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人教版数学八年级上暑假预习课
第七讲 全等三角形的判定二
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 直角三角形全等的判定定理
1、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
2、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
典例剖析1
例1-1．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
例1-2．如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
例1-3．如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（ ）

A． B． C． D．
知识点2全等三角形判定性质综合
1.平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等．
2． 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等．
3． 全等三角形的判定方法：
（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ HL）
典例剖析2
例2-1．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
(1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：_____________；求证：__________；
②已知：_____________；求证：_____________；
(2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
例2-2．【初步探索】
（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．
例2-3．如图所示，在和中，给出以下4个论断：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，另一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程．
已知：________；
求证：________．

知识点3全等三角形判定性质综合应用
全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键
典例剖析3
例3-1．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）．
例3-2．【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．
【迁移运用】

(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ；
(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ；
(3)若是的“边垂角”，且．
①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：；
对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证．
②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积．
例3-3．如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒．
(1)_____________．（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，？
(3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
变式训练
变式1 直角三角形全等的判定定理
1．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若，，．则全等的根据是 ．

2．如图，，垂足分别为E、F，
（1）若，且，则，其根据是 ．
（2）若，且，则，其根据是 ．
（3）若，且，则，其根据是 ．

3．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加，则甲获胜；
②若第3轮甲添加，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负．
4．如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ．
变式2全等三角形判定性质综合
1.鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
(2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
2．在中，是的中点．
(1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：．
(2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：．
3．【旧题重现】
（1）《学习与评价》有这样一道习题：
如图①，、分别是和的、边上的中线，，，，求证：．
证明的途径可以用下面的框图（图②）表示，请填写其中的空格．
【深入研究】
（2）如图③，、分别是和的、边上的中线，，，，判断与是否仍然全等，并说明理由．

【类比思考】
（3）下列命题中是真命题的是______（填写相应的序号）
①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等．
变式3全等三角形判定性质综合应用
1.综合与探究
问题背景
数学活动课上，“兴趣小组”将一副三角尺按不同的摆放位置来探究三条线段的数量关系．
特例探究
（1）“兴趣小组”的同学决定从特例人手探究，他们将含的三角尺按如图1所示的方式摆放在直线l上，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为__________．
类比探究
（2）“兴趣小组”的同学将一副三角尺按如图2所示的方式叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用
（3）“兴趣小组”的同学将一副三角尺按如图3所示的方式叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，连接，若，求的面积．
2．如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
3．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．

(1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________．
(2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度．
(3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点．
能力提升
提升1 直角三角形全等的判定定理
1．如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F．
(1)求证：．
(2)若，请直接写出的度数．
(3)过点A作于点H，求证：．
2．阅读下面材料，完成（1）-（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．”
小伟：“通过观察发现，∠AFE与α存在某种数量关系．”
老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．”
（1）求证：BE＝CD；
（2）求∠AFE的度数（用含α的式子表示）；
（3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．
3．（1）如图I，在中，.点在外，连接，作，交于点，，，连接.则间的等量关系是______；（不用证明）
（2）如图Ⅱ，，，，延长交于点，写出间的等量关系，并证明你的结论.
提升2全等三角形判定性质综合
1.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1cm的速度向点B运动;同时动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒2cm的速度向点C运动.当点Q到达C点时，点P同时停止，设运动时间为t秒.(注：正方形的四边长都相等，四个角都是直角)
(1)CQ的长为______cm(用含的代数式表示);
(2)连接DQ并把DQ沿DC翻折，交BC延长线于点F，连接DP、DQ、PQ.
①若，求t的值.
②当时，求t的值，并判断与是否全等，请说明理由.
2．在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．
（1）若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；
（2）求证：BE＝AG+CE．
提升3全等三角形判定性质综合应用
1.在的高、交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
2．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”．

