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人教版数学八年级上暑假预习课
第八讲 角平分线的性质
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 尺规作图
尺规作图的定义:
在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2．五种基本作图
1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．
3．根据基本作图作三角形
1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；
3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；
5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形
4.作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
3、尺规作图的方法
尺规作图的关键
先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题
典例剖析1
例1-1．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
例1-2．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积是 ．
．
知识点2 角平分线的性质
1.角平分线的作法
a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M；
b.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P；
c.画射线OP,OP即为所求角平分线。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
典例剖析2
例2-1．如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例2-2．如图，中，和的平分线交于点D，于点E，已知，的面积是5，则周长是 ．
知识点3角平分线性质的综合应用
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
三角形的内心
三角形三条角平分线的交点。
典例剖析3
例3-1．三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．
例3-2．如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置．
例3-3．如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接．
(1)求证：；
(2)若，试说明与的数量关系．
针对训练
尺规作图----作已知角的平分线
1．如图，在中，．请用尺规作图，在上求作一点P，使点P到的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
2．如图，在中．
(1)利用尺规作图，在边上找到一点P，使得点P到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点P作，垂足为D，若，，求的长．
3．如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作射线，使得．
角平分线的性质
1．如图，在中，，平分交边于点，，，则的面积为 ．
2．如图，是AB中点，平分．

(1)若，求证：平分．
(2)若，求证：．
3．如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G．
(1)试说明：．
(2)猜想之间的数量关系，并说明理由．
3.角平分线性质的综合应用
1．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图①，在中，平分，，求证：；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.

(1)根据以上材料，任选一种方法证明：；
(2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明.
．
2．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积．
3．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．

(1)求三角形的面积；
(2)如图②，若过作交轴于，且，分别平分，，求的度数；
(3)在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
四、能力提升
提升1、作已知角的平分线
1．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知
求作：线段，使得，且点到与的距离相等．


2．如图，在中，，于点．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求的度数．
．
3．如图，在四边形中，．运用尺规作图法在上作一点P，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）
提升2 角平分线的性质
1．如图，在中，，，平分交于点P，过点P作于点D．若，．
(1)求的面积．
(2)求的周长．
2．（1）【问题解决】
如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ；
（2）【问题探究】
如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由；
（3）【迁移应用】
某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积．
3．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线．
【验证】（1）试说明平分，且；
【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分；
【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系．
提升3.角平分线性质的综合应用
1．已知：如图，
（1）如图1，求证：
（2）如图2，若平分，平分．探究与的数量关系______（直接写出结论）．
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作交于点H，平分，，延长线交于点G．
求：的度数．
2．直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．
（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点．
①若，则______度（直接写出结果，不需说理）；
②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．
3．探究发现：如图①，在中，内角的平分线与外角的平分线相交于点．
（1）若，则 ；
若，则 ；
（2）由此猜想：与的关系为 (不必说明理由)．
拓展延伸：如图②，四边形的内角与外角的平分线相交于点，．
（3）若，，求的度数，由此猜想与，之间的关系，并说明理由．
人教版数学八年级上暑假预习课
第八讲 角平分线的性质（解析版）
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 尺规作图
尺规作图的定义:
在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2．五种基本作图
1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．
3．根据基本作图作三角形
1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；
3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；
5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形
4.作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
3、尺规作图的方法
尺规作图的关键
先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题
典例剖析1
例1-1．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了作图 作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角分线的性质．
作于，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：作于H，
由题中作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
例1-2．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积是 ．
【答案】21
【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点G作于点H，
由作图可得，为的平分线，
∵，
∴，
∴．
故答案为：21．
知识点2 角平分线的性质
1.角平分线的作法
a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M；
b.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P；
c.画射线OP,OP即为所求角平分线。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
典例剖析2
例2-1．如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等．
过点作垂线交于点，根据角平分线的性质即可得到的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：过点作垂线交于点，
∵平分，，，
∴，
∴的面积为．
故选：B．
例2-2．如图，中，和的平分线交于点D，于点E，已知，的面积是5，则周长是 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等以及面积的计算方法是解题的关键．根据角平分线的性质得到，．根据的面积，利用即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，连接．
平分，，，
．
平分，，，
．
，
，
即，
∴
，
即的周长为，
故答案为：．
知识点3角平分线性质的综合应用
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
三角形的内心
三角形三条角平分线的交点。
典例剖析3
例3-1．三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．
【答案】4
【分析】
此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知．
【详解】
解：如图
故答案为：4．
例3-2．如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为所求．
【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求．
例3-3．如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接．
(1)求证：；
(2)若，试说明与的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质，涉及角平分线性质、直角三角形全等的判定与性质和邻补角定义，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，再利用直角三角形全等的判定与性质即可得到答案；
（2）利用直角三角形全等的判定与性质得到，再由邻补角定义即可得到答案．
【详解】（1）证明：在中，，是的平分线，于点，
由角平分线性质可知，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：
在和中，
，
，
，
，
．
针对训练
尺规作图----作已知角的平分线
1．如图，在中，．请用尺规作图，在上求作一点P，使点P到的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，分析“P到的距离相等”，得出作的角平分线，与的交点即为点P，即可作答．
【详解】解：如图，点P为所求．
2．如图，在中．
(1)利用尺规作图，在边上找到一点P，使得点P到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点P作，垂足为D，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了角平分线的作法与性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P，点P即为所作；
（2）根据角平分线的性质得到，然后证明，然后利用可得结论．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）∵AP平分，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
3．如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作射线，使得．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图：作角平分线；按照尺规作图作角平分线的方法进行即可．
【详解】解：满足条件的射线如图．
角平分线的性质
1．如图，在中，，平分交边于点，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：如图，作于，
，
∵平分，，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图，是AB中点，平分．

