M．①若△OAD∽△CBA，根据相似三角形的性质得，即可求出H点横坐标为．将代入中，得，即可求出H坐标，②若△OAD∽△ABC，根据正方形的性质解得AD，，即求出H点横坐标为．将代入中，即可求出点H坐标．
【详解】（1）解：将点，点代入中，
得，解得，
∴函数的解析式为．
（2）设正方形的边长为，则，
把代入，得，解得（负数舍去），
∴．
（3）存在，点H的坐标为或．
如图，过点D作DM⊥y轴于点M．
∵OA＝OB＝4，
∴∠OAD＝∠CBA＝45°，．
若△OAD∽△CBA，则，即，
解得，
∴，即H点横坐标为．
将代入中，得，
∴点H坐标为．
若△OAD∽△ABC，
则，
即，
解得，
∴，即H点横坐标为．
将代入中，
得，
∴点H坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、等腰直角三角形以及相似三角形的性质，解题的关键是，根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用正方形的性质，找出关于x的一元二次方程；
针对训练4
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E在线段上，（点E不与点O重合），点F在x轴的正半轴上，，，设的面积为S，求S的最大值；
（3）直线与一次函数相交于点C，以线段为边向直线下方作正方形．当点E在抛物线内部时，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）分别求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）过A作轴于H，过E作轴于K，设，分别求出和，再用m的代数式表示出S，根据二次函数的性质求解即可；
（3）将直线向上、向下平移，分别得到点，按题意构造正方形后，点落在抛物线上，过点A作轴于点N，过点E作轴交延长线于点M，设，然后由已知条件和所作辅助线可知，为等腰直角三角形，由可得关于a的等式，进而求出a的值，由点E坐标可求出正方形的边长，进而得出点E坐标，求出b的值，从而解决问题．
【小问1详解】
对于，当时，得．
当时，，
∴，．
把，代入，得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为：．
【小问2详解】
过A作轴于H，过E作轴于K．
设．
∴．
∵轴，
∴在中，，
∴，
又EK=m，
∴．
∴．
∴
∵
∴．
∴
∴．
∵，
∴开口向上，
∵，对称轴为，
∴S随m的增大而减小．
∴当时，S有最大值为．
【小问3详解】
如图，将直线向上、向下平移，分别得到点，按题意构造正方形后，点落在抛物线上，过点A作轴于点N，过点E作轴交延长线于点M，
设
轴，
∴
∵四边形是正方形，
∴
又轴，轴，
则为等腰直角三角形，且，
∵，
解得，（舍去）
则
∴，即正方形的边长为
且
①将代入得：
，
解得，；
②将代入，得：
，
解得：
所以，当点E在抛物线内部时，b的取值范围是
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式．
2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-4，0），B（0，-8），与x轴的另一交点为C，其对称轴与x轴交于（-1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N，以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【解析】（1）利用待定系数法求出a,b,c即可；
（2）连接PQ，MN交于点E．设M（t,-2t-8），则点N（t,0），利用正方形的性质求出点P的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
解：（1）∵对称轴为直线x=-1，经过A（-4，0），B（0，-8），
∴，
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-8；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+n,
∵A（-4，0），B（0，-8），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-2x-8，
设M（t,-2t-8），则点N（t,0），
∵四边形MPNQ是正方形，设PQ与MN交于E，
∴PQ⊥MN，NE=EP，，
∴PQ//x轴，
∴E（t,-t-4），
∴NE=EP=t+4，
∴P（2t+4，-t-4），
∵点P在抛物线y=x2+2x-8上，
∴（2t+4）2+2（2t+4）-8=-t-4，
解得t1=-4（舍去），，
∴点M坐标为，．
3.如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线．
(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)点P的坐标为：（），
(3)存在，或
【分析】（1）由二次函数表达式和坐标轴上点的特点即可得出答案；
（2）由点的坐标求出直线解析式，并分类讨论直角顶点即可得出答案；
（3）分类讨论对角线的情况，结合正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：的对称轴为：，
，
当时，
或，
，
当时，，
，
点M是的中点，
；
（2）由（1）可得直线的表达式为：，
轴，
，
故点不可能是直角顶点，
若，如图，
则轴，
把代入得
，
解得：（舍去），，
，
若，如图过点作，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
与点关于直线对称，
设直线的表达式为，
把代入得
，
直线的表达式为，
，
解得：（舍去），，
把代入得
，
，
综上所述，点的坐标为，；
（3），，
，
设，，
当时，
直线的表达式为：，
则设直线的表达式为：，
把代入得，
则直线的表达式为：，
把代入得，
则，
，
，
当为顶点的四边形是正方形时，
则解得，
，
当时，
直线的表达式为：，
则设直线的表达式为：，
把代入得，
则直线的表达式为：，
把代入得，
则与重合，舍去不符合题意；
当时，则，
则可设，同理可得
则解得，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与多边形的存在性问题，涉及二次函数的图象与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的判定、中点坐标公式等知识，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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