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人教版数学八年级上暑假预习课
第九讲 全等三角形中的辅助线
一、专题导航
知识点梳理
类型1 倍长中线法证全等
倍长中线辅助线方法规律总结
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
延长AD到点E，使DE=AD，连接CE 条件：△ABC，AD=BD结论：△ABD≌△CED(SAS) ①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题
倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
延长AD交直线l2于点E， 条件：l1∥l2，CD=BD结论：△ABD≌△ECD(AAS) 与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定
典例剖析1
例1-1．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴，
在中，（依据2），
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A．； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
例1-2．如图，已知是的中线，且．求证：．
例1-3．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使
在和中
（__________）
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________；
（3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
例1-4．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．
②求证：．
变式训练1
1．八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答：
(1)由已知和作图能得到的理由是______；
A． B． C． D．
(2)求得的取值范围是______；
A． B． C． D．
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分．
2．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
3．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
4．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______．
类型二 截长补短法证全等
截长补短辅助线方法规律总结
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
在AC上截取AE=AD，连接PE 条件：AP平分∠BAC，结论：△APD≌△APE(SAS) ①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段
总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF
典例剖析2
例2-1．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC
例2-2 .如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P
（1）求∠CPD的度数；
（2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长．
变式训练2
1．现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．
2．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．
3 .【问题提出】
（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立 若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
类型3 整体旋转证全等
旋转模型
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.
【常见模型】
典例剖析3
例3-1．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例3-2．【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
例3-3．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接
(1)如图1，点D在线段上，如果，则______度：
(2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
变式训练3
1.在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】
如图①，与的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为中点，探索与的数量关系．
2．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论．
3．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
人教版数学八年级上暑假预习课
第九讲 全等三角形中的辅助线（解析版）
一、专题导航
知识点梳理
类型1 倍长中线法证全等
倍长中线辅助线方法规律总结
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
延长AD到点E，使DE=AD，连接CE 条件：△ABC，AD=BD结论：△ABD≌△CED(SAS) ①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题
倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
延长AD交直线l2于点E， 条件：l1∥l2，CD=BD结论：△ABD≌△ECD(AAS) 与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定
典例剖析1
例1-1．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴，
在中，（依据2），
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A．； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边
(2)C
(3)见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．
（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
（3）判断，即可．
【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）
解：如图，延长至点，使,连接．
是的中线，
,
在与中，
,
，
,
在中，，
即，
．
故选：C．
（3）证明：如图4，延长至F，使连接，
是的中点，
∴,
又
∴，
，，
∵，
∴,
,
即，
又∵，
∴，
∴，
∴．
例1-2．如图，已知是的中线，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证．
【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接，
在中，
∴，
∴．
在中，，
∴，
即．
例1-3．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使
在和中
（__________）
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________；
（3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
【答案】（1）已作；对顶角相等；；
（2）
（3）6
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）延长到点，使，由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长．
【详解】（1）证明：延长到点，使，
在和中，
，
；
（2）由（1）得：，且，，
，
在中，，
；
（3）延长交的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
，，
又且
，
，
，
．
即：的长是6．
例1-4．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；
②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
和是兄弟三角形；
（2）证明：①延长至，使，
为的中点，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
∴，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
变式训练1
1．八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答：
(1)由已知和作图能得到的理由是______；
A． B． C． D．
(2)求得的取值范围是______；
A． B． C． D．
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分．
【答案】(1)B
(2)C
(3)证明见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；
（3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分．
【详解】（1）解：延长到点，使，
，
在和中，
，
，
故选：B．
（2）解：，
，
，，，
，
，
故选：C；
（3）证明：如图，延长至，使，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
2．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析
【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案；
（2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．
【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点M，使，连接，如图②所示．
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：
，
∴；
（3），理由如下：
如图③，延长交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
3．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3）
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解；
（3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解．
【详解】（1）解：如图②，为的中线，
，
又，，
，
，
在中，，，，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：如图④，延长至点，使，连接，
点是的中点，
．
，，
，
，，
，
，
，
∴ ，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）如图⑤，连接，，
由（2）可知：，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