(1)若，求证：平分．
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键．
（1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论；
（2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．
【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，

∵平分，，
∴，
又∵是中点，即，
∴，
∵，，
∴：平分．
（2）解：如图：在上截取，连接．
平分，
．
在和中，
，
，．
是的中点，
．
又，
，
，
，
在和中
．
，
，
，
∴
3．如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G．
(1)试说明：．
(2)猜想之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点作，交于点，根据角平分线的性质可得，即可求证；
（2）先证明，得到，同理可得：，即可求解．
【详解】（1）证明：过点作，交于点，如图：
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴．
3.角平分线性质的综合应用
1．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图①，在中，平分，，求证：；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.

(1)根据以上材料，任选一种方法证明：；
(2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明.
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案；
（2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案；
【详解】（1）证明：方法一，

∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
方法二：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，在上截取，使得，连接，
　　　　　　　
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，　　　　
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
2．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积．
【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F，
分别平分，，
，
同理，
的周长是21，
，
．
63．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．

(1)求三角形的面积；
(2)如图②，若过作交轴于，且，分别平分，，求的度数；
(3)在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可；
（2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可；
（3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，
，，，
的面积为；
（2）解：轴，，
，，，
过作，如图所示：
，
，
、分别平分、，
，，
；
（3）解：当点在轴正半轴时，
由题意可得点与点重合时，三角形和三角形的面积相等，则点坐标为；
当点在轴负半轴时，
由题意可得，以为三角形的高，当时三角形以为底，为高，则此时三角形和三角形的面积相等，
，
点的横坐标为，
点为，
综上所述，在轴上存在点，使得三角形和三角形的面积相等，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的性质，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，掌握割补法求面积．
能力提升
提升1、作已知角的平分线
1．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知
求作：线段，使得，且点到与的距离相等．

【答案】见解析
【分析】本题主要考查了作图复杂作图，平行线的判定，角平分线的性质，解答本题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先作，可得的平行线，然后作的角平分线，与交于点，即为所求．
【详解】解：如图，线段即为所求；