(1)如图，，则与______“共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”）
(2)如图，与是“共边黄金三角形”，，则与的“黄金角”的度数为______．
(3)如图，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明．
人教版数学八年级上暑假预习课
第七讲 全等三角形的判定二（解析版）
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 直角三角形全等的判定定理
1、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
2、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
典例剖析1
例1-1．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
先根据，判断出．
【详解】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
，
故选：D
例1-2．如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】A
【分析】根据题意，结合图形有共四组．
【详解】解：∵于E，于F

∴
∵
∴；
∴
∵
∴；
∴
∴
∵
∴；
∵
∴
∵
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
例1-3．如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
【详解】解：于点D，于点F，
，
，
当添加时，根据“”判断
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
知识点2全等三角形判定性质综合
1.平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等．
2． 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等．
3． 全等三角形的判定方法：
（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ HL）
典例剖析2
例2-1．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
(1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：_____________；求证：__________；
②已知：_____________；求证：_____________；
(2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证；
②根据题意可得已知：，，，求证；
（2）解：选择①②③，证明④
∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
选择①②④，证明③
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即。
例2-2．【初步探索】
（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．
【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论．
【详解】解：（1），理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
；
（3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
，，
，
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
例2-3．如图所示，在和中，给出以下4个论断：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，另一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程．
已知：________；
求证：________．

【答案】见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意选出3个作为条件判定，再利用全等性质即可得到本题所证．
【详解】解：已知：，，，
求证：．
证明：在和中，
，
，
即，
则
知识点3全等三角形判定性质综合应用
全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键
典例剖析3
例3-1．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）．
【答案】6或12或18
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题关键．
此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分两种情况或进行计算即可．
【详解】解：①当在线段上，时，，
，
，
，
∴的运动时间为秒；
②当在线段上，时，，
这时，因此时间为0秒（舍去）；
③当在上，时，，
，
，
，
点的运动时间为(秒)；
④当在上，时，，
，
，
，
点的运动时间为(秒)，
∴点的运动时间为6或12或18．
故答案为：6或12或18．
例3-2．【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．
【迁移运用】

(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ；
(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ；
(3)若是的“边垂角”，且．
①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：；
对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证．
②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论；
②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是；
（2）解：若是的“边垂角”，分两种情况
①如图，是的“边垂角”，
，
，
，
，

②如图，
是的“边垂角”，
，
，
，
，

综上所述，与的数量关系是或；
（3）解：①延长交于点，
是的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点关于直线对称点为点，
，
，
；

②连接，过点作与延长交于点，
是的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
．

【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键．
例3-3．如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒．
(1)_____________．（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，？
(3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，
(3)当或时，与全等
【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
（1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出即可；
（2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可；
（3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可．
【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
，
∴，
解得，
当时，；
（3）解：情况一：当，，时，
，
，
，
，
，
，
∴，
；
情况二：当，，时，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当或时，与全等．
变式训练
变式1 直角三角形全等的判定定理
1．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若，，．则全等的根据是 ．

【答案】
【分析】证出，由可证明．
【详解】解：，
，即，
，
在和中，
，
，
故答案为∶．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
2．如图，，垂足分别为E、F，
（1）若，且，则，其根据是 ．
（2）若，且，则，其根据是 ．
（3）若，且，则，其根据是 ．