4．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______．
【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）．
【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
是中线，
，
又，，
，
，，
，，
，
为中线，
，
，
，
又，
，
，，
，
故答案为：②③；
（3）证明：如图3，延长至，使，连接，
是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
与互补，
，
，
又，，
，
，
；
（4）如图3，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
类型二 截长补短法证全等
截长补短辅助线方法规律总结
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
在AC上截取AE=AD，连接PE 条件：AP平分∠BAC，结论：△APD≌△APE(SAS) ①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段
总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF
典例剖析2
例2-1．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC
【答案】见解析
【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证．
【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，
在△APN和△APC中
∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，
∴△APN≌△APC，
∴PC=PN，
∵△BPN中有PB－PN＜BN，
即PB－PC＜AB－AC；
补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，
在△ABP和△AMP中，
∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，
∴△ABP≌△AMP，
∴PB=PM，
又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，
即AB－AC＞PB－PC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键．
例2-2 .如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P
（1）求∠CPD的度数；
（2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长．
【分析】（1）利用∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；
（2）由题中条件可得△APE≌△APF，进而得出∠APE＝∠APF，通过角之间的转化可得出△CPF≌△CPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴∠CPD＝60°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中
，
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
在△CPF和△CPD中，
，
∴△CPF≌△CPD（ASA）
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+7＝10．
【点评】本题考查全等三角形判定与性质，角平分线性质，解题的关键是截长补短正确做出作辅助线，构造全等三角形．
变式训练2
1．现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得；
（2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证．
【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接，
∵是角平分线，
∴
在和中
∴
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）如图2，延长到，使，连接，
∵是的角平分线，
∴
在和中
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
2．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．
【答案】（1）2；（2）4
【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证，则有FK=FH，因为HM=GH+MN易证，故可求解．
【详解】（1）由题意知，
故答案为2；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，如图所示：
FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，
∠FNK=∠FGH=90°，，
FH=FK，
又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，
，
MK=FN=2cm，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．
3 .【问题提出】
（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立 若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析
【解析】
【分析】
（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明；
（2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）证明：如图①，延长到点，使，连接.
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：结论不成立，应当是，
理由：如图②，在上截取，使，连接，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点评】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
类型3 整体旋转证全等
旋转模型
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.
【常见模型】
典例剖析3
例3-1．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．
将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可．
【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至，
，，
则，，
，即点D，E，F三点共线，
，
，
即，
在和中
，
，
，
，
五边形的面积为：
，
，
．
故选：D．
例3-2．【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．
（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
例3-3．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接
(1)如图1，点D在线段上，如果，则______度：
(2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键．
（1）证即可求解；
（2）证即可求解；
（3）证即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即：，
∵，，
∴
∵，，
故答案为：
（2）解：，理由如下：
，
，
又，
，
即：，
在和中，，
；
（3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下：
如图所示：
，
，
即：，
在和中，，
又，
．
变式训练3
1.在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】
如图①，与的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为中点，探索与的数量关系．
【答案】(1)
(2)的大小不变，
(3)
【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．
（1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案；
（2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，；
（3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出．
【详解】（1）∵
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）的大小不改变，
如图①，作交于点F，则，

∴，
由（1）得，
∵
∴，
∴，
∴，
∴的大小不改变，．
（3）E，
理由：如图②，作交于点G，作于点H，则

∴，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程．
证明见解析
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
（1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）．理由如下：
如图1，延长到点，使，连接，
，
，
又，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
即，
；
在与中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
又，
，
；
（3）．
证明：如图3，延长到点，使，连接，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
即，
．
3．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16
【详解】解：【尝试探究】．
证明：如图，把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，

∵，
∴，点、、共线，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴，
∴；
【模型建立】成立，如图，

证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，
由旋转得：，，，，
同理得：点，，在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（2）中的结论还成立，；
【拓展应用】∵是边长为8的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
将绕点旋转，得到，

∵，，
∴和重合，，，，
∴，
∴三点共线，
同法（2），可得：，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题．
4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】成立，见解析
【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：成立．
证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
、、三点共线，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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