2．如图，在中，，于点．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）由角平分线的定义得出，再求出的度数从而得出的度数，即可得解．
【详解】（1）解：如图， 射线即为所求，
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
3．如图，在四边形中，．运用尺规作图法在上作一点P，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图-作角平分线，根据全等三角形的判定，只需作的平分线即可．
【详解】解：如图，点P即为所求．
作图依据：
∵平分，
∵
又，，
∴．
提升2 角平分线的性质
1．如图，在中，，，平分交于点P，过点P作于点D．若，．
(1)求的面积．
(2)求的周长．
【答案】(1)28
(2)14
【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
（1）由角平分线的性质可知，，再根据三角形的面积公式计算即可
（2）根据角平分线的性质定理即可得出，可得答案；先证明，得出，再求出的周长为，可得答案
【详解】（1）解：∵，平分，，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为，
∵，
∴的周长为14．
2．（1）【问题解决】
如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ；
（2）【问题探究】
如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由；
（3）【迁移应用】
某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积．
【答案】（1）；（2），理由见详解；（3）
【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得；
（2）先根据四边形内角和等于可得，由可得，再根据证明，则可得；
（3）过C点作于E点，的延长线于F点．由（2）得，则可得，，进而可得．证明，则可得，由、可求得的长，进而可得、的长，由此可得的值，即可得的值．
【详解】（1）解：∵平分， 点 F在上，且， ，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵四边形中，，
∴，
∴，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：如图，过C点作于E点，的延长线于F点，
由（2）得，
，，
，
∵是的平分线，
，
又，，
，
，
又，
，
，
解得，
，
，
，
答：该空地的面积为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线．
【验证】（1）试说明平分，且；
【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分；
【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或
【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论；
（2）先证明，可得，由（1）可得平分；
（3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可．
【详解】解：（1），，，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
即，
射线平分；
（2），
，
，
，
，
由（1）可得平分；
（3）补全图形如下，过点分别作于，于，
是的平分线，
，，
当时，
在和中，
，
，
；
当时，
同理得，
；
，
，
综上所述，与的数量关系为或；
提升3.角平分线性质的综合应用
1．已知：如图，
（1）如图1，求证：
（2）如图2，若平分，平分．探究与的数量关系______（直接写出结论）．
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作交于点H，平分，，延长线交于点G．
求：的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）过点E做，则，可得， ，即有
（2）过点作交于点，则有，，根据平分，平分，得到，
，，即：；由（1）可知，可得；
（3）∵平分平分得，
则 ；根据，可设，，则得，可求出 ，则．
【详解】解：（1）如图1所示，
过点E做
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
（2）如图2所示，
过点作交于点
∵
∴
∵，
∴，
∵平分，平分
∴，
即有：，
∵
∴
即：
由（1）可知，
∴；
（3）∵平分
∴
∵平分，
∴
∴
∵
∴可设，，则
∴平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．
2．直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．
（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点．
①若，则______度（直接写出结果，不需说理）；
②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．
【答案】（1）135°；（2）①45°；②不变；45°；（3）45°或36°
【分析】灵活运用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和；
（1）求出，，根据，即可解决问题；
（2）①求出，，根据，即可求出的值；
②根据即可得出结论；
（3）首先证明，，再分四种情况讨论①当时，②时， ③时，④时， 分别计算，符合题意得保留即可．
【详解】解：（1）如图1中，，
，
，
，
又平分，平分，
，，
，
（2）如图2中：
①（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和），
平分，平分，
，，
，
；
②结论：点A、B在运动过程中，，
理由：
点A、B在运动过程中，的角度不变，；
（3）如图3中，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，
，，
又为平角，
，
，
，
又在中：，
﹤，
在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，则：
①当时，，
此时，
②时，，，
此时（不符合题意舍去），
③时，，
此时，
④时，，
此时（不符合题意舍去），
综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的4倍．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想的理解及应用，分类讨论时，没有讨论完全是本题的易错点．
3．探究发现：如图①，在中，内角的平分线与外角的平分线相交于点．
（1）若，则 ；
若，则 ；
（2）由此猜想：与的关系为 (不必说明理由)．
拓展延伸：如图②，四边形的内角与外角的平分线相交于点，．
（3）若，，求的度数，由此猜想与，之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）40°25°；（2）(或)（3）=
【分析】（1）先根据两角平分线写出对应的等式关系，再分别写出两个三角形内角和的等式关系，最后联立两等式化解，将的角度带入即可求解；
（2）由（1）可得，即可求解；
（3）在与的平分线相交于点，可知，又因为，两直线平行内错角相等，得出，再根据三角形一外角等于不相邻的两个内角的和，得出，再由四边形的内角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出结论．
【详解】解：（1）由题可知：BE为的角平分线，CE为的角平分线，
=2=2，=2，
，
三角形内角和等于，
在中：，
即：，
①，
在中：，
即：，
②，
综上所述联立①②，由①-②×2可得 ：，
，
，
，
当，则；
当，则；
故答案为，；
（2）由（1）知：(或)；
（3）∵与的平分线相交于点，
∴， ，
又∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵是的一个外角，
∴（三角形一外角等于不相邻的两个内角的和），
在四边形中，四边形内角和为，， ，
∴，
∴①，
∴，
即，
在中：，，
由上可得：，
②，
又∵，
∴，
，
，
由①②可得，，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
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