【答案】
【分析】（1）先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法可判断；
（2）先根据垂直的定义得到，然后根据全等三角形的判定方法可判断；
（3）先根据垂直的定义得到，然后根据直角三角形全等的判定方法可判断．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴；
故答案为：；
（3）∵，
∴，
在和中，
，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
3．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加，则甲获胜；
②若第3轮甲添加，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负．
【答案】②③④
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误；
②若第3轮甲添加，
如图，当，时，以为圆心，为半径画弧，与射线相交于点，
，
此时交点C是唯一的，
故甲添加时，与全等，
故甲获胜，故本说法正确；
③若第2轮乙添加条件修改为，
若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜，
若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜，
故乙必胜，故本说法正确；
④若第2轮乙添加条件修改为，
第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等，
第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜，
此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确．
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ．
【答案】6或12/12或6
【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合．
【详解】解：①当时，
∵，
在与中，
∴，
∴；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，才能和全等，
综上所述，或12，
故答案为：6或12．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．
变式2全等三角形判定性质综合
1.鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
(2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
【答案】(1)甲，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，
（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】（1）甲同学的方案可行．
理由：由题意得，
在与中，
，
∴，
∴，
故甲同学的方案可行．
（2）；
理由：
∵，
在与中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
2．在中，是的中点．
(1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：．
(2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）运用证明即可解题；
（2）如图，过点作交延长线于点，连接．推导，即可得到结论．
【详解】（1）是的中点，
．
，
，
，
．
（2）如图，过点作交延长线于点，连接．
由（1）知．
．
，
，
．
在中，，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．【旧题重现】
（1）《学习与评价》有这样一道习题：
如图①，、分别是和的、边上的中线，，，，求证：．
证明的途径可以用下面的框图（图②）表示，请填写其中的空格．
【深入研究】
（2）如图③，、分别是和的、边上的中线，，，，判断与是否仍然全等，并说明理由．

【类比思考】
（3）下列命题中是真命题的是______（填写相应的序号）
①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等．
【答案】（1）①；②；③；④；（2）全等，理由见解析；（3）①②③⑤．
【详解】（1）根据三角形中线的定义及全等三角形的判定与性质可得出答案；
（2）延长至，使，连接，延长至，使，连接，证明．由全等三角形的性质得出，，同理，，证明．得出，，则可证明；
（3）根据全等三角形的判定方法可得出结论．
【解答】（1）证明，如下：
∵是的中线，
∴，
∵分别是的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：①；②；③；④；
（2）解：与仍然全等，理由如下：
延长至，使，连接，延长至，使，连接
∵和分别是和的和边上的中线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，，
∴．
（3）解：①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意；
④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等，说法错误，
如图，在与中，，，高相同，但是与不全等．
故④不符合题意；
⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等，正确，符合题意．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
变式3全等三角形判定性质综合应用
1.综合与探究
问题背景
数学活动课上，“兴趣小组”将一副三角尺按不同的摆放位置来探究三条线段的数量关系．
特例探究
（1）“兴趣小组”的同学决定从特例人手探究，他们将含的三角尺按如图1所示的方式摆放在直线l上，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为__________．
类比探究
（2）“兴趣小组”的同学将一副三角尺按如图2所示的方式叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用
（3）“兴趣小组”的同学将一副三角尺按如图3所示的方式叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，连接，若，求的面积．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角板中角度的计算，线段的和差计算，熟练掌握相关性质定理是解题关键
（1）根据题意可知两个三角板都是等腰直角三角形，可证，从而得出三边关系；
（2）通过角度之间的关系得出，从而证明，从而得出三边关系；
（3）先证明，得出，从而求出结果．
【详解】解：（1），理由如下：
由题意可知：，，，
所以，
所以，
所以．
（2）．
理由：因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
（3）如图，过点C作交的延长线于点P．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
2．如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用即可证明；
（2）先利用证明，得到，继而得到，而，则，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
3．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．

(1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________．
(2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度．
(3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点．
【答案】(1)
(2)18
(3)证明见解析
【分析】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质：
（1）延长到点，使，连接，证明，得到，再根据在中，，即，求解即可；
（2）延长到点F，使，连接，先证明，得到，，再证明E、C、F三点共线，得到，然后证明，得到解决问题；
（3）过点E作交延长线于M，先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接，
∵为边上的中线，
，
，
，
，
中，
∴，
，
；
（2）解：延长到点F，使，连接，如图4，
∵为边上的中线，
，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴E、C、F三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）证明：过点E作交延长线于M，如图4，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴O为中点．
能力提升
提升1 直角三角形全等的判定定理
1．如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F．
(1)求证：．
(2)若，请直接写出的度数．
(3)过点A作于点H，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)50°
(3)见解析
【分析】(1)根据SAS可证得；
（2）由，可得，故，即可得出的度数；
（3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵．
∴．
在和中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴．
故答案为：50°．
（3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J．
∵，
∴，，
∵，．
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键．
2．阅读下面材料，完成（1）-（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．”
小伟：“通过观察发现，∠AFE与α存在某种数量关系．”
老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．”
（1）求证：BE＝CD；
（2）求∠AFE的度数（用含α的式子表示）；
（3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）∠AFE＝；（3）EF＝FC+2GF，见解析
【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE＝α，可得∠DAC＝∠BAE，根据“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得DC＝BE；
（2）由△ADC≌△ABE可得∠AEF＝∠ACD，即可证点A，点E，点C，点F四点共圆，可得∠AFE＝∠ACE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠AFE的度数；
（3）结论：EF＝FC+2GF．由题意可得∠AFD＝＝∠AFE，过点作AH⊥BE，可证△AGF≌△AHF，可得AG＝AH，GF＝HF，即可证Rt△AGC≌Rt△AHE，可得GC＝HE，由EF﹣FC＝2GF可得结论．
【详解】证明：（1）∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴DC＝BE．
（2）∵△ADC≌△ABE
∴∠AEF＝∠ACD
∴点A，点E，点C，点F四点共圆
∴∠AFE＝∠ACE
∵AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α
∴∠ACE＝，
∴∠AFE＝．
（3）结论：EF＝FC+2GF．
理由：∵△ADC≌△ABE
∴∠ADC＝∠ABE
∴点A，点D，点B，点F四点共圆
∴∠AFD＝∠ABD
∵AB＝AD，∠DAB＝∠CAE＝α
∴∠ABD＝，
∴∠AFD＝，
∴∠AFE＝∠AFD
如图，过点作AH⊥BE，
∵∠AFE＝∠AFD，∠AGF＝∠AHF，AF＝AF
∴△AGF≌△AHF（AAS）
∴AG＝AH，GF＝HF，
∵AG＝AH，AE＝AC
∴Rt△AGC≌Rt△AHE（HL）
∴GC＝HE
∵EF﹣FC＝HE+FH﹣FC＝GC+FH﹣FC＝GF+FC+FH﹣FC＝2GF，
∴EF＝FC+2GF．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
3．（1）如图I，在中，.点在外，连接，作，交于点，，，连接.则间的等量关系是______；（不用证明）
（2）如图Ⅱ，，，，延长交于点，写出间的等量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）DF=BC+CF；（2）BC=CF+DF；证明见详解.
【分析】（1）根据题意可证△ABC≌ADE，△ACF≌△AEF，可得DE=BC，EF=FC，用等量代换可得三者之间的关系，
（2）连接AF，相应的证明△ABC≌ADE，△ACF≌△AEF，可得DE=BC，EF=FC，再利用等量代换可以得出DF，BC，CF间的等量关系．
【详解】解：（1）如图1，DF=BC+CF，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠AEF=∠ACB，
在Rt△ACF和△AEF中，
∵AC=AE，AF=AF，
∴Rt△ACF≌△AEF （HL），
∴CF=EF，
在Rt△ADE和△ABC中，
∵AD=AB，AC=AE，
∴Rt△ADE≌△ABC （HL），
∴DE=BC，
又∵DF=DE+EF，
∴DF=BC+CF．
故答案为DF=BC+CF．
（2）BC=CF+DF
如图，连接AF，
∵AB=AD，AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，
∵Rt△ADE≌△ABC （HL），
∴DE=BC，
又∵AE=AC，AF=AF，
∴Rt△ACF≌△AEF （HL），
∴CF=EF，
又∵DE=EF+DF，
∴BC=CF+DF，
答：DF，BC，CF间的等量关系为：BC=CF+DF．
【点睛】考查直角三角形全等的判定和性质，解题的关键是利用等量代换寻求线段之间等量关系是解题的常用方法．
提升2全等三角形判定性质综合
1.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1cm的速度向点B运动;同时动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒2cm的速度向点C运动.当点Q到达C点时，点P同时停止，设运动时间为t秒.(注：正方形的四边长都相等，四个角都是直角)
(1)CQ的长为______cm(用含的代数式表示);
(2)连接DQ并把DQ沿DC翻折，交BC延长线于点F，连接DP、DQ、PQ.
①若，求t的值.
②当时，求t的值，并判断与是否全等，请说明理由.
【答案】（1）
（2）① 2.4 ② 2，不是全等三角形.
【分析】（1）根据题意动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒2cm的速度向点C运动.因此利用速度和时间的乘积等于路程，可得CQ的长.
（2）①根据题意分别计算和的面积，列方程求出t值即可.
②首先根据题意计算PF、DP和DF的长，再利用勾股定理列方程求解即可,确定了t值再证明与是否全等.
【详解】（1）根据题意可得点Q移动的速度为2cm
（2）①根据题意可得
即
②根据题意可得DP=
DF=
PF=
解的
所以当时，可得
CQ=2, BQ=PB=4,
因此可得 , , ,
而
所以可得与不是全等三角形.
【点睛】本题主要考查正方形的动点问题，关键在于根据题意列出方程，根据方程求解即可.
2．在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．
（1）若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；
（2）求证：BE＝AG+CE．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）根据△ABE为等边三角形，就可以求出△ABE在边AE上的高，因此就可以计算出S△ABF；
（2）首先作FH⊥AB于H，CJ⊥AE交AE的延长线于J，再证明△ABF≌△EBC（SAS），同时证明△FHA≌△CJE（AAS），从而证明Rt△FGH≌Rt△CJF（HL），因此可以得到EF＝AG，进而证明BE＝AE＝AF+EF．
【详解】（1）解：∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAF＝60°，AB＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∴AE＝AB＝6，
∵AF＝3，
∴AF＝EF，
∴S△ABF＝S△ABE＝ 62＝．
（2）作FH⊥AB于H，CJ⊥AE交AE的延长线于J．
∵△ABE，△FBC都是等边三角形，
∴BA＝BE，BF＝BC，∠ABE＝∠FBC＝60°，
∴∠ABF＝∠EBC，
∴△ABF≌△EBC（SAS），
∴AF＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠CEJ＝∠FAH，
∵∠FHA＝∠J＝90°，
∴△FHA≌△CJE（AAS），
∴FH＝CJ，AH＝EJ，
∵FB＝FG＝FC，FH＝CJ，
∴Rt△FGH≌Rt△CJF（HL），
∴GH＝FJ，∵AH＝EJ，
∴EF＝AG，
∵BE＝AE＝AF+EF，
∴BE＝RC+AG．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，利用角角边，边角边，HL的判定定理来判定三角形全等，关键点在于作辅助线构造直角三角形．
提升3全等三角形判定性质综合应用
1.在的高、交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
（2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数；
（3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系．
此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形．
【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示：
，，
，，
，
（2）解：在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）解：、、的数量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是的高，，
，，
在和中，
，
，
，，
由（2）可知：，即，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
2．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”．

(1)如图，，则与______“共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”）
(2)如图，与是“共边黄金三角形”，，则与的“黄金角”的度数为______．
(3)如图，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明．
【答案】(1)是
(2)
(3)理由见解析
【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据共边黄金三角形的定义找到公共边，，即可得出．
（2）根据共边黄金三角形的定义得出，再结合，则，即可作答．
（3）先由角的平分线的定义得出，然后证明，得，再运用共边黄金三角形的定义，得出，即可作答．
【详解】（1）解：∵与具有公共边，
又，且，
与是共边黄金三角形，
∴故答案为：是．
（2）解：∵与是“共边黄金三角形”， ，
∴，
∵，
∴；
则与的“黄金角”的度数为．
（3）解：∵平分，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵则与是共边黄金三角形，
∴，
∴．
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